宁夏平罗中学2020届高三上学期第一次月考数学（理）试题

宁夏平罗中学2020届高三上学期第一次月考数学（理）试题

平罗中学 2019-2020 学年第一学期第一次月考考试试卷 高三数学（理） 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分） 1.设集合 ，集合 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解出集合 、 ，再根据补集和交集的定义可得出集合 . 【详解】 ， ， 又 ，因此， . 故选 C. 【点睛】本题考查集合补集与交集的混合运算，解题的关键就是解出题中涉及的集合，考查 计算能力，属于基础题. 2.设命题 p: >1,n2>2n,则 p 为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 根据命题的否定，可以写出 ： ，所以选 C. 3. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 { }1A x y x= = − { }22 0B x x x= − > ( )R A B∩ ( )0,2 [ )1,2 ( )0,1 ∅ A B ( )R A B∩ { } { } {{ }1 1 0 1A x y x x x x x= = − = − ≥ = ≥ { }1R A x x∴ = < { } { } { }2 22 0 2 0 0 2B x x x x x x x x= − > = − < = < < ( ) ( )0,1R A B = n∃ ¬ 21, 2nn n∀ > > 21, 2nn n∃ ≤ ≤ 21, 2nn n∀ > ≤ 21, 2nn n∃ > ≤ p¬ 21, 2nn n∀ > ≤ siny x= 2xy = 3y x x= − 2lg( 1 )y x x= + + 试题分析：由函数的奇偶性定义可知， 均为奇函数，但 在它们的定义域 上时 增时减，故选 . 考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性. 4.若 f(x)是定义在 R 上的函数，则“f(0)＝0”是“函数 f(x)为奇函数”的(　　) A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：因为 时，函数 不一定为奇函数；反之，函数 为奇函数时，由 ，所以“ ”是“函数 为奇函数”的必要不充分条件，故 选 . 考点：1.充要条件；2.函数的奇偶性. 5.设 ，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据指数函数、对数函数和幂函数的性质,即可判断 的范围,进而比较大小即可. 【详解】因为 由指数函数、对数函数和幂函数的性质可知 所以 故选:B , ,A C D ,A C R D ( )0 0f = ( )f x ( )f x ( ) ( ) ( )0 0 , 0 0f f f= − − = ( )0 0f = ( )f x A 0.3 2 22 , 0.3 , log 0.3a b c= = = , ,a b c a b c< < c b a< < c a b< < b c a< < a b c、 、 0.3 2 22 , 0.3 , log 0.3a b c= = = 0.32 1a = > 20 0.3 1b< = < 2log 0.3 0c = < c b a< < 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数和幂函数的性质,比较大小,属于基础题. 6.如图，设不等式组 表示的平面区域为长方形 ABCD，长方形 ABCD 内的曲线为抛 物线 的一部分，若在长方形 ABCD 内随机取一个点，则此点取自阴影部分的概率等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 选 A. 点睛：1.求曲边图形面积 方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形； (2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数； (4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和． 2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不 同时，要分不同情况讨论． 7.函数 的图象大致为（ ） A. B. 的 1 1 0 1 x y − ≤ ≤  ≤ ≤ 2y x= 2 3 1 3 1 2 1 4 1 2 1 4 2(1 ) ,3 3S x dx P − = − = =∫阴 ( )( ) ln 2 cosf x x x= + + C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由 在 单调递增可排除 A、B，由 可排除 C 【详解】因为 在 上单调递增， 在 上单调递增 所以 在 单调递增 所以 A、B 不满足 因为 ，所以 C 不满足 故选：D 【点睛】解决本类题时，通常是利用函数的单调性、奇偶性、函数值等排除选项. 8.已知实数 ，若函数 的零点所在区间为 ，则 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将 的零点所在区间为 转换为 与 的图象交点所在区间为 ，画图可求解． 【详解】将 的零点所在区间为 转换为 与 的图象交点所在区间为 ，画出图象， 易知当 时满足题意，故选 D． ( )( ) ln 2 cosf x x x= + + ( )2,0− (0) ln 2 1f = + ( )ln 2y x= + ( )2,0− cosy x= ( )2,0− ( )( ) ln 2 cosf x x x= + + ( )2,0− (0) ln 2 1f = + a 1> ( ) af x log x x m= + − ( )0,1 m ( )1,2 ( ),2∞− ( )0,1 ( ),1∞− ( ) af x log x x m= + − ( )0,1 1 ay log x= 2y x m= − + ( )0,1 ( ) af x log x x m= + − ( )0,1 1 ay log x= 2y x m= − + ( )0,1 m 1< 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结 合求解． 9.已知函数 ，若过点 A（0,16）的直线方程为 ，与曲线 相切，则实数 的值是（ ） A. B. C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 分析：先设出切点坐标，利用导数的几何意义，求出切线方程，与直线 y=ax+16 比较系数，即 可得到 a 值． 解答：解：设切点坐标 （x0，x03-3x0） ∵f（x）=x3-3x，∴f′（x）=3x2-3，∴切线斜率为 3x02-3 ∴f（x）=x3-3x 在点（x0，x03-3x0）处的切线方程为 y-x03+3x0=（3x02-3）（x-x0）， 化简得，y=（3x02-3）x-2x03， 又∵切线方程为 y=ax+16 ∴3x02-3=a 且-2x03=16，解得，x0=-2，a=9 故选 D． 10.已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，对任意的 x R，都有 f（2 +x）=－f（x），且当时 x∈[0，1]时 ，则方程 在[－1，5]的所有实根之和为 A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 为 16y ax= + a 3− 3 ∈ 2( ) 1f x x= − + [ )( ) , 0,1f x k k= ∈ 试 题 分 析 ： 画 出 函 数 f （ x ） 的 图 像 如 下 ， 由 图 像 知 ， 所 有 实 根 之 和 为 ．故选 D． 考点：方程的根 点评：当题目不是求出函数的具体零点时，通常通过画出函数的图像来求解． 11.已知函数 存在单调递减区间，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 函数存在单调递减区间可转化为当 时， 有解，等价于 在 上有解；令 ，利用导数求得 的最小值，从而可得 的取值范围. 【详解】由题意得： 函数 存在单调递减区间 当 时， 有解，即当 时， 有解 等价于 在 上有解 1 2 3 4( ) ( ) 8x x x x+ + + = ( ) 2ln 22 af x x x x= − − a [ )1,− +∞ ( )1,− +∞ ( ), 1−∞ − ( ], 1−∞ − 0x > ( ) 0f x′ < 2 1 2a x x > − ( )0, ∞+ ( ) ( )2 1 2 0g x xx x = − > ( )g x a ( ) 1 2f x axx ′ = − −  ( ) 2ln 22 af x x x x= − − ∴ 0x > ( ) 0f x′ < 0x > 1 2 0axx − − < 2 1 2a x x > − ( )0, ∞+ 令 ，则 当 时， ，当 时， 则 在 上单调递减，在 上单调递增 ； 本题正确选项： 【点睛】本题考查能成立问题的求解，关键是能够将函数存在单调递减区间转化为 有解的问题，进而通过分离变量的方式将问题转化为所求变量与函数最值之间的关系问题， 属于常考题型. 12.定义域为 的可导函数 的导函数 ，满足 ，且 ，则 不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数 ，判断函数的单调性，计算特殊值，解得不等式值. 【详解】构造函数 因 单调递减. 故答案选 A 【点睛】本题考查了根据函数单调性解不等式，构造函数 是解题的关键. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 为 ( ) ( )2 1 2 0g x xx x = − > ( ) ( ) ( )3 2 3 2 12 2 0xg x xx x x −′ = − + = > 1x > ( ) 0g x′ > 0 1x< < ( ) 0g x′ < ( )g x ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) ( )min 1 1g x g∴ = = − 1a∴ > − B ( ) 0f x′ < R ( )y f x= ( )f x′ ( ) ( )f x f x′> ( )1 2f = 1( ) 2 xf x e −< ( )1,+∞ ( ),2−∞ ( ),1−∞ ( )2,+∞ ( ) ( ) x f xF x e = ( ) ( ) ( ) 2 ' ( ) ' ( )( ) '( ) ( ) x x x x x f x f x e f x e f x f xF x F xe e e − −= ⇒ = = ( ) ( ) ( ) 0 ( )f x f x F x F x⇒ < ⇒′> ( ) 21 2 (1)f F e = ⇒ = ( ) 1 ( ) 2 ( ) (1)2 1x x f x F x F xe ef x e − ⇒ < ⇒ < ⇒ >< ( ) ( ) x f xF x e = 13.已知 的单调增区间为__________. 【答案】 【解析】 试 题 分 析 ： 令 , 求 得 , 故 函 数 的 定 义 域 为 ,且 ,本题即求函数 在定义域内的增区间.利用二次 函数的性质可得 在定义域内的增区间为 ,因此，本题正确答案是: . 考点：复合函数的单调性. 14.已知函数 ，(a∈R)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则 a 的取值范围 是________． 【答案】 【解析】 【分析】 可得 时， 有一个零点 ，所以只需要当 时， 有一个根， 利用“分离参数法”求解即可. 【详解】因为函数 , 当 时， 有一个零点 ， 所以只需要当 时， 有一个根即可， 即 ,当 时， ，所以 ，即 ， 故答案为 ． 【点睛】已知函数有零点(方程有根)，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根 据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参 数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直 角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． ( ) ( )2 2log 2 3f x x x= − − ( ) , 0 3 1, 0 xe a xf x x x  + ≤=  − > [ )1,0− 0x > ( ) 3 1f x x= − 1 3x = 0x ≤ 0xe a+ = ( ) , 0 3 1, 0 xe a xf x x x  + ≤=  − > 0x > ( ) 3 1f x x= − 1 3x = 0x ≤ 0xe a+ = xe a= − 0x ≤ ( ]0,1xe ∈ ( ]0,1a− ∈ [ )1,0a∈ − [ )1,0− 15.已知命题 p：∀x∈R，log2(x2＋x＋a)>0 恒成立，命题 q：∃x0∈[－2，2]， ，若命题 p∧q 为真命题，则实数 a 的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】 先求出命题 成立的等价条件，利用命题“ ”为真命题，确定实数 的取值范围. 【详解】由题知，命题 p：∀x∈R，log2(x2＋x＋a)>0 恒成立， 即 x2＋x＋a－1>0 恒成立，所以 Δ＝1－4(a－1)<0，解得 ； 命题 q：∃x0∈[－2，2]，使得 ，则 a≤2. 当 p∧q 为真命题时，须满足 ， 故实数 a 的取值范围为 . 【点睛】该题考查的是有关根据命题的真假确定参数的取值范围的问题，解决这类问题时， 应先根据题目条件，即复合命题的真假情况，推出每一个命题的真假，然后求出每个命题是 真命题时参数的取值范围，最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围. 16.已知函数 是 R 上的偶函数，对于 都有 成立，且 ，当 ，且 时，都有 ．则给出下列命题： ① ； ②函数 图象的一条对称轴为 ； ③函数 在[﹣9，﹣6]上为减函数；④方程 在[﹣9，9]上有 4 个根； 其中正确的命题序号是___________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】 ① 赋 值 ， 结 合 奇 偶 性 可 得 ， 可 得 ， 得 02 2xa ≤ 5 ,24      ,p q p q∧ a 5 4a > 02 2xa ≤ 5 4 2 a a  >  ≤ 5( ,2]4 ( )y f x= x R∈ ( ) ( ) ( )6 3f x f x f+ = + ( )4 2f − = − [ ]1 2, 0,3x x ∈ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x − <− ( )2008 2f = − ( )y f x= 6x = − ( )y f x= ( ) 0f x = 3x = − ( )3 0f = ( ) ( )6f x f x+ = ； ② 由 ， ， 可 得 ，可得直线 是函数 的图象的一条对称轴；③函数 在 上为减函数， 周期为 6，从而函数 在 为增函数；④ 的周期为 6， . 【详解】①对于任意 ，都有 成立， 令 ，则 ， 又 是 上的偶函数， ， ， ， 又由 ，故 ，故①正确； ②由①知 ， 的周期为 6， 又 是 上的偶函数， ， 而 的周期为 6， ， ， 直线 是函数 的图象的一条对称轴，故②正确； ③当 ，且 时，都有 ， 函数 在 上为减函数， 是 上的偶函数， 函数 在 上为增函数， 而 周期为 6， 函数 在 为增函数，故③不正确； ④ 的周期为 6， ， ( ) ( )2008 4 2f f= = − ( ) ( )6f x f x− + = − ( ) ( )6f x f x+ = ( ) ( )6 6f x f x− − = − + 6x = − ( )y f x= ( )y f x= [ ]0,3 ( )f x ( )y f x= [ ]9, 6− − ( ) ( )3 0,f f x= ( ) ( ) ( ) ( )9 3 3 9 0f f f f∴ − = − = = = x∈R ( ) ( ) ( )6 3f x f x f+ = + 3x = − ( ) ( ) ( )3 6 3 3f f f− + = − + ( )f x R ( )3 0f∴ = ( ) ( )6f x f x+ = ( ) ( ) ( )2008 4 4f f f∴ = = − ( )4 2f − = − ( )2008 2f = − ( ) ( )6f x f x+ = ( )f x∴ ( )f x R ( ) ( )6f x f x∴ + = − ( )f x ( ) ( ) ( ) ( )6 6 , 6f x f x f x f x∴ + = − + ∴ − = − − ( ) ( )6 6f x f x∴ − − = − + ∴ 6x = − ( )y f x= [ ]1 2, 0,3x x ∈ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x − <− ∴ ( )y f x= [ ]0,3 ( )f x R ∴ ( )y f x= [ ]3,0− ( )f x ∴ ( )y f x= [ ]9, 6− − ( ) ( )3 0,f f x= ( ) ( ) ( ) ( )9 3 3 9 0f f f f∴ − = − = = = 函数 在 有四个零点，故④正确， 所以，正确的命题序号是①②④，故答案为①②④. 【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的单调性、函数的奇偶性 与周期性、函数的对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往 往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量 挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精 力突破较难的命题. 三、解答题（本大题共 5 小题，每题 12 分，共 60 分） 17.已知函数 在点 处取得极值 . (1)求 的值； (2)若 有极大值 ，求 在 上的最小值． 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】 （1）f′（x）=3ax2+b，由函数 f（x）=ax3+bx+c 在点 x=2 处取得极值 c﹣16．可得 f′（2） =12a+b=0，f（2）=8a+2b+c=c﹣16．联立解出． （2）由（1）可得：f（x）=x3﹣12x+c，f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2），可得x=﹣2 时，f （x）有极大值 28，解得 c．列出表格，即可得出． 【详解】解：因 .故 由于 在点 x=2 处取得极值 c-16. 故有 即 化简得 解得 a=1，b=-12. （2）由（1）知 ； . 令 ，得 ， . 当 时， ，故 在 上为增函数； ( )y f x= [ ]9,9− ( ) 3f x ax bx c= + + 2x = 16c − ,a b ( )f x 28 ( )f x [ ]3,3− 1, 12a b= = − 4− ( ) 3f x ax bx c= + + ( ) 23f x ax b′ = + ( )f x ( ) ( ) 2 0, 2 16, f f c  ′ = = − 12 0, 8 2 16, a b a b c c + =  + + = − 12 0, 4 8, a b a b + =  + = − ( ) 3 12f x x x c= − + ( ) ( )( )23 12 3 2 2f x x x x= = −′ − + ( ) 0f x′ = 1 2x = − 2 2x = ( ), 2x∈ −∞ − ( ) 0f x′ > ( )f x ( ), 2−∞ − 当 时， ，故 在 上为减函数； 当 时， ，故 在 上为增函数. 由此可知 处取得极大值； ， 在 处取得极小值 . 由题设条件知 16+c=28，得 c=12. 此时 ， ， ，因此 在 上的最小值为 . 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式 的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18.为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学 数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一 样）．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为 20 人)学生的数学期末考试成绩． （1）现从甲班数学成绩不低于 80 分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为 87 分的同学至少 有一名被抽中的概率； （2）学校规定：成绩不低于 75 分的为优秀．请填写下面的 2×2 列联表，并判断有多大把握 认为“成绩优秀与教学方式有关”． 甲班 乙班 合计 优秀 在 ( )2,2x∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x ( )2,2− ( )2,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )2,+∞ ( )f x 1 2x = − ( )2 16f c− = + ( )f x 2 2x = ( )2 16f c= − ( )3 9 21f c− = + = ( )3 9 3f c= − + = ( )2 16 4f c= − + = − ( )f x [ ]3,3− ( )2 4f = − 不优秀 合计 参考公式： ，其中 参考数据： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据茎叶图可知成绩不低于 分的学生共有 人，其中成绩为 分的有 人，先求解 出成绩为 分的同学没有人被抽中的概率，利用对立事件的概率公式求得结果；（2）根据茎 叶图补全列联表，根据公式计算得到 ，对比临界值表得到结果. 【详解】（1）由茎叶图可知，甲班中成绩不低于 分的学生共有 人，其中成绩为 分的有 人 记：“成绩为 分的同学至少有一名被抽中”为事件 （2）由茎叶图可补全列联表如下： 甲班 乙班 合计 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ( )2 0P K k≥ 0k 7 10 80 5 87 2 87 2K 80 5 87 2 87 A ( ) 2 3 2 5 3 10 CP A C ∴ = = ( ) ( ) 3 71 1 10 10P A P A∴ = − = − = 优秀 不优秀 合计 有 的把握认为“成绩优秀与教学方式有关” 【点睛】本题考查对立事件概率的求解问题、独立性检验的应用，属于常规题型. 19.已知函数 （1）求 在点 处的切线方程； （2）若 时，函数 的图象恒在直线 上方，求实数 的取值范围； 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】 （1）求出 和 即可写出切线方程 （2）当 时， 恒成立，即 ，求出 的最小 值即可 【详解】（1） ，则 ， 又 ， ∴所求切线方程为 ，即 ； （2）依题意，当 时， 恒成立，即 ， 设 ，则 ， 当 时， ，函数 单调递减， 6 14 20 14 6 20 20 20 40 ( )22 2 40 6 6 14 14( ) 6.4 3.841( )( )( )( ) 20 20 20 20 n ad bcK a b c d a c b d × × − ×−∴ = = = >+ + + + × × × ∴ 95% ( ) ln 1f x x x= + ( )y f x= ( )1, (1)f 0x > ( )y f x= y kx= k y x= ( ],1−∞ (1)f ′ (1)f 0x > ln 1x x kx+ ≥ ( )1 0k lnx xx ≤ + ＞ ( ) 1g x lnx x = + ( ) ln 1f x x′ = + (1) 1f ′ = (1) 1f = 1 1y x− = − y x= 0x > ln 1x x kx+ ≥ ( )1 0k lnx xx ≤ + ＞ ( ) ( )1 0g x lnx xx = + ＞ ( ) 2 2 1 1 1xg x x x x −′ = − = 0 1x< < ( ) 0g x′ < ( )g x 当 时， ，函数 单调递增， ∴函数 在 上的最小值在 处取得，最小值为 1， ∴ ，即实数 k 的取值范围为 ． 【点睛】恒成立问题通常用分离变量法，转化为最值问题. 20.椭圆 （ ）的离心率是 ，点 在短轴 上，且 ． （1）求椭圆 的方程； （2）设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆交于 两点，是否存在常数 ，使得 为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由 【答案】（1） ；（2）见解析. 【解析】 【详解】（1）由已知，点 C，D 的坐标分别为（0，－b），（0，b） 又点 P 的坐标为（0，1），且 ＝－1 于是 ，解得 a＝2，b＝ 所以椭圆 E 方程为 . （2）当直线 AB 斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝kx＋1 A，B 的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2） 联立 ，得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0 其判别式△＝（4k）2＋8（2k2＋1）＞0 1x > ( ) 0g x′ > ( )g x ( )g x ( )0,+¥ 1x = 1k ≤ ( ],1−∞ 2 2 2 2: 1x yE a b + = 0a b> > 2 2 (0,1)P CD 1PC PD⋅ = −  E O P ,A B λ OA OB PA PBλ⋅ + ⋅    λ 2 2 14 2 x y+ = PC PD⋅  2 2 2 2 1 1 2{ 2 b c a a b c − = − = − = 2 2 2 14 2 x y+ = 2 2 1{ 4 2 1 x y y kx + = = + 所以 从而 ＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋（y1－1）（y2－1）] ＝（1＋λ）（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1 ＝ ＝－ 所以，当 λ＝1 时，－ ＝－3， 此时， ＝－3 为定值. 当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD 此时 ＝－2－1＝－3 故存在常数 λ＝1，使得 为定值－3. 考点：本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、 运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想. 21.已知函数 f(x)= x －ax+(a－1) ， ， （1）讨论函数 的单调性； （2）证明：若 ，则对任意 x ，x ，x x ，有 ． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【详解】（1） 的定义域为 . . 1 2 1 22 2 4 2,2 1 2 1 kx x x xk k + = − = −+ + OA OB PA PBλ⋅ + ⋅    2 2 ( 2 4) ( 2 1) 2 1 k k λ λ− − + − − + OA OB PA PBλ⋅ + ⋅    OA OB PA PB OC OD PC PDλ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅        OA OB PA PBλ⋅ + ⋅    ln x 1a > ( )f x 5a < (0, )+∞ 1 2 1 2 ( ) ( ) 1f x f x x x − > −− ( )f x ( )0, ∞+ ( ) ( )( )2 1 11 1' x x aa x ax af x x a x x x − + −− − + −= − + = = （i）若 即 ，则 ，故 在 上单调递增. （ii）若 ，而 ，故 ，则当 时， ； 当 及 时， ， 故 在 单调递减，在 ， 单调递增. （iii）若 即 ，同理可得 在 单调递减，在 ， 单 调递增. （2）考虑函数 ， 则 由于 ，故 ，即 在 单调增加，从而当 时有 ，即 ，故 ， 当 时，有 . 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据差 函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根 据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用 放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 四、选做题（请在 22、23 题中任选一题作答，共 10 分） 22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴 正半轴为极轴建坐标系，已知曲线 C： ，已知过点 的直线 l 的参数方程为 ，直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N． （1）写出曲线 C 和直线 l 的普通方程； （2）若 ， ， 成等比数列，求 的值． 【答案】（1）曲线 C： ，直线 l： ；（2） 的 1 1a − = 2a = ( ) ( )21' xf x x −= ( )f x ( )0, ∞+ 1 1a − < 1a > 1 2a< < ( )1,1x a∈ − ( )' 0f x < ( )0, 1x a∈ − ( )1,x∈ +∞ ( )' 0f x > ( )f x ( )1,1a − ( )0, 1a − ( )1,+∞ 1 1a − > 2a > ( )f x ( )1, 1−a ( )0,1 ( )1,a − +∞ ( ) ( ) ( )21 1 ln2g x f x x x ax a x x= + = − + − + ( ) ( ) ( ) ( )21 1' 1 2 1 1 1 1a ag x x a x a ax x − −= − − + ≥ ⋅ − − = − − − 1 5a< < ( )' 0g x > ( )g x ( )4,+∞ 1 2 0x x> > ( ) ( )1 2 0g x g x− > ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x− + − > ( ) ( )1 2 1 2 1f x f x x x − > −− 1 20 x x< < ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2 2 1 1f x f x f x f x x x x x − −= > −− − ( ) ( ) ( )h x f x g x= − ( )2sin 2 cos 0a aρ θ θ= > ( )2, 4P − − 2 4 x t y t = − +  = − + PM MN PN a 2 2y ax= 2y x= − 1a = 【解析】 【分析】 （1）利用极坐标化为直角坐标方程的公式 可得曲线 C 的方程，消去参 数 可得直线 l 的方程 （2）把直线的方程代入抛物线的方程得到根与系数的关系，利用两点间的距离公式和等比数 列的定义即可得出 【详解】（1）由曲线 C： ， 可得 ，化为 由直线 l 的参数方程为 ，消去参数 t 可得直线 l： ． （2）联立 ， 化为 ∵直线 l 与抛物线相交于两点 ∴ ，解得 或 ∴ ∴ ， ∴ ∵ ， ， 成等比数列 ∴ ∴ 化为 ∵ 或 cos , sinx yρ θ ρ θ= = t ( )2sin 2 cos 0a aρ θ θ= > 2 2sin 2 cosaρ θ ρ θ= 2 2y ax= 2 4 x t y t = − +  = − + 2y x= − 2 2 2 y x y ax = −  = ( )2 4 2 4 0x a x− + + = ( )24 2 16 0a∆ = + − > 0a > 4a < - 1 2 1 24 2 , 4x x a x x+ = + = ( ) ( (2 2 2 1 2 1 21 1 [ ) 4 2[ 4 2 ) 16 8 32MN x x x x a a a = + + − = + − = +  2 2 1 1 1( 2) ( 4) 2 2PM x y x= + + + = + PN = 22 2x + ( )( ) ( )1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 4PM PN x x x x x x= + + = + + + 2 16 4a= + PM MN PN 2MN PM PN= ( )2 28 232 16 4a aa+ = + ( )4 4a a a+ = + 0a > 4a < - 解得 ∴ 【点睛】本题考查的是极坐标方程与直角方程的互化、参数方程与普通方程的互化、直线与 抛物线相交的知识，属于中档题. 23.已知函数 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）设函数 ，当 时， ，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）将 代入不等式，讨论 范围去绝对值符号解得不等式. （2）利用绝对值三角不等式得到答案. 【详解】(1) 当 时， 综上 (2) 恒成立 恒成立 解不等式可得 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，绝对值三角不等式，利用绝对值三角不等式将恒成立 1a = 1a = ( ) 2f x x a a= − + 4a = ( ) 1 8f x x+ − ≤ ( ) 2 3g x x= − x∈R ( ) ( ) 5f x g x+ ≥ a 1 33x x  ≤ ≤    4a ≥ 4a = x 4a = 2 2 1 4x x− + − ≤ 2 2 33 5 4 x xx ≥ ∴ ≤ ≤ − ≤ 1 2 1 24 2 1 4 x xx x ≤ < ∴ ≤ < − + − ≤ 1 1 14 2 1 4 3 x xx x < ∴ ≤ < − + − ≤ 1 33x x  ≤ ≤    ( ) ( ) 5f x g x+ ≥ 2 3 2 5 (2 3) (2 ) 5x x a a x x a a− + − + ≥ ⇒ − − − + ≥ 3 5a a− + ≥ 4a ≥ 问题转化为最值问题是解题的关键.