内蒙古鄂尔多斯市2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题

内蒙古鄂尔多斯市2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题

鄂尔多斯市2018-2019学年第一学期期中考试 高二年级理科数学试题 ‎（试卷总分150分，答题时间120分钟）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.设集合，，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】解：．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】考查描述法和区间表示集合的定义以及交集的运算．‎ ‎2. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由选项可知，项均不是偶函数，故排除，项是偶函数，但项与轴没有交点，即项的函数不存在零点，故选A.‎ 考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.‎ ‎3.已知向量，且，则m=( )‎ A. −8 B. −6‎ C. 6 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．‎ 详解】∵，又，‎ ‎∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．‎ ‎4.在等比数列中，，则=（ ）‎ A. 8 B. ‎10 ‎C. 14 D. 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 设出等比数列的公比后,利用等比数列的通项公式运算可得.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为,由,可得,‎ 可得,‎ 可得,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式以及运算求解能力.属于基础题.‎ ‎5.若－<α<0，则点P(tanα，cosα)位于 (　　)‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：∵－<α<0，∴tanα<0，cosα>0，∴点P(tanα，cosα)位于第二象限，故选B 考点：本题考查了三角函数值的符号 点评：熟练掌握三角函数的定义及三角函数的值的求法是解决此类问题的关键，属基础题 ‎6.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．‎ ‎【详解】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．‎ ‎7.已知正数满足，则的最小值是（ ）‎ A. 18 B. ‎16 ‎C. 8 D. 10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 然后运用基本不等式求出最小值 ‎【详解】‎ 当且仅当，即，时，取得最小值 故选 ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，本题运用了均值不等式，属于基础题 ‎8.圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.‎ ‎【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式 ‎【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．‎ ‎9.在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，则二面角B－AC－D的余弦值为(　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图，在菱形ABCD中由题意可得．‎ 将菱形沿对角线AC折起后得到如图三棱锥，取AC的中点，连，则，所以即为二面角B－AC－D的平面角．‎ 在中，，‎ 由余弦定理得，‎ 故二面角B－AC－D的余弦值为．选A．‎ ‎10.已知数列的前项和为，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：类比着，有，两式相减，可得，整理得，且有，从而得，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，故选A．‎ 考点：数列的递推公式，数列的通项公式．‎ ‎11.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）‎ A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：将函数的图象向右平移个单位长度，得，‎ ‎∵，∴，∴函数在上为增函数．‎ 考点：函数图象的平移、三角函数的单调性．‎ ‎12.设函数，若互不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析题意，将问题转化为：方程有三个解，，，此时可利用数形结合思想分析的取值范围.‎ ‎【详解】设有三个解，，，不妨令，作出和图象如图所示：‎ 因为顶点坐标为，所以；‎ 由图象可知：关于对称，所以；‎ 令，，令，，所以；‎ 所以.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查了数形结合的思想，难度较难.通过数形结合，可将抽象的函数零点个数或者方程根的数目转化为直观的函数图象的交点个数.常见数形结合思想的应用角度：‎ ‎（1）确定方程根或者函数零点数目；‎ ‎（2）求解参数范围；‎ ‎（3）求解不等式的解集；‎ ‎（4）研究函数的性质.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.在边长为2的正中，则 ‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：本题考查平面向量的数量积的定义 点评：解决本题的关键是注意向量的夹角，共起点 ‎14.如果实数满足条件，那么的最大值为 ‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．‎ ‎【详解】先根据约束条件画出可行域，‎ 当直线过点时，‎ z最大是1，‎ 故答案为1．‎ ‎【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．‎ ‎15.已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意，易求得，所以，从而 ‎，设数列的前项和为，则.‎ 考点：等差数列知识以及特殊数列求和的方法之一：拆项相消法.‎ ‎16.的内角，，所对的边分别为.若成等比数列，求的最小值__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理结合等比中项性质、基本不等式，即可得答案.‎ ‎【详解】∵的内角，，所对的边分别为.若成等比数列，‎ ‎∴，∴，当且仅当时，等号成立.‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理、等比中项性质、基本不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.‎ 三、解答题（本大题共70分）‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）最大值为，最小值为-1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用正弦函数的两角和与差的公式、二倍角的余弦公式与辅助角公式将化为，‎ 利用周期公式即可求得函数的最小正周期；（2）可分析得到函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，从而可求得在区间上的最大值和最小值.‎ 试题解析：(1)f(x)＝sin 2x·cos＋cos 2x·sin＋sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x ‎＝sin 2x＋cos 2x＝sin. ‎ 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π. ‎ ‎(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．‎ 又，‎ ‎ 故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.‎ ‎18.已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式 ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由已知设等差数列的公差为，又，且成等比数列，根据等比数列的性质列方程，解得，代入等差数列的通项公式即可；（2）由已知得，根据等比数列的定义判断是以2为首项2为公比的等比数列，代入等比数列的前n项和公式即可.‎ 试题解析：‎ 解：（1）设公差为d,则有,‎ ‎∴d=0（舍）或,‎ ‎∴‎ ‎（2）令 ‎∵为定常数 ‎∴是以2为首项2为公比的等比数列 ‎∴‎ 考点：等差数列的通项公式；等比数列的定义和性质；等比数列的前n项和公式.‎ ‎19.某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示.已知在全体教职工中随机抽取一名，抽到第二批次中女职工的概率是0.16.‎ 第一批次 第二批次 第三批次 女教职工 ‎196‎ 男教职工 ‎204‎ ‎156‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？‎ ‎（3）已知，，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率.‎ ‎【答案】（1）（2）应在第三批次中抽取12名（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在全体教职工中随机抽取1名，抽到第2批次中女教师职工的概率是0.16，用除以总体数等于0.16，即可求出的值；‎ ‎（2‎ ‎）根据总体数和第1批次和第2批次的总人数和总体数，得到第三批次的人数，根据每个个体被抽到的概率，列出等式，解方程即可；‎ ‎（3）试验发生包含的事件数可以通过列举得到结果，满足条件的事件也可以通过列举得到事件数，再利用古典概型的求概率公式，计算概率.‎ ‎【详解】（1）由，解得.‎ ‎（2）第三批次的人数为，‎ 设应在第三批次中抽取名，则，解得.‎ ‎∴应在第三批次中抽取12名.‎ ‎（3）设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为，第三批次女教职工和男教职工数记为数对，由（2）知，（，，）则基本事件总数有：‎ ‎，，，，，，，，，共9个，‎ 而事件包含的基本事件有：，，，，共4个，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样的方法、古典概型的概率计算、样本的数字特征估计总体的数字特征，考查运算求解能力.‎ ‎20.设的内角所对的边分别为，且，．‎ ‎（Ⅰ）求值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）因为，‎ 所以 分别代入得解得 ‎（Ⅱ）由得，‎ 因为所以 所以 ‎【考点定位】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了方程思想和运算能力. 由求的过程中体现了整体代换的运算技巧，而求的过程则体现了“通性通法”的常规考查.‎ ‎21. △ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.‎ ‎（Ⅰ）求B；‎ ‎（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）B=（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)∵a=bcosC+csinB ‎∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB ①‎ 在三角形ABC中，A=－(B+C)‎ ‎∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ②‎ 由①和②得sinBsinC=cosBsinC 而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB 又B(0，)，∴B=‎ ‎(2) S△ABCacsinBac，‎ 由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos‎2ac﹣‎2ac，‎ 整理得：ac，当且仅当a＝c时，等号成立，‎ 则△ABC面积的最大值为（2）1．‎ ‎22.如图，在三棱柱中，底面，且为正三角形，，为的中点.‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积；‎ ‎（3）三棱柱的顶点都在一个球面上，求该球的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）（3）球的体积为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接B‎1C交BC1于点O，连接OD，可得A1BOD，则直线AB1平面BC1D；‎ ‎（2）直接利用等积法求三棱锥的体积；‎ ‎（3）设底面三角形的中心为G，则AG，再设三棱柱的外接球的球心为M，求出半径MA，则球的体积可求.‎ ‎【详解】（1）连接B‎1C交BC1于点O，连接OD，则O为B‎1C的中点，‎ ‎∵D为AC的中点，得DO为的中位线，∴A1BOD，‎ ‎∵OD平面BC1D，AB1平面BC1D，‎ ‎∴直线平面；‎ ‎（2）在正棱柱中，AA1AB6，‎ ‎∴；‎ ‎（3）设底面三角形的中心为G，则AG，再设三棱柱的外接球的球心为M，则球的半径为，‎ ‎∴球的体积为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的判定、球的体积，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意等积法的应用.‎