2019高考数学（理）冲刺大题提分（讲义+练习）大题精做10 圆锥曲线：定点、定值问题（理）

2019高考数学（理）冲刺大题提分（讲义+练习）大题精做10 圆锥曲线：定点、定值问题（理）

圆锥曲线：定点、定值问题 大题精做十 精选大题 ‎[2019·甘肃联考]已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，‎ 且原点到直线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且与圆相切．‎ 试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题可知，，，则，‎ 直线的方程为，即，所以，‎ 解得，，‎ 又，所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）因为直线与圆相切，‎ 所以，即．‎ 设，，联立，得，‎ 所以，‎ ‎·7·‎ ‎，，‎ 所以．‎ 又，所以．‎ 因为，同理．‎ 所以，‎ 所以的周长是，‎ 则的周长为定值．‎ 模拟精做 ‎1．[2019·安庆期末]已知椭圆过点，焦距长，过点的直线交椭圆于，两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知点，求证：为定值．‎ ‎·7·‎ ‎2．[2019·东莞期末]已知椭圆的中心在坐标原点，左右焦点分别为和，且椭圆经过点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆的右顶点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆交于点，（均异于点），‎ 求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎3．[2019·漳州一模]已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆的右焦点且斜率存在的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值．‎ ‎·7·‎ 答案与解析 ‎1．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由条件焦距为，知，从而将代入方程，‎ 可得，，故椭圆方程为．‎ ‎（2）当直线的斜率不为0时，设直线交椭圆于，，‎ 由，可得，‎ ‎，，，，‎ ‎，‎ 化简得，‎ 当直线斜率为0时， ，，，‎ 即证为定值，且为．‎ ‎2．【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）设椭圆的标准方程为，‎ ‎，，‎ ‎∴，∴，∴，‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）①直线斜率存在，设直线，，，‎ ‎·7·‎ 联立方程，消去得，‎ ‎，，‎ ‎，又，‎ 由，得，‎ 即，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．解得，，且均满足，‎ 当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；‎ 当时，直线的方程为，直线过定点．‎ ‎②由椭圆的对称性所得，当直线，的倾斜角分别为，，易得直线，‎ ‎，直线，分别与椭圆交于点，，‎ 此时直线斜率不存在，也过定点，‎ 综上所述，直线恒过定点．‎ ‎3．【答案】（1）；（2）详见解析．‎ ‎【解析】解法一：（1）设椭圆的标准方程为，‎ 由抛物线的焦点为，得，① 又，②‎ 由①②及，解得，‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎·7·‎ ‎（2）依题意设直线的方程为，‎ 设点，，当时，联立方程，‎ 得，，‎ 所以，，的中点坐标为，‎ 的垂直平分线为，‎ 令，得，，‎ 又，所以，‎ 当时，点与原点重合，则，，所以；‎ 综上所述，为定值．‎ 解法二：‎ ‎（1）同解法一．‎ ‎（2）依题意，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，‎ 设点，，联立方程，得，‎ 所以，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎·7·‎ ‎，‎ 所以的中点坐标为，‎ 的垂直平分线为，‎ 令，得，所以，所以；‎ 当直线的斜率为0时，点与原点重合，则，，所以；‎ 综上所述，为定值．‎ ‎·7·‎