2008年北京市高考数学试卷(理科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】
2008年北京市高考数学试卷(理科)
一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)
1. 已知全集U=R,集合A={x|-2≤x<3},B={x|x<-1或x≥4},那么集合A∩B等于( )
A.{x|-1
3} C.{x|-2≤x<-1} D.{x|-1≤x<3}
2. 若a=20.5,b=logπ3,c=log2sin2π5,则( )
A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a
3. “函数f(x)(x∈R)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 若点P到直线x=-1的距离比它到点(2, 0)的距离小1,则点P的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
5. 若实数x,y满足x-y+1≥0x+y≥0x≤0 则z=3x+2y的最小值是( )
A.0 B.1 C.3 D.9
6. 已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,那么a10等于( )
A.-165 B.-33 C.-30 D.-21
7. 过直线y=x上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l1,l2,当直线l1,l2关于y=x对称时,它们之间的夹角为( )
A.30∘ B.45∘ C.60∘ D.90∘
8. 如图,动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上.过点P作垂直于平面BB1D1D的直线,与正方体表面相交于M,N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是( )
A. B. C. D.
二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)
9. 已知(a-i)2=2i,其中i是虚数单位,那么实数a=________.
10. 已知向量a→与b→的夹角为120∘,且|a→|=|b→|=4,那么b→⋅(2a→+b→)的值为________.
11. 若(x2+1x3)n展开式的各项系数之和为32,则n=________,其展开式中的常数项为________(用数字作答).
12. 如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0, 4),(2, 0),(6, 4),则f(f(0))=________;lim△x→0f(1+△x)-f(1)△x=________.(用数字作答)
13. 已知函数f(x)=x2-cosx,对于[-π2, π2]上的任意x1,x2,有如下条件:
①x1>x2;②x12>x22;③|x1|>x2.
其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的条件序号是________.
14. 某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第k棵树种植在点Pk(xk, yk)处,其中x1=1,y1=1,当k≥2时,xk=xk-1+1-5[T(k-15)-T(k-25)]yk=yk-1+T(k-15)-T(k-25)T(a)表示非负实数a
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的整数部分,例如T(2.6)=2,T(0.2)=0.按此方案,第6棵树种植点的坐标应为________;第2009棵树种植点的坐标应为________.
三、解答题(共6小题,满分80分)
15. 已知函数f(x)=sin2ωx+3sinωxsin(ωx+π2)(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求函数f(x)在区间[0, 2π3]上的取值范围.
16. 如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90∘,AP=BP=AB,PC⊥AC.
(1)求证:PC⊥AB;
(2)求二面角B-AP-C的大小;
(3)求点C到平面APB的距离.
17. 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.
(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;
(3)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,求ξ的分布列.
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18. 已知函数f(x)=2x-b(x-1)2,求导函数f'(x),并确定f(x)的单调区间.
19. 已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.
(1)当直线BD过点(0, 1)时,求直线AC的方程;
(2)当∠ABC=60∘时,求菱形ABCD面积的最大值.
20. 对于每项均是正整数的数列A:a1,a2,…,an,定义变换T1,T1将数列A变换成数列T1(A):n,a1-1,a2-1,…,an-1;对于每项均是非负整数的数列B:b1,b2,…,bm,定义变换T2,T2将数列B各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列T2(B);又定义S(B)=2(b1+2b2+...+mbm)+b12+b22+...+bm2.设A0是每项均为正整数的有穷数列,令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0, 1, 2,…).
(1)如果数列A0为5,3,2,写出数列A1,A2;
(2)对于每项均是正整数的有穷数列A,证明S(T1(A))=S(A);
(3)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0,存在正整数K,当k≥K时,S(Ak+1)=S(Ak).
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参考答案与试题解析
2008年北京市高考数学试卷(理科)
一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)
1.C
2.A
3.B
4.D
5.B
6.C
7.C
8.B
二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)
9.-1
10.0
11.5,10
12.2,-2
13.②
14.(1, 2),(4, 402)
三、解答题(共6小题,满分80分)
15.解:(1)f(x)=1-cos2ωx2+32sin2ωx
=32sin2ωx-12cos2ωx+12
=sin(2ωx-π6)+12.
∵ 函数f(x)的最小正周期为π,且ω>0,
∴ 2π2ω=π,解得ω=1.
(2)由(2)得f(x)=sin(2x-π6)+12.
∵ 0≤x≤2π3,
∴ -π6≤2x-π6≤7π6,
∴ -12≤sin(2x-π6)≤1.
∴ 0≤sin(2x-π6)+12≤32,即f(x)的取值范围为[0,32].
16.解:(1)取AB中点D,连接PD,CD.
∵ AP=BP,∴ PD⊥AB.
∵ AC=BC,∴ CD⊥AB.
∵ PD∩CD=D,∴ AB⊥平面PCD.
∵ PC⊂平面PCD,∴ PC⊥AB.
(2)∵ AC=BC,AP=BP,∴ △APC≅△BPC.
又PC⊥AC,∴ PC⊥BC.
又∠ACB=90∘,即AC⊥BC,且AC∩PC=C,∴ BC⊥平面PAC.
取AP中点E.连接BE,CE.
∵ AB=BP,∴ BE⊥AP.
∵ EC是BE在平面PAC内的射影,∴ CE⊥AP.
∴ ∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
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在△BCE中,BC=2,BE=32AB=6,CE=2
cos∠BEC=33.∴ 二面角B-AP-C的大小arccos33.
(3)由(1)知AB⊥平面PCD,∴ 平面APB⊥平面PCD.
过C作CH⊥PD,垂足为H.
∵ 平面APB∩平面PCD=PD,∴ CH⊥平面APB.
∴ CH的长即为点C到平面APB的距离.
由(1)知PC⊥AB,又PC⊥AC,且AB∩AC=A,∴ PC⊥平面ABC.
∵ CD⊂平面ABC,∴ PC⊥CD.
在Rt△PCD中,CD=12AB=2,PD=32PB=6,
∴ PC=PD2-CD2=2.∴ CH=PC⋅CDPD=233.
∴ 点C到平面APB的距离为233.
17.解:(1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA,
总事件数是从5个人中选2个作为一组,同其他3人共4个元素在四个位置进行排列C52A44.
满足条件的事件数是A33,
那么P(EA)=A33C52A44=140,
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是140.
(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E,
满足条件的事件数是A44,
那么P(E)=A44C52A44=110,
∴ 甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E¯)=1-P(E)=910.
(3)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务,
则P(ξ=2)=C52A33C53A44=14.
∴ P(ξ=1)=1-P(ξ=2)=34,ξ的分布列是
ξ
1
2
P
34
14
18.解:f'(x)=2(x-1)2-(2x-b)⋅2(x-1)(x-1)4=-2x+2b-2(x-1)3=-2[x-(b-1)](x-1)3.
令f'(x)=0,得x=b-1.
当b-1<1,即b<2时,f'(x)的变化情况如下表:
x
(-∞, b-1)
b-1
(b-1, 1)
(1, +∞)
f'(x)
-
0
+
-
当b-1>1,即b>2时,f'(x)的变化情况如下表:
x
(-∞, 1)
(1, b-1)
b-1
(b-1, +∞)
f'(x)
-
+
0
-
所以,当b<2时,函数f(x)在(-∞, b-1)上单调递减,在(b-1, 1)上单调递增,
在(1, +∞)上单调递减.
当b>2时,函数f(x)在(-∞, 1)上单调递减,在(1, b-1)上单调递增,在(b-1, +∞)上单调递减.
当b-1=1,即b=2时,f'(x)=-2(x-1)2,所以函数f(x)在(-∞, 1)上单调递减,在(1, +∞)上单调递减.
19.解:(1)由题意得直线BD的方程为y=x+1.
因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.
于是可设直线AC的方程为y=-x+n.
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由x2+3y2=4y=-x+n得4x2-6nx+3n2-4=0.
因为A,C在椭圆上,
所以△=-12n2+64>0,解得-433
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