2008年北京市高考数学试卷(理科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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文档介绍

2008年北京市高考数学试卷(理科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

‎2008年北京市高考数学试卷(理科)‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)‎ ‎1. 已知全集U=R,集合A={x|-2≤x<3}‎,B={x|x<-1或x≥4}‎,那么集合A∩B等于( )‎ A.‎{x|-13}‎ C.‎{x|-2≤x<-1}‎ D.‎‎{x|-1≤x<3}‎ ‎2. 若a=‎‎2‎‎0.5‎,b=logπ3‎,c=log‎2‎sin‎2π‎5‎,则( )‎ A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.‎b>c>a ‎3. “函数f(x)(x∈R)‎存在反函数”是“函数f(x)‎在R上为增函数”的( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4. 若点P到直线x=-1‎的距离比它到点‎(2, 0)‎的距离小‎1‎,则点P的轨迹为(        )‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ‎5. 若实数x,y满足x-y+1≥0‎x+y≥0‎x≤0‎‎ ‎则z=‎3‎x+2y的最小值是( )‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎3‎ D.‎‎9‎ ‎6. 已知数列‎{an}‎对任意的p,q∈‎N‎*‎满足ap+q‎=ap+‎aq,且a‎2‎‎=-6‎,那么a‎10‎等于( )‎ A.‎-165‎ B.‎-33‎ C.‎-30‎ D.‎‎-21‎ ‎7. 过直线y=x上的一点作圆‎(x-5‎)‎‎2‎+(y-1‎)‎‎2‎=2‎的两条切线l‎1‎,l‎2‎,当直线l‎1‎,l‎2‎关于y=x对称时,它们之间的夹角为( )‎ A.‎30‎‎∘‎ B.‎45‎‎∘‎ C.‎60‎‎∘‎ D.‎‎90‎‎∘‎ ‎8. 如图,动点P在正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎的对角线BD‎1‎上.过点P作垂直于平面BB‎1‎D‎1‎D的直线,与正方体表面相交于M,N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)‎的图象大致是(        )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)‎ ‎9. 已知‎(a-i‎)‎‎2‎=2i,其中i是虚数单位,那么实数a=‎________.‎ ‎10. 已知向量a‎→‎与b‎→‎的夹角为‎120‎‎∘‎,且‎|a‎→‎|=|b‎→‎|=4‎,那么b‎→‎‎⋅(2a‎→‎+b‎→‎)‎的值为________.‎ ‎11. 若‎(x‎2‎+‎‎1‎x‎3‎‎)‎n展开式的各项系数之和为‎32‎,则n=‎________,其展开式中的常数项为________(用数字作答).‎ ‎12. 如图,函数f(x)‎的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为‎(0, 4)‎,‎(2, 0)‎,‎(6, 4)‎,则f(f(0)‎)‎=‎________;lim‎△x→0‎f(1+△x)-f(1)‎‎△x‎=‎________.(用数字作答)‎ ‎13. 已知函数f(x)=x‎2‎-cosx,对于‎[-π‎2‎, π‎2‎]‎上的任意x‎1‎,x‎2‎,有如下条件:‎ ‎①x‎1‎‎>‎x‎2‎;②x‎1‎‎2‎‎>‎x‎2‎‎2‎;③‎|x‎1‎|>‎x‎2‎.‎ 其中能使f(x‎1‎)>f(x‎2‎)‎恒成立的条件序号是________.‎ ‎14. 某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第k棵树种植在点Pk‎(xk, yk)‎处,其中x‎1‎‎=1‎,y‎1‎‎=1‎,当k≥2‎时,xk‎=xk-1‎+1-5[T(k-1‎‎5‎)-T(k-2‎‎5‎)]‎yk‎=yk-1‎+T(k-1‎‎5‎)-T(k-2‎‎5‎)‎T(a)‎表示非负实数a ‎ 6 / 6‎ 的整数部分,例如T(2.6)=2‎,T(0.2)=0‎.按此方案,第‎6‎棵树种植点的坐标应为________;第‎2009‎棵树种植点的坐标应为________.‎ 三、解答题(共6小题,满分80分)‎ ‎15. 已知函数f(x)=sin‎2‎ωx+‎3‎sinωxsin(ωx+π‎2‎)(ω>0)‎的最小正周期为π.‎ ‎(1)‎求ω的值;‎ ‎(2)‎求函数f(x)‎在区间‎[0, ‎2π‎3‎]‎上的取值范围.‎ ‎16. 如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2‎,‎∠ACB=‎‎90‎‎∘‎,AP=BP=AB,PC⊥AC.‎ ‎(1)求证:PC⊥AB;‎ ‎(2)求二面角B-AP-C的大小;‎ ‎(3)求点C到平面APB的距离.‎ ‎17. 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.‎ ‎(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;‎ ‎(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;‎ ‎(3)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,求ξ的分布列.‎ ‎ 6 / 6‎ ‎18. 已知函数f(x)=‎‎2x-b‎(x-1‎‎)‎‎2‎,求导函数f'(x)‎,并确定f(x)‎的单调区间.‎ ‎19. 已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x‎2‎‎+3y‎2‎=4‎上,对角线BD所在直线的斜率为‎1‎.‎ ‎(1)当直线BD过点‎(0, 1)‎时,求直线AC的方程;‎ ‎(2)当‎∠ABC=‎‎60‎‎∘‎时,求菱形ABCD面积的最大值.‎ ‎20. 对于每项均是正整数的数列A:‎a‎1‎,a‎2‎,…,an,定义变换T‎1‎,T‎1‎将数列A变换成数列T‎1‎‎(A)‎:n,a‎1‎‎-1‎,a‎2‎‎-1‎,…,an‎-1‎;对于每项均是非负整数的数列B:‎b‎1‎,b‎2‎,…,bm,定义变换T‎2‎,T‎2‎将数列B各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列T‎2‎‎(B)‎;又定义S(B)=2(b‎1‎+2b‎2‎+...+mbm)+b‎1‎‎2‎+b‎2‎‎2‎+...+‎bm‎2‎.设A‎0‎是每项均为正整数的有穷数列,令Ak+1‎‎=‎T‎2‎(T‎1‎‎(Ak)‎)‎(k=0, 1, 2‎,…‎)‎.‎ ‎(1)如果数列A‎0‎为‎5‎,‎3‎,‎2‎,写出数列A‎1‎,A‎2‎;‎ ‎(2)对于每项均是正整数的有穷数列A,证明S(T‎1‎‎(A)‎)‎=S(A)‎;‎ ‎(3)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A‎0‎,存在正整数K,当k≥K时,S(Ak+1‎)=S(Ak)‎.‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2008年北京市高考数学试卷(理科)‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)‎ ‎1.C ‎2.A ‎3.B ‎4.D ‎5.B ‎6.C ‎7.C ‎8.B 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)‎ ‎9.‎‎-1‎ ‎10.‎‎0‎ ‎11.‎5‎,‎‎10‎ ‎12.‎2‎,‎‎-2‎ ‎13.②‎ ‎14.‎(1, 2)‎,‎‎(4, 402)‎ 三、解答题(共6小题,满分80分)‎ ‎15.解:‎‎(1)f(x)=‎1-cos2ωx‎2‎+‎3‎‎2‎sin2ωx ‎=‎3‎‎2‎sin2ωx-‎1‎‎2‎cos2ωx+‎‎1‎‎2‎ ‎=sin(2ωx-π‎6‎)+‎‎1‎‎2‎‎.‎ ‎∵ 函数f(x)‎的最小正周期为π,且ω>0‎,‎ ‎∴ ‎2π‎2ω‎=π,解得ω=1‎.‎ ‎(2)‎由‎(2)‎得f(x)=sin(2x-π‎6‎)+‎‎1‎‎2‎.‎ ‎∵ ‎0≤x≤‎‎2π‎3‎,‎ ‎∴ ‎-π‎6‎≤2x-π‎6‎≤‎‎7π‎6‎,‎ ‎∴ ‎-‎1‎‎2‎≤sin(2x-π‎6‎)≤1‎.‎ ‎∴ ‎0≤sin(2x-π‎6‎)+‎1‎‎2‎≤‎‎3‎‎2‎,即f(x)‎的取值范围为‎[0,‎3‎‎2‎]‎.‎ ‎16.解:(1)取AB中点D,连接PD,CD.‎ ‎∵ AP=BP,∴ PD⊥AB.‎ ‎∵ AC=BC,∴ CD⊥AB.‎ ‎∵ PD∩CD=D,∴ AB⊥‎平面PCD.‎ ‎∵ PC⊂‎平面PCD,∴ PC⊥AB.‎ ‎(2)∵ AC=BC,AP=BP,∴ ‎△APC≅△BPC.‎ 又PC⊥AC,∴ PC⊥BC.‎ 又‎∠ACB=‎‎90‎‎∘‎,即AC⊥BC,且AC∩PC=C,∴ BC⊥‎平面PAC.‎ 取AP中点E.连接BE,CE.‎ ‎∵ AB=BP,∴ BE⊥AP.‎ ‎∵ EC是BE在平面PAC内的射影,∴ CE⊥AP.‎ ‎∴ ‎∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.‎ ‎ 6 / 6‎ 在‎△BCE中,BC=2‎,BE=‎3‎‎2‎AB=‎‎6‎,‎CE=‎‎2‎ cos∠BEC=‎‎3‎‎3‎‎.∴ 二面角B-AP-C的大小arccos‎3‎‎3‎.‎ ‎(3)由(1)知AB⊥‎平面PCD,∴ 平面APB⊥‎平面PCD.‎ 过C作CH⊥PD,垂足为H.‎ ‎∵ 平面APB∩‎平面PCD=PD,∴ CH⊥‎平面APB.‎ ‎∴ CH的长即为点C到平面APB的距离.‎ 由(1)知PC⊥AB,又PC⊥AC,且AB∩AC=A,∴ PC⊥‎平面ABC.‎ ‎∵ CD⊂‎平面ABC,∴ PC⊥CD.‎ 在Rt△PCD中,CD=‎1‎‎2‎AB=‎‎2‎,PD=‎3‎‎2‎PB=‎‎6‎,‎ ‎∴ PC=PD‎2‎-CD‎2‎=2‎.∴ CH=PC⋅CDPD=‎‎2‎‎3‎‎3‎.‎ ‎∴ 点C到平面APB的距离为‎2‎‎3‎‎3‎.‎ ‎17.解:(1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA,‎ 总事件数是从‎5‎个人中选‎2‎个作为一组,同其他‎3‎人共‎4‎个元素在四个位置进行排列C‎5‎‎2‎A‎4‎‎4‎.‎ 满足条件的事件数是A‎3‎‎3‎,‎ 那么P(EA)=A‎3‎‎3‎C‎5‎‎2‎A‎4‎‎4‎=‎‎1‎‎40‎,‎ 即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是‎1‎‎40‎.‎ ‎(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E,‎ 满足条件的事件数是A‎4‎‎4‎,‎ 那么P(E)=A‎4‎‎4‎C‎5‎‎2‎A‎4‎‎4‎=‎‎1‎‎10‎,‎ ‎∴ 甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E‎¯‎)=1-P(E)=‎‎9‎‎10‎.‎ ‎(3)随机变量ξ可能取的值为‎1‎,‎2‎.事件“ξ=2‎”是指有两人同时参加A岗位服务,‎ 则P(ξ=2)=C‎5‎‎2‎A‎3‎‎3‎C‎5‎‎3‎A‎4‎‎4‎=‎‎1‎‎4‎.‎ ‎∴ P(ξ=1)=1-P(ξ=2)=‎‎3‎‎4‎,ξ的分布列是 ‎ ‎ξ ‎ ‎‎1‎ ‎ ‎‎2‎ ‎ ‎P ‎ ‎‎3‎‎4‎ ‎ ‎‎1‎‎4‎ ‎18.解:f'(x)=‎2(x-1‎)‎‎2‎-(2x-b)⋅2(x-1)‎‎(x-1‎‎)‎‎4‎=‎-2x+2b-2‎‎(x-1‎‎)‎‎3‎=-‎‎2[x-(b-1)]‎‎(x-1‎‎)‎‎3‎.‎ 令f‎'‎‎(x)=0‎,得x=b-1‎.‎ 当b-1<1‎,即b<2‎时,f‎'‎‎(x)‎的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞, b-1)‎ b-1‎ ‎(b-1, 1)‎ ‎(1, +∞)‎ f'(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎-‎ 当b-1>1‎,即b>2‎时,f‎'‎‎(x)‎的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞, 1)‎ ‎(1, b-1)‎ b-1‎ ‎(b-1, +∞)‎ f'(x)‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 所以,当b<2‎时,函数f(x)‎在‎(-∞, b-1)‎上单调递减,在‎(b-1, 1)‎上单调递增,‎ 在‎(1, +∞)‎上单调递减.‎ 当b>2‎时,函数f(x)‎在‎(-∞, 1)‎上单调递减,在‎(1, b-1)‎上单调递增,在‎(b-1, +∞)‎上单调递减.‎ 当b-1=1‎,即b=2‎时,f‎'‎‎(x)=-‎‎2‎‎(x-1‎‎)‎‎2‎,所以函数f(x)‎在‎(-∞, 1)‎上单调递减,在‎(1, +∞)‎上单调递减.‎ ‎19.解:(1)由题意得直线BD的方程为y=x+1‎.‎ 因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.‎ 于是可设直线AC的方程为y=-x+n.‎ ‎ 6 / 6‎ 由x‎2‎‎+3y‎2‎=4‎y=-x+n得‎4x‎2‎-6nx+3n‎2‎-4=0‎.‎ 因为A,C在椭圆上,‎ 所以‎△=-12n‎2‎+64>0‎,解得‎-‎4‎‎3‎‎3‎
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