高考数学专题复习练习：第二章 2_6对数的概念
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中
a 叫做对数的底数， N 叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(2)对数的性质
①＝ N ；②logaaN＝ N (a>0且a≠1)．
(3)对数的换底公式
logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
3．对数函数的图象与性质
y=logax
a>1
0
1时，y>0;
当01时，y<0;
当00
(6)在(0，＋∞)上是增函数
(7)在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x 对称．
【知识拓展】
1．换底公式的两个重要结论
(1)logab＝；
其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.
2．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故00，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( × )
(2)logax·logay＝loga(x＋y)．( × )
(3)函数y＝log2x及都是对数函数．( × )
(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )
(5)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √ )
(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．( √ )
1．(教材改编)(log29)·(log34)等于( )
A. B. C．2 D．4
答案 D
解析 (log29)·(log34)＝2log23·2log32＝4.
2．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是( )
答案 B
解析 由函数f(x)＝lg(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R.又当x>1时，函数单调递增，所以只有选项B正确．
3．已知则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
答案 C
解析
∵log3>log33＝1且<3.4，
∴log31，
∴log43.6log3>log43.6.
由于y＝5x为增函数，
即故a>c>b.
4．(2016·成都模拟)函数y＝的定义域为 ．
答案 (，1]
解析 由log0.5(4x－3)≥0且4x－3>0，得0且a≠1)，则实数a的取值范围是 ．
答案 ∪(1，＋∞)
解析 当01时，loga1.
∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．
题型一 对数的运算
例1 (1)已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝ .
(2)计算：＝ .
答案 (1)12 (2)1
解析 (1)∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.
(2)原式
＝
＝
＝
＝＝＝＝1.
思维升华 对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)
合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
(1)若a＝log43，则2a＋2－a＝ .
(2)(2016·济南模拟)2(lg)2＋lg ·lg 5＋＝ .
答案 (1) (2)1
解析 (1)∵a＝log43＝log223＝log23＝log2，
＝＋＝.
(2)原式＝2×(lg 2)2＋lg 2×lg 5＋
＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2
＝lg 2＋1－lg 2＝1.
题型二 对数函数的图象及应用
例2 (1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1 B．a>1,01 D．01时不满足条件，当0，所以a的取值范围为(，1)．
思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
(1)若函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
(2)(2016·新疆乌鲁木齐一诊)设f(x)＝|ln(x＋1)|，已知f(a)＝f(b)(a0 B．a＋b>1
C．2a＋b>0 D．2a＋b>1
答案 (1)B (2)A
解析 (1)由题意y＝logax(a>0且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝()x，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象性质可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.
(2)作出函数f(x)＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，
由f(a)＝f(b)，得－ln(a＋1)＝ln(b＋1)，即ab＋a＋b＝0.0＝ab＋a＋b<＋a＋b，即(a＋b)(a＋b＋4)>0，显然－10，
∴a＋b＋4>0，∴a＋b>0，故选A.
题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较对数值的大小
例3 (2015·天津)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
答案 C
解析 由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，
所以f(x)＝2|x|－1.
所以
c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以cf(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
答案 (1)(0，)∪(1，＋∞) (2)C
解析 (1)当a>1时，函数y＝logax在定义域内为增函数，所以loga1或－10且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，
当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．
∴3－2a>0.∴a<.
又a>0且a≠1，∴a的取值范围为(0,1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数．
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，
∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，
∴即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.
思维升华 (1)对数值大小比较的主要方法
①化同底数后利用函数的单调性；
②化同真数后利用图象比较；
③借用中间量(0或1等)进行估值比较．
(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．
(1)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 (1)D (2)A
解析 (1)当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，
所以0≤x≤1；当x>1时，1－log2x≤2，
解得x≥，所以x>1.综上可知x≥0.
(2)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即
解得1≤a<2，即a∈[1,2)，故选A.
3．比较指数式、对数式的大小
考点分析 比较大小问题是每年高考必考内容之一：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
典例 (1)(2016·全国乙卷)若a>b>0,0cb
(2)(2016·河南八市质检)若a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos 100，则( )
A．b>c>a B．b>a>c
C．a>b>c D．c>a>b
(3)若实数a，b，c满足loga2b>0，所以lg a>lg b，
但不能确定lg a、lg b的正负，
所以它们的大小不能确定，所以A错；
对B：logca＝，logcb＝，
而lg a>lg b，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以B正确；
对C：由y＝xc在第一象限内是增函数，
即可得到ac>bc，所以C错；
对D：由y＝cx在R上为减函数，
得ca20＝1,0＝logπ1b>c，故选C.
(3)由loga20，解得x>2且x≠3②；由①②求交集得函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．故选C.
2．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则( )
A．b2.
∵c＝0.83.1，∴00，a≠1)在区间(， ＋∞)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(，＋∞)
答案 A
解析 令M＝x2＋x，当x∈(，＋∞)时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，
又M＝(x＋)2－，因此M的单调递增区间为(－，＋∞)．
又x2＋x>0，所以x>0或x<－，
所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
7．(2015·安徽)lg＋2lg 2－－1＝ .
答案 －1
解析 lg ＋2lg 2－－1＝lg ＋lg 22－2
＝lg －2＝1－2＝－1.
8．函数的最小值为 ．
答案 －
解析 ＝log2x·2log2(2x)＝log2x(1＋log2x)．
设t＝log2x(t∈R)，则原函数可以化为
y＝t(t＋1)＝(t＋)2－(t∈R)，
故该函数的最小值为－，
故f(x)的最小值为－.
9．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间[，]上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是 ．
答案 (，1)
解析 当00，即0<－a<1，
解得1时，函数f(x)在区间[，]上是增函数，
所以loga(1－a)>0，即1－a>1，
解得a<0，此时无解．
综上所述，实数a的取值范围是(，1)．
*10.(2016·南昌模拟)关于函数f(x)＝lg (x≠0，x∈R)有下列命题：
①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；
②在区间(－∞，0)上，函数y＝f(x)是减函数；
③函数f(x)的最小值为lg 2；
④在区间(1，＋∞)上，函数f(x)是增函数．
其中是真命题的序号为 ．
答案 ①③④
解析 ∵函数f(x)＝lg (x≠0，x∈R)，显然f(－x)＝f(x)，
即函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故①正确；
当x>0时，f(x)＝lg ＝lg ＝lg(x＋)，令t(x)＝x＋，x>0，则t′(x)＝1－，可知当x∈(0,1)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，即在x＝1处取得最小值为2.由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.
11．已知函数f(x)＝ln，若f(a)＋f(b)＝0，且0k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
解 (1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]，
故函数h(x)的值域为[0,2]．
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，
得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0,2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，
所以4t＋－15的最小值为－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．
*13.(2017·厦门月考)已知函数f(x)＝ln .
(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；
(2)对于x∈[2,6]，f(x)＝ln >ln 恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)由>0，解得x<－1或x>1，
∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，
f(－x)＝ln ＝ln
＝ln()－1＝－ln ＝－f(x)，
∴f(x)＝ln 是奇函数．
(2)由于x∈[2,6]时，f(x)＝ln >ln 恒成立，
∴>>0，
∵x∈[2,6]，∴0
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