- 2021-06-21 发布 |
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文档介绍
高考数学专题复习练习第十四章 第二节 不等式的证明 课下练兵场
第十四章 第二节 不等式的证明 命 题 报 告 难度及题号 知识点 容易题(题号) 中等题(题号) 稍难题(题号) 大小比较 2 综合法的应用 1、3、4 5、7、9 分析法的应用 11 7 放缩法、反证法的应用 6、8、10、12 一、选择题 1.已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为 ( ) A. B.1 C. D.2 解析:2x+=2(x-a)++2a≥2 +2a=2a+4≥7,∴a≥. 答案:C 2.已知a∈R,b∈R,且a≠b,下列结论正确的是 ( ) A.a2+3ab>2b2 B.a5+b5>a3b2+a2b3 C.a2+b2≥2(a-b-1) D.+>2 解析:对于A、D举反例,如a=0,b=1时A不成立;a=-1,b=1时D不成立, 故A、D不恒成立; 对于B,利用作差法:a5+b5-a3b2-a2b3 =a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3) =(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2). (a-b)2>0,a2+ab+b2>0,而a+b的符号是不确定的,故差值符号不能确定,因此 B不恒成立; 对于C,a2+b2-2a+2b+2 =(a-1)2+(b+1)2≥0, 故a2+b2≥2(a-b-1),C恒成立. 综合以上分析,只有C恒成立. 答案:C 3.若a>0,b>0,则(a+b)(+)的最小值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:(a+b)(+) =1+++1=2+(+) ≥2+2 =4. 答案:D 4.设a>b>c且+≥恒成立,则m的取值范围为 ( ) A.(-∞,-4) B.(-∞,4] C.(4,+∞) D.[4,+∞) 解析:由a>b>c,知:a-b>0,b-c>0,a-c>0. 因此,原不等式等价于m≤+, 又+=+ =2++≥2+2 =4, 当且仅当=时,等号成立. ∴m≤4,即m∈(-∞,4]. 答案:B 5.设a、b、c是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是 ( ) A.|a-b|≤|a-c|+|b-c|; B.a2+≥a+; C.|a-b|+≥2; D.-<-. 解析:对于A,因为|a-b|=|(a-c)+(c-b)|≤|a-c|+|b-c|, 所以|a-b|≤|a-c|+|b-c|恒成立; 对于B,因为a2+-(a+) =(a+)2-(a+)-2 =(a++1)(a+-2), 易知a+≥2,故a2+-(a+)≥0, 所以a2+≥a+恒成立; 对于C,当a>b时,有|a-b|+≥2成立; 当a≤b时,|a-b|+≥2不成立. 对于D,可以证明不等式 -<-也恒成立. 答案:C 6.已知点P是边长为2的等边三角形内一点,它到三边的距离分别为x、y、z,则 x2+y2+z2的最小值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由面积关系可得 (2x+2y+2z) =×2×3⇒x+y+z=3; 又2(x2+y2)≥x2+2xy+y2, 2(y2+z2)≥y2+2yz+z2, 2(z2+x2)≥z2+2zx+x2, 三式相加得3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2, 即x2+y2+z2≥(x+y+z)2=×32=3. 答案:C 二、填空题 7.已知1≤a+b≤4,-1≤a-b≤2,则4a-2b的取值范围是____________. 解析:设u=a+b,v=a-b, 得a=,b=, ∴4a-2b=2u+2v-u+v =u+3v. ∵1≤u≤4,-1≤v≤2, ∴-3≤3v≤6. 则-2≤u+3v≤10, 即-2≤4a-2b≤10. 答案:[-2,10] 8.A=1+++…+与(n∈N*)的大小关系为________. 解析:当n=1时,A=, 当n>1时,A=1+++…+ > 综上可知,A≥. 答案:A≥ 9.设a=2-,b=-2,c=5-2,则a,b,c之间的大小关系是________. 解析:c=(-2) =b>b>0, 又∵a<0, ∴a<b<c. 答案:a<b<c 三、解答题 10.设a,b,c,d都是小于1的正数,求证:4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1- a)这四个数不可能都大于1. 证明:假设4a(1-b)>1,4b(1-c)>1,4c(1-d)>1,4d(1-a)>1,则有 a(1-b)>,b(1-c)>, c(1-d)>,d(1-a)>. ∴>,>, >,>. 又∵≤, ≤, ≤,≤, ∴>,>, >,>. 将上面各式相加得2>2,矛盾. ∴4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)这四个数不可能都大于1. 11.△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,a、b、c分别为三内角A,B,C的对 边.求证:+=. 证明:要证明+=, 只需证明+=3, 只需证明+=1, 只需证明c(b+c)+a(a+b)=(a+b)·(b+c), 只需证明c2+a2=ac+b2. ∵△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,∴B=60°, 由余弦定理,有b2=c2+a2-2accos60°, 即b2=c2+a2-ac, ∴c2+a2=ac+b2.故原命题成立,得证. 12.设f(x)=x2+ax+b,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于. 证明:假设|f(1)|<,|f(2)|<,|f(3)|<,则有 于是有 由①②得-4<a<-2;由②③得-6<a<-4.两式互相矛盾,所以假设不成立. 所以原命题成立, 即|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.查看更多