高考数学专题复习练习：第二章 2_9几类函数模型
1．几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b (a、b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b (k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
2.三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax
0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝时取最小值2，
当x<0时，x＝－时取最大值－2.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( √ )
(2)幂函数增长比直线增长更快．( × )
(3)不存在x0，使( × )
(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度．( √ )
(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × )
1．(教材改编)已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( )
A．100只 B．200只 C．300只 D．400只
答案 B
解析 由题意知100＝alog3(2＋1)，
∴a＝100.∴y＝100log3(x＋1)，
当x＝8时，y＝100log39＝200.
2．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为( )
答案 B
解析 根据题意得解析式为h＝20－5t(0≤t≤4)，其图象为B.
3．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A. B.
C. D.－1
答案 D
解析 设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，
∴x＝－1.
4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )
A．3 B．4 C．6 D．12
答案 A
解析 设隔墙的长度为x(00)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
答案 D
解析 y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，应随时间增大而增大，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.
题型二 已知函数模型的实际问题
例2 (1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.
(2)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
答案 (1)19 (2)16
解析 (1)由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.
(2)当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，
∴e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min.
思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
(2015·四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
答案 24
解析 由题意得∴e22k＝＝，∴e11k＝，∴x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝3·eb＝×192＝24.
题型三 构造函数模型的实际问题
命题点1 构造二次函数模型
例3 将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( )
A．85元 B．90元
C．95元 D．100元
答案 C
解析 设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]．
∴当x＝95时，y最大．
命题点2 构造指数函数、对数函数模型
例4 光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y.
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)至少通过多少块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下？
(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解 (1)光线通过1块玻璃后，强度y＝(1－10%)k＝0.9k；
光线通过2块玻璃后，强度y＝(1－10%)·0.9k＝0.92k；
光线通过3块玻璃后，强度y＝(1－10%)·0.92k＝0.93k；
……
光线通过x块玻璃后，强度y＝0.9xk.
故y关于x的函数解析式为y＝0.9xk(x∈N*)．
(2)由题意，得0.9xk<，
即0.9x<，两边取对数，得xlg 0.9.
又＝＝＝≈13.14，
且x∈N*，所以xmin＝14.
故至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下．
命题点3 构造分段函数模型
例5 (2017·武汉调研)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
解 (1)由题意可知当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，显然v(x)＝ax＋b在[20,200]上是减函数，由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤[]2＝，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立，所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时．
思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．
(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL
，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)
(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)＝则总利润最大时，该门面经营的天数是________．
答案 (1)5 (2)300
解析 (1)设经过x小时才能开车．
由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，
∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈4.19.∴x最小为5.
(2)由题意，总利润
y＝
当0≤x≤400时，y＝－(x－300)2＋25 000，
所以当x＝300时，ymax＝25 000，
当x>400时，y＝60 000－100x<20 000，
综上，门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元．
2．函数应用问题
典例 (12分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
思维点拨 根据题意，要利用分段函数求最大利润．列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论．
规范解答
解 (1)当040时，W＝xR(x)－(16x＋40)
＝－－16x＋7 360.
所以W＝[4分]
(2)①当040时，W＝－－16x＋7 360，
由于＋16x≥2＝1 600，
当且仅当＝16x，
即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，
所以W取最大值为5 760.[10分]
综合①②知，
当x＝32时，W取得最大值6 104万美元．[12分]
解函数应用题的一般步骤：
第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；
第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
1．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
答案 D
解析 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；
根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；
将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．
2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3
年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )
答案 A
解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.
3．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．118元 B．105元
C．106元 D．108元
答案 D
解析 设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.
4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为( )
A．13 m3 B．14 m3
C．18 m3 D．26 m3
答案 A
解析 设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝
则10m＋(x－10)·2m＝16m，
解得x＝13.
5．(2016·北京朝阳区统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(00)．则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．
答案 4
解析 由题意得L＝－＝－2(x>0)．当－＝0，即x＝4时，L取得最大值21.5.
故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．
8．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
答案 2ln 2 1 024
解析 当t＝0.5时，y＝2，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2，
当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.
9．(2016·宝鸡模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
答案 20
解析 设内接矩形另一边长为y，
则由相似三角形性质可得＝，
解得y＝40－x，
所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x
＝－(x－20)2＋400(0a)以及实数x(00，
当5
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