高考数学专题复习练习第八章 第七节 双曲线

高考数学专题复习练习第八章 第七节 双曲线

第八章 第八节 双曲线 课下练兵场 命 题 报 告 ‎　　　　难度及题号 知识点　　‎ 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题(题号)‎ 双曲线的定义及其标准方程 ‎1、2‎ ‎8、10‎ 双曲线的几何性质 ‎3‎ ‎4、5、7、9‎ 直线与双曲线的位置关系 ‎6‎ ‎11、12‎ 一、选择题 ‎1．已知定点A、B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B. C. D．5‎ 解析：因为|AB|＝4，|PA|－|PB|＝3，‎ 故满足条件的点在双曲线右支上，‎ 则|PA|的最小值为右顶点到A的距离2＋＝.‎ 答案：C ‎2．已知点F1(－，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是 (　　)‎ A. B. C. D．2‎ 解析：由已知可知c＝，a＝1，∴b＝1，‎ ‎∴双曲线方程为x2－y2＝1(x≤－1)．‎ 代入可求P的横坐标为x＝－.‎ ‎∴P到原点的距离为 ＝.‎ 答案：A ‎3．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m＝(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 解析：双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)，一个顶点(0，)，一条渐近线3y－mx＝0， ‎ ＝⇒m＝4.‎ 答案：D ‎4．设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝ (　　)‎ A. B．‎2 ‎ C. D．2 解析：设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝2||＝||＝2.‎ 答案：B ‎5．F1、F2是双曲线C的两个焦点，P是C上一点，且△F1PF2是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为 (　　)‎ A．1＋ B．2＋ C．3－ D．3＋ 解析：由△PF‎1F2为等腰直角三角形，‎ 又|PF1|≠|PF2|，‎ 故必有|F‎1F2|＝|PF2|，‎ 即‎2c＝，从而得c2－‎2ac－a2＝0，‎ 即e2－2e－1＝0，解之得e＝1±，‎ ‎∵e＞1，∴e＝1＋.‎ 答案：A ‎6．斜率为2的直线l过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是 (　　)‎ A．e＜　　　　　 　　B．1＜e＜ C．1＜e＜ D．e＞ 解析：依题意，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率必大 ‎ 于2，即＞2，因此该双曲线的离心率 e＝＝＝ ＞.‎ 答案：D 二、填空题 ‎7．(2010·平顶山模拟)A、F分别是双曲线9x2－3y2＝1的左顶点和右焦点，P是双曲线右支上任一点，若∠PFA＝λ·∠PAF，则λ＝________.‎ 解析：特殊值法，取点P为(，1)，得∠PFA＝2∠PAF，故λ＝2.‎ 答案：2‎ ‎8．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为____________．‎ 解析：令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解．即该圆与y轴无交点．‎ 令y＝0，得x＝2或x＝4，‎ 符合条件的双曲线a＝2，c＝4，‎ ‎∴b2＝c2－a2＝16－4＝12且焦点在x轴上，‎ ‎∴双曲线方程为－＝1.‎ 答案：－＝1‎ ‎9．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率是2，则的最小值是________．‎ 解析：＝2⇒＝4⇒a2＋b2＝‎4a2⇒‎3a2＝b2，‎ 则＝＝a＋≥2 ＝，‎ 当a＝即a＝时取最小值.‎ 答案： 三、解答题 ‎10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．‎ ‎(1)求双曲线方程；‎ ‎(2)求证：·＝0；‎ ‎(3)求△F1MF2面积．‎ 解：(1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.‎ ‎∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.‎ ‎∴双曲线方程为x2－y2＝6.‎ ‎(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，‎ ‎∴c＝2，‎ ‎∴F1(－2，0)，F2(2，0)，‎ ‎∴kMF1＝，kMF2＝，‎ kMF1·kMF2＝＝－.‎ ‎∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，‎ 故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.‎ ‎∴·＝0.‎ 法二：∵＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m)，‎ ‎∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2‎ ‎＝－3＋m2，‎ ‎∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，‎ ‎∴·＝0.‎ ‎(3)△F1MF2的底|F‎1F2|＝4，由(2)知m＝±.‎ ‎∴△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.‎ ‎11．(2010·长沙模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝，直线l过A(a,0)，B(0，－b)两点，原点O到直线l的距离是.‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若·＝－23，求直线m的方程．‎ 解：(1)依题意，l方程＋＝1，即bx－ay－ab＝0，由原点O到l的距离为，得＝＝，‎ 又e＝＝，‎ ‎∴b＝1，a＝.‎ 故所求双曲线方程为－y2＝1.‎ ‎(2)显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y＝kx－1，则点M、N坐标(x1，y1)，(x2，‎ y2)是方程组的解，‎ 消去y，得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0.①‎ 依题意，1－3k2≠0，由根与系数关系，‎ 知x1＋x2＝，x1x2＝ ‎·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2‎ ‎＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1)‎ ‎＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋1‎ ‎＝－＋1‎ ‎＝＋1.‎ 又∵·＝－23，‎ ‎∴＋1＝－23，k＝±，‎ 当k＝±时，方程①有两个不相等的实数根，‎ ‎∴方程为y＝x－1或y＝－x－1.‎ ‎12．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.‎ ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；‎ ‎(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，b)，求b的取值范围．‎ 解：(1)设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．‎ 由已知得：a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，∴b2＝1，‎ ‎∴双曲线方程为－y2＝1.‎ ‎(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，‎ 将y＝kx＋代入－y2＝1，‎ 得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.‎ 由题意知 解得＜k＜1.‎ ‎∴当＜k＜1时，l与双曲线左支有两个交点．‎ ‎(3)由(2)得：xA＋xB＝，‎ ‎∴yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)‎ ‎＝k(xA＋xB)＋2＝，‎ ‎∴AB的中点P的坐标为(，)．‎ 设直线l0的方程为：y＝－x＋b，‎ 将P点坐标代入直线l0的方程，得b＝.‎ ‎∵＜k＜1，∴－2＜1－3k2＜0，‎ ‎∴b＜－2.‎ ‎∴b的取值范围为(－∞，－2)．‎