高考数学专题复习练习：考点规范练46

高考数学专题复习练习：考点规范练46

考点规范练46　双曲线 ‎　考点规范练B册第33页　 ‎ 基础巩固组 ‎1.(2016吉林白山三模)当双曲线x‎2‎m‎2‎‎+8‎‎-‎y‎2‎‎6-2m=1的焦距取得最小值时,其渐近线的斜率为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.±1 B.±‎2‎‎3‎ C.±‎1‎‎3‎ D.±‎‎1‎‎2‎ 答案B 解析由题意可得6-2m>0,即m<3.‎ 由c2=m2+8+6-2m=(m-1)2+13,‎ 可得当m=1时,焦距2c取得最小值,‎ 此时双曲线的方程为x‎2‎‎9‎‎-‎y‎2‎‎4‎=1.‎ 故渐近线方程为y=±‎2‎‎3‎x,‎ 即其渐近线的斜率为±‎2‎‎3‎.‎ ‎2.(2016河南信阳、三门峡一模)若双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率为e,一条渐近线的方程为y=‎2e-1‎x,则e=(　　)‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.2 D.‎‎6‎ 答案C 解析因为e=ca,双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1的渐近线方程为y=±bax,‎ 所以‎2e-1‎‎=‎ba.‎ 又b=c‎2‎‎-‎a‎2‎,所以‎2e-1‎‎=c‎2‎‎-‎a‎2‎a‎2‎=‎e‎2‎‎-1‎,‎ 即为e2=2e,解得e=2(e=0舍去).‎ ‎3.已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎9‎‎-‎y‎2‎‎13‎=1 B.x‎2‎‎13‎‎-‎y‎2‎‎9‎=1‎ C.x‎2‎‎3‎-y2=1 D.x2-y‎2‎‎3‎=1‎ 答案D 解析由题意知,双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax.‎ 因为该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,所以‎2‎ba‎1+‎ba‎2‎‎=‎‎3‎,解得b2=3a2.‎ 又因为c2=a2+b2=4,所以a2=1,b2=3.‎ 故所求双曲线的方程为x2-y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎4.已知F1,F2是双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的两个焦点,以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点是P,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是(　　)‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.2 D.5〚导学号74920516〛‎ 答案D 解析不妨设点P位于第一象限,F1为左焦点,|PF2|=m-d,|PF1|=m,|F1F2|=m+d,其中m>d>0,则有(m-d)2+m2=(m+d)2,解得m=4d,故双曲线的离心率e=‎|F‎1‎F‎2‎|‎‎|PF‎1‎|-|PF‎2‎|‎=5.‎ ‎5.设F1,F2分别为双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为(　　)‎ A.‎2‎ B.‎15‎ C.4 D.‎17‎〚导学号74920517〛‎ 答案D 解析由双曲线的定义知,(|PF1|-|PF2|)2=4a2,所以4a2=b2-3ab,即b‎2‎a‎2‎-3·ba=4,解得ba=4ba‎=-1舍去.‎ 因为双曲线的离心率e=ca‎=‎‎1+‎b‎2‎a‎2‎,‎ 所以e=‎17‎.故选D.‎ ‎6.(2016河南焦作二模)已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1的一个焦点为F(2,0),且双曲线与圆(x-2)2+y2=1相切,则双曲线的离心率为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.2 C.3 D.4〚导学号74920518〛‎ 答案B 解析因为双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1的一个焦点为F(2,0),所以c=2,‎ 因为双曲线与圆(x-2)2+y2=1相切,‎ 所以圆心为F(2,0),半径R=1.‎ 所以c-a=1,即a=1,‎ 所以双曲线的离心率e=ca=2.‎ ‎7.(2016河北南宫一中三模)若双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的‎1‎‎4‎,则该双曲线的离心率为　　　　　. ‎ 答案‎2‎‎3‎‎3‎ 解析因为双曲线的一条渐近线方程为y=bax,即为bx-ay=0,一个焦点为(c,0),所以焦点到渐近线的距离为‎|bc|‎a‎2‎‎+‎b‎2‎=b=‎1‎‎4‎×2c=‎1‎‎2‎c,所以c2=a2+b2=a2+‎1‎‎4‎c2,得ca‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎.‎ ‎8.(2016山东,文14)已知双曲线E:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是　　　　　. ‎ 答案2‎ 解析由双曲线和矩形的对称性可知AB⊥x轴,设A点的横坐标为c,则由c‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1,解得y=±b‎2‎a.‎ 不妨设Ac,‎b‎2‎a,Bc,-‎b‎2‎a,则|AB|=‎2‎b‎2‎a,|BC|=2c,由2|AB|=3|BC|,c2=a2+b2得离心率e=2或e=-‎1‎‎2‎(舍去),所以离心率为2.‎ ‎9.设A,B分别为双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4‎3‎,焦点到渐近线的距离为‎3‎.‎ ‎(1)求双曲线的方程;‎ ‎(2)已知直线y=‎3‎‎3‎x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM‎+‎ON=tOD,求t的值及点D的坐标.‎ 解(1)由题意知a=2‎3‎,故可得一条渐近线方程为y=b‎2‎‎3‎x,‎ 即bx-2‎3‎y=0,所以‎|bc|‎b‎2‎‎+12‎‎=‎‎3‎.‎ 所以b2=3,所以双曲线的方程为x‎2‎‎12‎‎-‎y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),‎ 则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.‎ 将直线方程代入双曲线方程得x2-16‎3‎x+84=0,‎ 则x1+x2=16‎3‎,y1+y2=12.‎ 故x‎0‎y‎0‎‎=‎4‎‎3‎‎3‎,‎x‎0‎‎2‎‎12‎‎-y‎0‎‎2‎‎3‎=1,‎解得x‎0‎‎=4‎3‎,‎y‎0‎‎=3.‎ 由OM‎+‎ON=tOD,得(16‎3‎,12)=(4‎3‎t,3t),故t=4,点D的坐标为(4‎3‎,3).〚导学号74920519〛‎ ‎10.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2‎2‎,记动点P的轨迹为W.‎ ‎(1)求W的方程;‎ ‎(2)若A和B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OA‎·‎OB的最小值.‎ 解(1)由|PM|-|PN|=2‎2‎知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=‎2‎.‎ 又焦距2c=4,所以虚半轴长b=c‎2‎‎-‎a‎2‎‎=‎‎2‎.‎ 所以W的方程为x‎2‎‎2‎‎-‎y‎2‎‎2‎=1(x≥‎2‎).‎ ‎(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).‎ 当AB⊥x轴时,x1=x2,y1=-y2,‎ 从而OA‎·‎OB=x1x2+y1y2=x‎1‎‎2‎‎-‎y‎1‎‎2‎=2.‎ 当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m(k≠±1),与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,‎ 则x1+x2=‎2km‎1-‎k‎2‎,x1x2=m‎2‎‎+2‎k‎2‎‎-1‎,‎ 所以OA‎·‎OB=x1x2+y1y2‎ ‎=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)‎ ‎=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2‎ ‎=‎(1+k‎2‎)(m‎2‎+2)‎k‎2‎‎-1‎‎+‎‎2‎k‎2‎m‎2‎‎1-‎k‎2‎+m2‎ ‎=‎2k‎2‎+2‎k‎2‎‎-1‎=2+‎4‎k‎2‎‎-1‎.‎ 又因为x1x2>0,所以k2-1>0.所以OA‎·‎OB>2.‎ 综上所述,当AB⊥x轴时,OA‎·‎OB取得最小值2.〚导学号74920520〛‎ 能力提升组 ‎11.已知椭圆C1:x‎2‎m‎2‎+y2=1(m>1)与双曲线C2:x‎2‎n‎2‎-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则(　　)‎ A.m>n,且e1e2>1 B.m>n,且e1e2<1‎ C.m1 D.mn.‎ ‎∵e1=‎1-‎‎1‎m‎2‎,e2=‎1+‎‎1‎n‎2‎,‎ ‎∴e1e2=‎‎1-‎‎1‎m‎2‎‎1+‎‎1‎n‎2‎ ‎=‎‎1+‎1‎n‎2‎-‎1‎m‎2‎-‎‎1‎m‎2‎n‎2‎ ‎=‎1+‎m‎2‎‎-n‎2‎-1‎m‎2‎n‎2‎‎=‎‎1+‎‎1‎m‎2‎n‎2‎>1.‎ 故选A.‎ ‎12.(2016东北三省四市二模)已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为(　　)‎ A.‎5‎‎2‎ B.‎5‎ C.‎2‎ D.2〚导学号74920522〛‎ 答案C 解析设F(c,0),渐近线方程为y=bax,‎ 可得点F到渐近线的距离为bca‎2‎‎+‎b‎2‎=b,‎ 即有圆F的半径为b.‎ 令x=c,可得y=±bc‎2‎a‎2‎‎-1‎=±b‎2‎a.‎ 由题意可得b‎2‎a=b,即a=b,则c=a‎2‎‎+‎b‎2‎‎=‎‎2‎a.‎ 即离心率e=ca‎=‎‎2‎.‎ ‎13.若点P在曲线C1:x‎2‎‎16‎‎-‎y‎2‎‎9‎=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是　　　　　.〚导学号74920523〛 ‎ 答案10‎ 解析依题意得,点F1(-5,0),F2(5,0)分别为双曲线C1的左、右焦点,因此有|PQ|-|PR|≤|(|PF2|+1)-(|PF1|-1)|≤||PF2|-|PF1||+2=2×4+2=10,故|PQ|-|PR|的最大值是10.‎ ‎14.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.‎ ‎(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;‎ ‎(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为‎2‎,求实数k的值.‎ 解(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,则方程组x‎2‎‎-y‎2‎=1,‎y=kx-1‎有两个不同的实数根,整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.‎ 故‎1-k‎2‎≠0,‎Δ=4k‎2‎+8(1-k‎2‎)>0,‎ 解得-‎2‎|x2|时,S△OAB=S△OAD-S△OBD=‎1‎‎2‎(|x1|-|x2|)=‎1‎‎2‎|x1-x2|;‎ 当A,B在双曲线的两支上且x1>x2时,‎ S△OAB=S△ODA+S△OBD ‎=‎1‎‎2‎(|x1|+|x2|)=‎1‎‎2‎|x1-x2|.‎ 故S△OAB=‎1‎‎2‎|x1-x2|=‎2‎,‎ 即(x1-x2)2=(2‎2‎)2,即‎-2k‎1-‎k‎2‎‎2‎‎+‎‎8‎‎1-‎k‎2‎=8,‎ 解得k=0或k=±‎6‎‎2‎.‎ 又-‎2‎0,b1>0)和椭圆C2:y‎2‎a‎2‎‎2‎‎+‎x‎2‎b‎2‎‎2‎=1(a2>b2>0)均过点P‎2‎‎3‎‎3‎‎,1‎,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.‎ ‎(1)求C1,C2的方程;‎ ‎(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|OA‎+‎OB|=|AB|?证明你的结论.‎ 解(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.‎ 因为点P‎2‎‎3‎‎3‎‎,1‎在双曲线x2-y‎2‎b‎1‎‎2‎=1上,‎ 所以‎2‎‎3‎‎3‎‎2‎‎-‎‎1‎b‎1‎‎2‎=1.故b‎1‎‎2‎=3.‎ 由椭圆的定义知2a2‎ ‎=‎2‎‎3‎‎3‎‎2‎‎+(1-1‎‎)‎‎2‎‎+‎‎2‎‎3‎‎3‎‎2‎‎+(1+1‎‎)‎‎2‎=2‎3‎.‎ 于是a2=‎3‎‎,b‎2‎‎2‎=a‎2‎‎2‎-‎c‎2‎‎2‎=2.‎ 故C1,C2的方程分别为x2-y‎2‎‎3‎=1,y‎2‎‎3‎‎+‎x‎2‎‎2‎=1.‎ ‎(2)不存在符合题设条件的直线.‎ ‎①若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=‎2‎或x=-‎2‎.‎ 当x=‎2‎时,易知A(‎2‎‎,‎‎3‎),B(‎2‎,-‎3‎),‎ 所以|OA‎+‎OB|=2‎2‎,|AB|=2‎3‎.‎ 此时,|OA‎+‎OB|≠|AB|.‎ 当x=-‎2‎时,同理可知,|OA‎+‎OB|≠|AB|.‎ ‎②若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.‎ 由y=kx+m,‎x‎2‎‎-y‎2‎‎3‎=1‎得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.‎ 当l与C1相交于A,B两点时,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1,x2是上述方程的两个实根,‎ 从而x1+x2=‎2km‎3-‎k‎2‎,x1x2=m‎2‎‎+3‎k‎2‎‎-3‎.‎ 于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=‎3k‎2‎-3‎m‎2‎k‎2‎‎-3‎.‎ 由y=kx+m,‎y‎2‎‎3‎‎+x‎2‎‎2‎=1‎得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.‎ 因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.‎ 化简,得2k2=m2-3,‎ 因此OA‎·‎OB=x1x2+y1y2=m‎2‎‎+3‎k‎2‎‎-3‎‎+‎3k‎2‎-3‎m‎2‎k‎2‎‎-3‎=‎‎-k‎2‎-3‎k‎2‎‎-3‎≠0,‎ 于是OA‎2‎‎+‎OB‎2‎+2OA‎·OB≠OA‎2‎+‎OB‎2‎-2OA‎·‎OB,‎ 即|OA‎+‎OB|2≠|OA‎-‎OB|2,‎ 故|OA‎+‎OB|≠|AB|.‎ 综合①②可知,不存在符合题设条件的直线.〚导学号74920525〛‎ 高考预测 ‎16.‎ 如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形,其中上半个圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0,双曲线的左、右顶点A,B是该圆与x轴的交点,双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点.‎ ‎(1)试求双曲线的标准方程.‎ ‎(2)记双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,试在“8”字形曲线上求点P,使得∠F1PF2是直角.‎ 解(1)上半圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0,则圆心为(0,2),半径为2‎2‎.‎ 则下半圆所在圆的圆心为(0,-2),半径为2‎2‎.‎ 双曲线的左、右顶点A,B是该圆与x轴的交点,即为(-2,0),(2,0),即a=2.‎ 由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点,则令y=2,解得x=±2‎2‎.‎ 即交点为(±2‎2‎,2).‎ 设双曲线的方程为x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0),‎ 则‎8‎a‎2‎‎-‎‎4‎b‎2‎=1,且a=2,解得b=2.‎ 则双曲线的标准方程为x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎4‎=1.‎ ‎(2)由(1)知双曲线的左、右焦点分别为F1(-2‎2‎,0),F2(2‎2‎,0).‎ 若∠F1PF2是直角,则设P(x,y),则有x2+y2=8.‎ 由x‎2‎‎+y‎2‎=8,‎x‎2‎‎-y‎2‎=4,‎解得x2=6,y2=2.‎ 由x‎2‎‎+y‎2‎=8,‎x‎2‎‎+(y±2‎)‎‎2‎=8,‎解得y=∓1,不满足题意,舍去.‎ 故在“8”字形曲线上所求点P的坐标为(‎6‎‎,‎‎2‎),(-‎6‎‎,‎‎2‎),(-‎6‎,-‎2‎),(‎6‎,-‎2‎).〚导学号74920526〛‎