高考数学专题复习练习第3讲 等比数列及其前n项和

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高考数学专题复习练习第3讲 等比数列及其前n项和

第3讲 等比数列及其前n项和 一、选择题 ‎1.+1与-1两数的等比中项是(  )‎ A.1            B.-1‎ C.±1 D. 解析 设等比中项为x,‎ 则x2=(+1)(-1)=1,即x=±1.‎ 答案 C ‎2.设{an}是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是(  ).‎ A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X)‎ C.Y2=XY D.Y(Y-X)=X(Z-X)‎ 解析 (特例法)取等比数列1,2,4,令n=1得X=1,Y=3,Z=7代入验算,选D.‎ 答案 D ‎3.已知等比数列{an}为递增数列.若a1>0,且2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的公比q=(  ).‎ A.2 B. C.2或 D.3‎ 解析 ∵2(an+an+2)=5an+1,∴2an+2anq2=5anq,‎ 化简得,2q2-5q+2=0,由题意知,q>1.∴q=2.‎ 答案 A ‎4.在正项等比数列{an}中,Sn是其前n项和.若a1=1,a‎2a6=8,则S8= (  ).‎ A.8 B.15(+1)‎ C.15(-1) D.15(1-)‎ 解析 ∵a‎2a6=a=8,∴aq6=8,∴q=,∴S8==15(+1).‎ 答案 B ‎5.已知等比数列{an}的前n项和Sn=t·5n-2-,则实数t的值为(  ).‎ A.4 B.‎5 ‎‎ ‎ C. D. 解析 ∵a1=S1=t-,a2=S2-S1=t,a3=S3-S2=4t,∴由{an}是等比数列知2=·4t,显然t≠0,所以t=5.‎ 答案 B ‎6.在由正数组成的等比数列{an}中,若a‎3a‎4a5=3π,则sin(log‎3a1+log‎3a2+…+log‎3a7)的值为 (  ).‎ A. B. C.1 D.- 解析 因为a‎3a‎4a5=3π=a,所以a4=3.‎ log‎3a1+log‎3a2+…+log‎3a7=log3(a‎1a2…a7)=log‎3a=7log33=,所以sin(log‎3a1+log‎3a2+…+log‎3a7)=.‎ 答案 B 二、填空题 ‎7.设1=a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,a2,a4,a6成公差为1的等差数列,则q的最小值是________.‎ 解析 设a2=t,则1≤t≤q≤t+1≤q2≤t+2≤q3,由于t≥1,所以q≥max{t,,}故q的最小值是.‎ 答案  ‎8.在等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an=________.‎ 解析 由题意知a1+‎4a1+‎16a1=21,解得a1=1,‎ 所以数列{an}的通项公式an=4n-1.‎ 答案 4n-1‎ ‎9.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数,且对任意的实数x,y∈R,都有f(x)·f(y)‎ ‎=f(x+y),若a1=,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________.‎ 解析 由已知可得a1=f(1)=,a2=f(2)=[f(1)]2=2,a3=f(3)=f(2)·f(1)=[f(1)]3=3,…,an=f(n)=[f(1)]n=n,‎ ‎∴Sn=+2+3+…+n ‎==1-n,‎ ‎∵n∈N*,∴≤Sn<1.‎ 答案  ‎10.等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,给出下列四个命题:①数列为等比数列;②若a2+a12=2,则S13=13;③Sn=nan-d;④若d>0,则Sn一定有最大值.‎ 其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号).‎ 解析 对于①,注意到=an+1-an=d是一个非零常数,因此数列是等比数列,①正确.对于②,S13===13,因此②正确.对于③,注意到Sn=na1+d=n[an-(n-1)d]+d=nan-d,因此③正确.对于④,Sn=na1+d,d>0时,Sn不存在最大值,因此④不正确.综上所述,其中正确命题的序号是①②③.‎ 答案 ①②③‎ 三、解答题 ‎11.已知等比数列{an}中,a1=,公比q=.‎ ‎(1)Sn为{an}的前n项和,证明:Sn=;‎ ‎(2)设bn=log‎3a1+log‎3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式.‎ 解 (1)证明 因为an=×n-1=,Sn==,所以Sn=.‎ ‎(2)bn=log‎3a1+log‎3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-.所以{bn}的通项公式为bn=-.‎ ‎12.已知数列{an}的前n项和为Sn,在数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n.‎ ‎(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;‎ ‎(2)求数列{bn}的通项公式.‎ ‎(1)证明 ∵an+Sn=n, ①‎ ‎∴an+1+Sn+1=n+1, ②‎ ‎②-①得an+1-an+an+1=1,‎ ‎∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1,‎ ‎∴=.‎ ‎∵首项c1=a1-1,又a1+a1=1.‎ ‎∴a1=,∴c1=-,公比q=.‎ ‎∴{cn}是以-为首项,公比为的等比数列.‎ ‎(2)解 由(1)可知cn=·n-1=-n,‎ ‎∴an=cn+1=1-n.‎ ‎∴当n≥2时,bn=an-an-1=1-n- ‎=n-1-n=n.‎ 又b1=a1=代入上式也符合,∴bn=n.‎ ‎13.已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.‎ ‎(1)若a=1,求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若数列{an}唯一,求a的值.‎ 解 (1)设数列{an}的公比为q,则b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2,由b1,b2,b3成等比数列得(2+q)2=2(3+q2).‎ 即q2-4q+2=0,解得q1=2+,q2=2-.‎ 所以数列{an}的通项公式为an=(2+)n-1或an=(2-)n-1.‎ ‎(2)设数列{an}的公比为q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+‎3a-1=0(*),‎ 由a>0得Δ=‎4a2+‎4a>0,故方程(*)有两个不同的实根.‎ 由数列{an}唯一,知方程(*)必有一根为0,‎ 代入(*)得a=.‎ ‎14.数列{an}的前n项和记为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上,n∈N*.‎ ‎(1)当实数t为何值时,数列{an}是等比数列.‎ ‎(2)在(1)的结论下,设bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是数列{cn}的前n项和,求Tn.‎ 解 (1)∵点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上,‎ ‎∴an+1=3Sn+1,an=3Sn-1+1(n>1,且n∈N*).‎ ‎∴an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,∴an+1=4an(n>1,n∈N*),a2=3S1+1=‎3a1+1=3t+1,‎ ‎∴当t=1时,a2=‎4a1,数列{an}是等比数列.‎ ‎(2)在(1)的结论下,an+1=4an,an+1=4n,bn=log4an+1=n,cn=an+bn=4n-1+n,‎ ‎∴Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)‎ ‎=(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n)‎ ‎=+.‎
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