辽宁省大连市2019届高三下学期第一次双基测试 数学（文）试题（扫描版）

辽宁省大连市2019届高三下学期第一次双基测试 数学（文）试题（扫描版）

·1· ·2· ·3· ·4· ·5· ·6· ·7· 2019 年大连市高三双基测试 数学（文科）参考答案与评分标准 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后 继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题 1.B 2.A 3.A 4.C 5.D 6.D 7.C 8.A 9. D 10.B 11.C 12.B 二．填空题 13. 6− 14. 8 15. yx= 16. 1 三．解答题 17. 解：（Ⅰ） 因为 1 1 ,1 ,1n nn Sna SSn − ==  − ， 所以 +22 4,14,1 26(N )5(1)5(1),126,1n nnann nnnnnnn −=−====−−−−+−− ……………4 分 （Ⅱ）因为 1 3 22 n nn a n + −= ， 所以 121 2143 2222n nn nnT − −−−−=++++ ， 2 3 1 1 2 1 4 3 2 2 2 2 2n nn nnT + − − − −= + ++ + ， 两式作差得： 121 12113 22222n nn nT + −−=+++− …………………………………………………8 分 化简得 1 1 1 1 2 2 2n n nT + −= − − ， 所以 11 2n n nT −= − − .………………………………………………………………………………12 分 18. （Ⅰ）选取方案二更合适,理由如下： (1)题中介绍了，随着电子阅读的普及,传统纸媒受到了强烈的冲击,从表格中的数据中可以看出从 2014 ·8· 年开始，广告收入呈现逐年下降的趋势，可以预见，2019 年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的 增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据. (2) 相关系数 ||r 越接近 1，线性相关性越强,因为根据 9 年的数据得到的相关系数的绝对值 0 .2 4 3 0 .6 6 6 ,我们没有理由认为 y 与 t 具有线性相关关系；而后 5 年的数据得到的相关系数的绝对 值 0.984 0.959 ,所以有99% 的把握认为 与 具有线性相关关系. ………………………6 分 （仅用（1）解释得 3 分，仅用（2）解释或者用（1）（ 2）解释得 6 分） (Ⅱ)将购买电子书的三人记为：a,b,c；将购买纸质书的两人记为：D,E， 则从五人中任选两人的基本事件空间为{ab,ac,aD,aE,bc,bD,bE,cD,cE,DE}，元素个数为 10； …………………………………………………………………………………………………………9 分 将两人都买电子书这个事件记作 A，则 A={ab,ac,bc}，元素个数为 3. 所以 P（A）= 3 10 .…………………………………………………………………………………12 分 19. （Ⅰ）证明： 法一： 连接 1AC 交 1CF于 D ，连接 DE ， 因为 111 2 1 A DAC BE DCFCEC=== ，所以 1 //ABDE ，……3 分 又 1AB  平面 1EFC ， DE 平面 ， 所以 1 //AB 平面 . ……………………………………………………………………………6 分 法二： 如图所示，取 BE 的中点 D ，取 11BC 的靠近 1B 的三等分点 1D , 连接 AD 、 11AD 、 1DB、 1DD, 因为 11//B DBD 且 11B DBD= ，所以四边形 11B D DB 为平行 四边形，所以 11//DD BB ,又因为 11//AA BB ,所以 11//AA DD , 又 111=AABBDD= ,所以四边形 11AA D D 为平行四边形，所以 11//A DAD ,又 EF 为 CAD 的中位 线，所以 //EF AD ,所以 11//A D EF , …………………………………………………………3 分 因为 11C D BE= ， 11//C D BE ，所以四边形 11C D BE 为平行四边形，所以 11//D B C E ， 又因为 1 1 1 1 1 1 1,A D A D B BD A D B平面 平面 , 1 1 1EF EFC C E EFC平面 ， 平面 , D EF B C A1 C1 B1 A D D1 EF B C A1 C1 B1 A ·9· 1111A D D B D = ， 1E F C E E = ， 所以 1 1 1//A D B EFC平面 平面 ， 又 111ABADB 平面 ，所以 1 //AB 平面 1EFC .……………………………………………………6 分 （Ⅱ）解：连接 1 ,A F BF ，由 1 2, 1AB AA AF= = = ， 1 =45BAC A AC =  以及余弦定理可得： 1 1A F BF==，又 1 6 0 ,BAA=所以 1 2AB = ， 所以由勾股定理可得 1A F A C⊥ ， 1A F B F⊥ . …………………………………………………9 分 又 ,B F A C F = 且 BF  平面 ABC ， AC  平面 ，所以 1AF ⊥ 平面 ，所以 1AF 是三 棱柱 111A B C A B C− 的高. 又 ABC 的面积为 1222122= ， 所 以 三 棱 柱 的 体 积 为 1 1 1=.…………………………12 分 20. 解：（Ⅰ）由题可知圆 O 只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，即 222ab= ， …………………………………………………………………………………………………………2 分 又点 1( , )b a 在椭圆 C 上，所以 2 222 1 1b aab+=，解得 222, 1ab==， 即椭圆 C 的方程为 2 2 12 x y+=.……………………………………………………………………4 分 （Ⅱ）圆 O 的方程为 221xy+=，当直线l 不存在斜率时，解得||2MN = ，不符合题意； …………………………………………………………………………………………………………5 分 当直线 存在斜率时，设其方程为 y kx m=+，因为直线 与圆 相切，所以 2 || 1 1 m k = + ，即 221mk=+ .…………………………………………………………………………………………6 分 将直线 与椭圆 的方程联立，得： 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m+ + + − = ，判别式 2 2 28 8 16 8 0m k k = − + + =  ，即 0k  ， ………………………………………………………………………………………………………7 分 ·10· 设 1122(,),(,)MxyNxy ， 所以 2 2222 121212 2 84||()()1||1 123 kMNxxyykxxk k=−+−=+−=+= + ， 解得 1k = ，………………………………………………………………………………………11 分 所以直线 l 的倾斜角为 4  或 3 4  .…………………………………………………………………12 分 21. 解：（Ⅰ） 2121'()21(0) axxfxaxx xx −+=+−= ，设 2( ) 2 1( 0)g x ax x x= − +  …………………………………………………………………………………………………………1 分 (1) 当 10 8a 时， ()gx 在 118118(0,)(,) 44 aa aa −−+− + 上大于零，在 118118()44 aa aa −−+− ， 上小于零，所以 ()fx在 118118(0,),(,)44 aa aa −−+− + 上单调递增， 在 单调递减；…………………………………………………………2 分 (2) 当 1 8a  时， ( ) 0gx  (当且仅当 1 ,28ax==时 ( ) 0gx = )，所以 在 ( 0 , )+ 上单调递 增；……………………………………………………………………………………………………3 分 (3) 当 0a = 时， 在 (0 ,1) 上大于零，在 ( 1 )+， 上小于零，所以 在 上单调递增，在 单调递减；………………………………………………………………………………4 分 (4)当 0a  时， 在 118(0,) 4 a a −− 上大于零，在 118(,) 4 a a −− + 上小于零，所以 在 上单调递增，在 上单调递减. ………………………………5 分 （Ⅱ）曲线 ()y f x= 在点(,())tft 处的切线方程为 21(21)() lnyatx tt attt=+−− ++− ， 切线方程和 联立可得： 221ln ( 2 ) ln 1 0x ax at x t att+ − + − + + = ，………………7 分 设 221( ) ln ( 2 ) ln 1( 0)h x x ax at x t at xt= + − + − + +  ， ·11· 11()(21)'()2(2) xtatxhxaxat xtxt −−=+−+= ，………………………………………………9 分 当 0a  时， ' ( )hx在 (0 , )t 上大于零，在 ( , )t + 上小于零，所以 ()hx 在 上单调递增，在 上单调递减. 又 ( ) 0ht = ，所以 只有唯一的零点 t ，即切线与该曲线只有一个公共点 ( , ( ) )t f t .………12 分 22. 解(Ⅰ)联立曲线 34,CC的极坐标方程 1cos,((0,)) 2 cos1    =+  = 得: 2 10− − = ，解得 15 2 += , 即交点到极点的距离为 15 2 + .………………………………………………………4 分 (Ⅱ)曲线 1C 的极坐标方程为 ,(0,),0 2  = 曲线 2C 的极坐标方程为 2sin,(0,) 2 =联立得 2sin,(0,) 2 = 即||2sin,(0,) 2OP = 曲线 与曲线 3C 的极坐标方程联立得 1cos,(0,) 2 =+ , 即||1cos,(0,) 2OQ =+ ,…………………………………………………………………6 分 所以|||| 12sincos15 sin()OPOQ += ++= ++ ,其中  的终边经过点 (2 , 1) , 当 2,Z2 kk+=+ ，即 25arcsin 5 = 时，||||OPOQ+ 取得最大值为 15+ . ………………………………………………………………………………………………………10 分 23. 解：（Ⅰ） 1a =− 时， ()0fx 可得| 2 1| | 2|xx−  − ，即 22(2 1) ( 2)xx−  − ， 化简得：(3 3)( 1) 0xx− +  ，所以不等式 的解集为( , 1) (1, )− − + . ………………………………………………………………………………………………………3 分 （Ⅱ） ·12· (1) 当 4a − 时， 2,2 ()32,2 2 2, 2 xax afxxax axax   −−− =−−+ −   ++ − ，由函数单调性可得 min()()21 22 aafxf =−=+ − ，解得 64a−   − ；……………………………………………5 分 (2) 当 4a =− 时， ( ) | 2|f x x=− ， min( ) 0 1fx =  − ，所以 符合题意；……………7 分 (3) 当 4a − 时， 2, 2 ()32,2 2 2,2 axax afxxax xax  −−− − =+−−  ++  ，由函数单调性可得， min( ) ( ) 2 122 aaf x f= − = − −  − ，解得 42a−   − ；…………………………………………9 分 综上，实数 a 的取值范围为 [ 6 , 2 ]−− .………………………………………………………………10 分