河南省中原名校、大连市、赤峰市部分学校2019届高三年级320联合考试数学试卷理科（解析版）

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河南省中原名校、大连市、赤峰市部分学校2019届高三年级320联合考试数学试卷理科 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知集合A={x|4x-8<0}‎，B={x|‎9‎x<3}‎，则A∩B=(‎　　‎‎)‎ A. ‎(-∞,‎1‎‎2‎)‎ B. ‎(-∞,‎1‎‎3‎)‎ C. ‎(‎1‎‎2‎,+∞)‎ D. ‎‎(‎1‎‎3‎,+∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：A={x|x<2},B={x|x<‎1‎‎2‎}‎； ‎∴A∩B=(-∞,‎1‎‎2‎)‎． 故选：A． 可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、区间的定义，指数函数的单调性，以及交集的运算． ‎ 2. 若z=‎3+4i‎1-i+iz(i是虚数单位‎)‎，则‎|z|=(‎　　‎‎)‎ A. ‎3‎‎2‎ B. 2 C. ‎5‎‎2‎ D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：‎∵z=‎3+4i‎1-i+iz，‎∴z(1-i)=‎‎3+4i‎1-i， 则z=‎3+4i‎(1-i‎)‎‎2‎=‎‎3+4i‎-2i， ‎∴|z|=|‎3+4i‎-2i|=‎|3+4i|‎‎|-2i|‎=‎‎5‎‎2‎． 故选：C． 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由商的模等于模的商求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题． ‎ 3. 已知定义在R上的函数f(x)‎满足：对任意x∈R，f(-x)=-f(x)‎，f(3-x)=f(x)‎，则f(2019)=(‎　　‎‎)‎ A. ‎-3‎ B. 0 C. 1 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：定义在R上的函数f(x)‎满足f(-x)=-f(x)‎，可知函数是奇函数，f(0)=0‎． f(3-x)=f(x)‎，可得f(3+x)=f(-x)=-f(x)‎， 所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x)‎，函数的周期是6． ‎ 第13页，共14页 f(2019)=f(336×6+3)=f(3)=f(3-3)=f(0)=0‎‎． 故选：B． 判断函数的奇偶性以及函数的周期性，化简求解函数值即可． 本题考查抽象函数的应用，函数的奇偶性以及函数的周期性的应用，考查计算能力． ‎ 1. 已知向量a‎=(1,-1)‎，b‎=(-2,3)‎，且a‎⊥(a+mb)‎，则m=(‎　　‎‎)‎ A. ‎2‎‎5‎ B. ‎-‎‎2‎‎5‎ C. 0 D. ‎‎1‎‎5‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：a‎+mb=(1-2m,3m-1)‎； ‎∵a⊥(a+mb)‎； ‎∴a⋅(a+mb)=1-2m-(3m-1)=0‎； 解得m=‎‎2‎‎5‎． 故选：A． 可求出a‎+mb=(1-2m,3m-1)‎，根据a‎⊥(a+mb)‎即可得出a‎⋅(a+mb)=0‎，进行数量积的坐标运算即可求出m． 考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法、数乘和数量积的运算． ‎ 2. 已知双曲线C：x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)‎的焦点F(2,0)‎到渐近线的距离为‎3‎，则该双曲线的离心率为‎(‎　　‎‎)‎ A. 1 B. ‎3‎ C. 2 D. ‎‎2‎‎3‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：双曲线C：x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)‎的焦点F(2,0)‎到渐近线的距离为‎3‎，则‎2ba‎2‎‎+‎b‎2‎‎=b=2‎， ‎∴c=2‎，b=‎‎3‎，‎∴a‎2‎=c‎2‎-b‎2‎=4-3=1‎，‎∴a=1‎， 双曲线的离心率为：ca‎=2‎． 故选：C． 直接利用已知条件求出双曲线的a、b、c，即可求解离心率． 本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法，考查计算能力． ‎ 3. 在区间‎[-π‎4‎,π‎4‎]‎上随机取一个数x，则sin2x的值介于0到‎3‎‎2‎之间的概率为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎1‎‎3‎ B. ‎1‎‎2‎ C. ‎2‎‎3‎ D. ‎‎3‎‎4‎ ‎【答案】A 第13页，共14页 ‎【解析】解：当x∈[-π‎4‎,π‎4‎]‎解不等式‎0≤sin2x≤‎‎3‎‎2‎得：‎0≤x≤‎π‎6‎， 由几何概型中的线段型可得： sin2x的值介于0到‎3‎‎2‎之间的概率为P=π‎6‎‎-0‎π‎4‎‎-(-π‎4‎)‎=‎‎1‎‎3‎， 故选：A． 由三角不等式的解法得：当x∈[-π‎4‎,π‎4‎]‎解不等式‎0≤sin2x≤‎‎3‎‎2‎得：‎0≤x≤‎π‎6‎，由几何概型中的线段型得：sin2x的值介于0到‎3‎‎2‎之间的概率为P=π‎6‎‎-0‎π‎4‎‎-(-π‎4‎)‎=‎‎1‎‎3‎，得解． 本题考查了解三角不等式及几何概型中的线段型，属中档题． ‎ 1. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是‎(‎　　‎)‎ ‎ A. ‎(12+4‎3‎)π B. ‎(6+2‎3‎)π C. ‎(9+2‎3‎)π D. ‎(15+4‎3‎)π ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：由题意可知几何体是一个圆锥挖去一个小圆锥两个圆锥的底面相同，半径为：‎3‎， 大圆锥的母线长为：‎2‎‎3‎，小圆锥的母线长为2， 所以几何体的表面积为：π×‎3‎×2‎3‎+π×‎3‎×2=(6+2‎3‎)π． 故选：B． 判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的表面积即可． 本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键． ‎ 2. ‎《‎九章算术‎》‎是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪裹、上造公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配‎(‎即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列‎)‎，问各得多少鹿？”已知上造分得‎2‎‎3‎只鹿，则大夫所得鹿数为‎(‎　　‎‎)‎ A. 1只 B. ‎4‎‎3‎只 C. ‎5‎‎3‎只 D. 2只 ‎【答案】C 第13页，共14页 ‎【解析】解：设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列‎{an}‎，则a‎4‎‎=‎‎2‎‎3‎， 则a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎+a‎4‎+a‎5‎=5a‎3‎=5‎， ‎∴a‎3‎=1‎，则d=a‎4‎-a‎3‎=-‎‎1‎‎3‎， ‎∴a‎1‎=a‎3‎-2d=‎‎5‎‎3‎． ‎∴‎大夫所得鹿数为‎5‎‎3‎只‎.‎ 故选：C． 设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列‎{an}‎，则a‎4‎‎=‎‎2‎‎3‎，由前5项和为5求得a‎3‎，进一步求得d，则答案可求． 本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题． ‎ 1. 若x，y满足约束条件‎2x-y≤1‎x+2y≤1‎‎3x+y≥1‎，则z=3x-y的取值范围为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎[-‎8‎‎5‎,-‎1‎‎5‎]‎ B. ‎[-‎7‎‎5‎,-‎1‎‎5‎]‎ C. ‎[‎1‎‎5‎,‎7‎‎5‎]‎ D. ‎‎[‎1‎‎5‎,‎8‎‎5‎]‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：‎∵x，y满足约束条件‎2x-y≤1‎x+2y≤1‎‎3x+y≥1‎的可行域如图： 目标函数为：z=3x-y， 直线x+2y-1=0‎与‎3x+y-1=0‎交于点A(‎1‎‎5‎,‎2‎‎5‎)‎， 直线‎2x-y-1=0‎与x+2y-1=0‎交于点B(‎3‎‎5‎,‎1‎‎5‎)‎， 分析可知z在点C处取得最小值，zmin‎=3×‎1‎‎5‎-‎2‎‎5‎=‎‎1‎‎5‎， z在点B处取得最大值，zmax‎=3×‎3‎‎5‎-‎1‎‎5‎=‎‎8‎‎5‎， ‎∴‎1‎‎5‎≤z≤‎‎8‎‎5‎， 故选：D． 作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，从而得出目标函数z=3x-y的取值范围． 本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，此题是一道中档题，有一定的难度，画图是关键； ‎ 2. 已知点P是直线l：‎3x+4y-7=0‎上的动点，过点P引圆C：‎(x+1‎)‎‎2‎+y‎2‎=r‎2‎(r>0)‎的两条切线PM，PN，M，N为切点，当‎∠MPN的最大值为π‎3‎时，则r的值为‎(‎　　‎‎)‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ 第13页，共14页 ‎【答案】D ‎【解析】解：因为点P在直线l：‎3x+4y-7=0‎上，连接PC，当PC⊥l时，‎∠MPN最大， 由题意知，此时‎∠MPN=‎π‎3‎，所以‎∠CPM=‎π‎6‎，所以‎|PC|=2r，又因为C到l的距离d=2‎，所以r=1‎， 故选：D． 因为点P在直线l：‎3x+4y-7=0‎上，连接PC，当PC⊥l时，‎∠MPN最大，再利用点到直线的距离公式可得． 本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题． ‎ 1. 已知圆锥的母线长为2r，底面圆半径长为r，圆心为O，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径‎.‎若点C是底面圆周上一点，且OC与母线PB所成的角等于‎60‎‎∘‎，则MC与底面所成的角的正弦值为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎1‎‎2‎ B. ‎2‎‎2‎或‎3‎‎2‎ C. ‎3‎‎2‎ D. ‎1‎‎2‎或‎3‎‎2‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：连结MO，则MO//PB，过M作MD⊥AO，交AO与点D， 连结DC，则MD⊥‎底面AOC， ‎∴∠MCD是直线MC与底面所成角， 又PO=‎4r‎2‎-‎r‎2‎=‎3‎r，‎∴MD=‎‎3‎r‎2‎， ‎∵MO//PB，‎∴∠MOC是异面直线OC与PB所成角‎(‎或其补角‎)‎， ‎∴∠MOC=‎‎60‎‎∘‎或‎∠MOC=‎‎120‎‎∘‎， ‎∵OC=r，OM=2‎，‎∴MC=‎OM‎2‎+OC‎2‎-2⋅OM⋅OC⋅cos∠MOC， 解得MC=r，或MC=‎3‎r， ‎∴sin∠MCD=MDMC=‎3‎‎2‎rr=‎‎3‎‎2‎或sin∠MCD=MDMC=‎3‎‎2‎r‎3‎r=‎‎1‎‎2‎． 故MC与底面所成的角的正弦值为‎3‎‎2‎或‎1‎‎2‎． 故选：D． 连结MO，则MO//PB，过M作MD⊥AO，交AO与点D，连结DC，则MD⊥‎底面AOC，‎∠MCD是直线MC与底面所成角，由MO//PB，得‎∠MOC是异面直线OC与PB所成角‎(‎或其补角‎)‎，由此能求出MC与底面所成的角的正弦值． ‎ 第13页，共14页 本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． ‎ 1. 已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左右焦点分别为F‎1‎，F‎2‎，O为坐标原点，A为椭圆上一点，且AF‎1‎‎⋅AF‎2‎=0‎，直线AF‎2‎交y轴于点M，若‎|F‎1‎F‎2‎|=6|OM|‎，则该椭圆的离心率为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎1‎‎3‎ B. ‎3‎‎3‎ C. ‎5‎‎8‎ D. ‎‎10‎‎4‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：AF‎1‎‎⋅AF‎2‎=0‎，可得‎∠F‎1‎AF‎2‎=‎‎90‎‎∘‎，由题意可得‎△F‎2‎OM∽‎△F‎2‎AF‎1‎，则：‎|AF‎1‎|‎‎|AF‎2‎|‎‎=‎‎|OM|‎‎|OF‎2‎|‎，因为‎|F‎1‎F‎2‎|=6|OM|‎，所以‎|OM|‎‎|OF‎2‎|‎‎=‎‎1‎‎3‎，所以‎|AF‎1‎|‎‎|AF‎2‎|‎‎=‎|OM|‎‎|OF‎2‎|‎=‎‎1‎‎3‎，因为‎|AF‎1‎|+|AF‎2‎|=2a，所以‎|AF‎1‎|=‎a‎2‎，‎|AF‎2‎|=‎‎3a‎2‎，所以‎|AF‎1‎‎|‎‎2‎+|AF‎2‎‎|‎‎2‎=4‎c‎2‎，可得a‎2‎‎4‎‎+‎9‎a‎2‎‎4‎=4‎c‎2‎，解得e=ca=‎‎10‎‎4‎． 故选：D． 说明‎△AF‎1‎F‎2‎∽‎△OMF‎2‎，可得‎|AF‎1‎|‎‎|AF‎2‎|‎‎=‎|OM|‎‎|OF‎2‎|‎=‎‎1‎‎3‎，转化求解椭圆的离心率即可得出结果． 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、方程的解法、相似三角形的判定与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎|AF‎1‎|‎‎|AF‎2‎|‎‎=‎‎|OM|‎‎|OF‎2‎|‎， ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 2. 二项式‎(‎2‎x-‎x‎2‎‎3‎‎)‎‎6‎展开式中的常数项为______．‎ ‎【答案】‎‎80‎‎3‎ ‎【解析】解：二项式‎(‎2‎x-‎x‎2‎‎3‎‎)‎‎6‎展开式中的通项公式为Tr+1‎‎=C‎6‎r⋅(-‎1‎‎3‎‎)‎r⋅‎2‎‎6-r⋅‎x‎3r-6‎， 令‎3r-6=0‎，求得r=2‎，可得展开式中的常数项为C‎6‎‎2‎‎⋅‎2‎‎4‎⋅‎1‎‎9‎=‎‎80‎‎3‎， 故答案为：‎80‎‎3‎． 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． ‎ 3. 若函数f(x)=3sin(x+π‎10‎)-2‎在间‎[π‎2‎,a]‎上是单调函数，则实数a的最大值是______．‎ ‎【答案】‎‎7π‎5‎ 第13页，共14页 ‎【解析】解：当π‎2‎‎≤x≤a时，‎3π‎5‎‎≤x+π‎10‎≤a+‎π‎10‎， 要是f(x)‎在间‎[π‎2‎,a]‎上是单调函数，则a+π‎10‎≤‎‎3π‎2‎， 即a≤‎‎7π‎5‎，即实数a的最大值是‎7π‎5‎， 故答案为：‎7π‎5‎． 求出角的范围，结合正弦函数的单调性，确定角满足的条件进行求解即可． 本题主要考查三角函数单调性的应用，结合正弦函数的单调性，求出角的范围是解决本题的关键． ‎ 1. 已知等差数列‎{an}‎的公差为d(d≠0)‎，前n项和为Sn，且数列‎{Sn‎+n}‎也为公差为d的等差数列，则d=‎______．‎ ‎【答案】‎‎2(a‎1‎+1)‎ ‎【解析】解：‎∵‎等差数列‎{an}‎的公差为d(d≠0)‎，前n项和为Sn， 且数列‎{Sn‎+n}‎也为公差为d的等差数列， ‎∴Sn=na‎1‎+n(n-1)‎‎2‎d， 即S‎1‎‎=‎a‎1‎，S‎2‎‎=2a‎1‎+d，S‎3‎‎=3a‎1‎+3d， ‎∴‎a‎1‎‎+1‎，‎2(a‎1‎+1)+d，‎3(a‎1‎+1)+3d成等差数列， ‎∴2‎2(a‎1‎+1)+d=a‎1‎‎+1‎+‎‎3(a‎1‎+1)+3d， ‎∴8(a‎1‎+1)+4d=4(a‎1‎+1)+3d+2‎‎3(a‎1‎+1‎)‎‎2‎+3(a‎1‎+1)d， 整理，得：d=2(a‎1‎+1)‎． 故答案为：‎2(a‎1‎+1)‎． 推导出a‎1‎‎+1‎，‎2(a‎1‎+1)+d，‎3(a‎1‎+1)+3d成等差数列，从而‎2‎2(a‎1‎+1)+d=a‎1‎‎+1‎+‎‎3(a‎1‎+1)+3d，由此能求出d=2(a‎1‎+1)‎． 本题考查等差数列的公差的求法，考等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． ‎ 2. 已知函数f(x)=‎x‎4‎‎-3x‎2‎+ax,x<0‎x‎4‎‎-3x‎2‎-ax,x>0‎有四个零点，则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎‎(-2,0)‎ ‎【解析】解：由条件可得f(x)‎是偶函数， 根据対称性得x‎4‎‎-3x‎2‎-ax=0‎在‎(0,+∞)‎上有两个不同的实根， 即a=x‎3‎-3x在‎(0,+∞)‎上有两个不同的实根， 等价为直线y=a与曲线y=x‎3‎-3x，‎(x>0)‎有两个交点． 函数的导数y'=3x‎2‎-3=3(x+1)(x-1)‎， 则当‎01‎时，y'>0‎． 即当x=1‎时，函数取得极小值，此时极小值为y=1-3=-2‎． 要使y=a与曲线y=x‎3‎-3x，‎(x>0)‎有两个交点， 则‎-20‎时，f(x)‎有两个零点，利用参数分离法进行求解即可． 本题主要考查函数与方程的应用，结合分段函数的表达式，判断函数是偶函数，以及，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键． ‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ 1. 在‎△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，cosB=‎‎2‎‎5‎，sinAcosB-(2c-cosA)⋅sinB=0‎． ‎(1)‎求b的值； ‎(2)‎求‎△ABC的周长的最大值．‎ ‎【答案】‎(‎本题满分为12分‎)‎ 解：‎(1)∵sinAcosB-(2c-cosA)⋅sinB=0‎， ‎∴sinAcosB+cosAsinB=2csinB，‎…3‎分 ‎∴sinC=2csinB， ‎∴‎由正弦定理可得：c=2cb，可得：b=‎1‎‎2‎…6‎分 ‎(2)∵b=‎‎1‎‎2‎，cosB=‎‎2‎‎5‎， ‎∴‎由余弦定理可得：a‎2‎‎+c‎2‎=b‎2‎+2accosB=‎1‎‎4‎+‎4‎‎5‎ac， ‎∴(a+c‎)‎‎2‎=‎1‎‎4‎+‎14‎‎5‎ac≤‎1‎‎4‎+‎14‎‎5‎(‎a+c‎2‎‎)‎‎2‎，‎…9‎分 ‎∴a+c≤‎‎30‎‎6‎，当且仅当a=c时等号成立， ‎∴△ABC的周长的最大值为‎30‎‎6‎‎+‎1‎‎2‎…12‎分 ‎【解析】‎(1)‎由已知利用两角和的正弦函数公式，正弦定理可得c=2cb，即可解得b． ‎(2)‎由余弦定理，基本不等式可求a+c≤‎‎30‎‎6‎，当且仅当a=c时等号成立，即可得解‎△ABC的周长的最大值． 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． ‎ 2. 某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量y(‎单位：万只‎)‎与相应年份x(‎序号‎)‎的数据表和散点图‎(‎如图所示‎)‎，根据散点图，发现y与x有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养殖场的个数z(‎单位：个‎)‎关于x的回归方程z‎=-2x+30‎．‎ 第13页，共14页 年份序号x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 年养殖山羊y/‎万只 ‎1.2‎ ‎1.5‎ ‎1.6‎ ‎1.6‎ ‎1.8‎ ‎2.5‎ ‎2.5‎ ‎2.6‎ ‎2.7‎ ‎(1)‎根据表中的数据和所给统计量，求y关于x的线性回归方程‎(‎参考统计量：i=1‎‎9‎‎(‎xi‎-x‎-‎‎)‎‎2‎=60‎，i=1‎‎9‎‎(‎xi‎-x‎-‎)(yi-y‎-‎)=12)‎； ‎(2)‎试估计：‎①‎该县第一年养殖山羊多少万只 ‎②‎到第几年，该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？ 附：对于一组数据‎(u‎1‎,v‎1‎)‎，‎(u‎2‎,v‎2‎)‎，‎…(un,vn)‎，其回归直线v=βu+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为β‎=‎i=1‎n‎(‎ui‎-u‎-‎)(vi-v‎-‎)‎i=1‎n‎(‎ui‎-‎u‎-‎‎)‎‎2‎，α‎=v‎-‎-‎βu‎-‎．‎ ‎【答案】解：‎(1)‎设y关于x的线性回归方程为y‎=bx+a， x‎-‎‎=‎1+2+3+4+5+6+7+8+9‎‎9‎=5‎；y‎-‎‎=‎1.2+1.5+1.6+1.6+1.8+2.5+2.5+2.6+2.7‎‎9‎=2‎， b‎=i=1‎‎9‎‎(‎xi‎-x‎-‎)(yi-y‎-‎)‎i=1‎‎9‎‎(‎xi‎-‎x‎-‎‎)‎‎2‎=‎12‎‎60‎=0.2‎， ‎∴a=y‎-‎-b⋅x‎-‎=2-0.2×5=1‎， 所以y关于x的线性回归方程为y‎=0.2x+1‎． ‎(2)‎估计第x年山羊养殖的只数为y‎⋅z=(0.2x+1)(-2x+30)=-0.4x‎2‎+4x+30‎． ‎①‎第1年山羊养殖的只数为‎-0.4+4+30=33.6‎，故该县第一年养殖山羊约‎33.6‎万只． ‎②‎由题意，得‎-0.4x‎2‎+4x+30<33.6‎，整理得‎(x-9)(x-1)>0‎，解得x>9‎或x<1(‎舍‎)‎． 所以到第10年该县山羊养殖数量比第一年缩小了．‎ ‎【解析】‎(1)‎根据公式计算可得； ‎(2)‎估计第x年山羊养殖的只数为y‎⋅z=(0.2x+1)(-2x+30)=-0.4x‎2‎+4x+30.①‎令x=1‎可得，‎②‎解不等式‎-0.4x‎2‎+4x+30<33.6‎可得． 本题考查了线性回归方程，属中档题． ‎ 1. 如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，AB=2AD=2CD=4‎，E为AB的中点‎.‎将‎△BCE沿CE折起，使点B到达点F的位置，且平面CEF与平面ADCE所成的二面角为‎60‎‎∘‎． ‎‎(1)‎ 第13页，共14页 求证：平面CEF⊥‎平面AEF； ‎(2)‎求直线DF与平面CEF所成角的正弦值．‎ ‎【答案】‎(1)‎证明：在直角梯形ABCD中，由平面几何的知识，得四边形ADCE为正方形， 则CE⊥EF，CE⊥AE， 又EF∩AE=E，EF⊂‎平面AEF，AE⊂‎平面AEF， 所以CE⊥‎平面AEF， 又CE⊂‎平面CEF，所以平面CEF⊥‎平面AEF； ‎(2)‎解：由CE⊥EF，CE⊥AE，得‎∠AEF是二面角F-CE-D的平面角，即‎∠AEF=‎‎60‎‎∘‎， 又AE=EF=2‎，所以‎△AEF为正三角形； 以E为坐标原点，分别以EA、EC的方向为y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系E-xyz，如图所示； 则E(0,‎0，‎0)‎，C(0,‎0，‎2)‎，D(0,‎2，‎2)‎，F(‎3‎,‎1，‎0)‎， 从而EC‎=(0,‎0，‎2)‎，EF‎=(‎3‎,‎1，‎0)‎，DF‎=(‎3‎,-1,-2)‎， 设平面CEF的一个法向量为n‎=(x,‎y，z)‎， 则n‎⋅EC=0‎n‎⋅EF=0‎，即‎2z=0‎‎3‎x+y=0‎， 取x=1‎，则n‎=(1,-‎3‎,0)‎， 设直线DF与平面CEF所成的角为θ， 则sinθ=|cos<‎DF，n‎>|=‎|DF⋅n|‎‎|DF|×|n|‎=‎2‎‎3‎‎2‎2‎×2‎=‎‎6‎‎4‎， 所以直线DF与平面CEF所成角的正弦值为‎6‎‎4‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎由平面几何的知识，得四边形ADCE为正方形， 得出CE⊥EF，CE⊥AE，可证CE⊥‎平面AEF，即证平面CEF⊥‎平面AEF； ‎(2)‎由题意知‎∠AEF是二面角F-CE-D的平面角，‎△AEF为正三角形； 以E为坐标原点，以EA、EC的方向为y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz， 利用坐标表示EC、EF、DF，求出平面CEF的法向量，再求直线DF与平面CEF所成角的正弦值． 本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了利用空间向量求线面角的计算问题，是中档题． ‎ 1. 已知抛物线E：x‎2‎‎=2py(0‎‎1‎‎2‎，过点P作圆C 第13页，共14页 的两条切线分别交y轴于M，N两点，求‎△PMN面积的最小值，并求出此时点P的坐标．‎ ‎【答案】解：‎(1)‎抛物线E：x‎2‎‎=2py(0c， 故直线PM的方程为‎(y‎0‎-b)x-x‎0‎y+x‎0‎b=0‎，即‎(y‎0‎-b)x-x‎0‎y+x‎0‎b=0‎， 由题设知，圆心‎(0,1)‎到直线PM的距离为1， 即‎|-x‎0‎+x‎0‎b|‎‎(y‎0‎-b‎)‎‎2‎+‎x‎0‎‎2‎‎=1‎，注意到x‎0‎‎>2‎，化简上式，得‎(2y‎0‎-1)b‎2‎-2y‎0‎b-y‎0‎‎2‎=0‎， 同理可得‎(2y‎0‎-1)c‎2‎-2y‎0‎c-y‎0‎‎2‎=0‎， 由上可知，b，c为‎(2y‎0‎-1)x‎2‎-2y‎0‎x-y‎0‎‎2‎=0‎的两根，根据求根公式，可得b-c=‎‎2y‎0‎⋅‎‎2‎y‎0‎‎2y‎0‎-1‎， 故‎△PMN的面积为 S=‎1‎‎2‎(b-c)x‎0‎=‎2y‎0‎⋅‎‎2‎y‎0‎‎2y‎0‎-1‎⋅‎2‎y‎0‎=‎2‎y‎2‎‎2y‎0‎-1‎=‎2‎y‎0‎‎2‎‎2y‎0‎-1‎=y‎0‎‎2‎y‎0‎‎-‎‎1‎‎2‎=y‎0‎‎2‎‎-‎1‎‎4‎+‎‎1‎‎4‎y‎0‎‎-‎‎1‎‎2‎=y‎0‎+‎1‎‎2‎+‎1‎‎4‎y‎0‎‎-‎‎1‎‎2‎=y‎0‎-‎1‎‎2‎+‎1‎‎4‎y‎0‎‎-‎‎1‎‎2‎+1≥2‎1‎‎4‎+1=2‎， 当且仅当y‎0‎‎=1‎等号成立‎.‎此时点P的坐标为‎(‎2‎,1)‎或‎(-‎2‎,1)‎， 综上所述，当点P的坐标为‎(‎2‎,1)‎或‎(-‎2‎,1)‎，时，‎△PMN的面积取最小值2‎ ‎【解析】‎(1)‎根据题意可得x‎0‎‎2‎‎+(y‎0‎-p‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎25‎p‎2‎‎4‎，‎①‎，‎1‎‎2‎‎|1-p‎2‎|⋅|x‎0‎|=‎‎1‎‎2‎，‎②‎，x‎0‎‎2‎‎=2py‎0‎，‎③‎，由‎①②③‎解得p=1‎ ‎(2)‎设P(x‎0‎,y‎0‎)‎，M(0,b)‎，N(0,c)‎，且b>c，则直线 第13页，共14页 PM的方程可得，由题设知，圆心‎(0,1)‎到直线PM的距离为1，把x‎0‎，y‎0‎代入化简整理可得‎(2y‎0‎-1)b‎2‎-2y‎0‎b-y‎0‎‎2‎=0‎，同理可得‎(2y‎0‎-1)c‎2‎-2y‎0‎c-y‎0‎‎2‎=0‎，进而可知b，c为‎(2y‎0‎-1)x‎2‎-2y‎0‎x-y‎0‎‎2‎=0‎的两根，根据求根公式，可求得b-c，进而可得‎△PMN的面积的表达式，根据均值不等式可得 本题主要考查了抛物线的标准方程和直线与抛物线的关系‎.‎直线与圆锥曲线的问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题，垂直问题，对称问题‎.‎与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向． ‎ 1. 已知函数f(x)=‎ex，g(x)=alnx(a>0)‎． ‎(1)‎当x>0‎时，g(x)≤x，求实数a的取值范围； ‎(2)‎当a=1‎时，曲线y=f(x)‎和曲线y=g(x)‎是否存在公共切线？并说明理由．‎ 第13页，共14页 ‎【答案】解：‎(1)‎令m(x)=g(x)-x=alnx-x，则m'(x)=ax-1=‎a-xx， 若‎00‎，若x>a，则m'(x)<0‎． ‎∴m(x)‎在‎(0,a)‎上是增函数，在‎(a,+∞)‎上是减函数， ‎∴x=a是m(x)‎的极大值点，也是m(x)‎的最大值点，及m(x‎)‎max=alna-a． 若g(x)≤x恒成立，则只需alna-a≤0‎，解得‎00‎，h(x)‎在‎(-∞,0]‎上单调递增； 当x>0‎时，‎∵h″(x)=-(x+1)ex<0‎，‎∴h'(x)‎在‎(0,+∞)‎上是减函数． 又h'(0)=1>0‎，h'(1)=1-e<0‎， ‎∴‎存在x‎0‎‎∈(0,1)‎，使得h'(x‎0‎)=1-x‎0‎ex‎0‎=0‎，即ex‎0‎‎=‎‎1‎x‎0‎， 且当x∈(0,x‎0‎)‎时，h'(x)>0‎；当x∈(x‎0‎,+∞)‎时，h'(x)<0‎． 综上，h(x)‎在‎(-∞,x‎0‎)‎上是增函数，在‎(x‎0‎,+∞)‎上为减函数． ‎∴h(x‎0‎)‎是h(x)‎的极大值，也是最大值，且h(x‎)‎max=h(x‎0‎)=(1-x‎0‎)ex‎0‎+x‎0‎+1=(1-x‎0‎)⋅‎1‎x‎0‎+x‎0‎+1=‎1‎x‎0‎+x‎0‎>0‎． 又h(-2)=3e‎-2‎-1<0‎，h(2)=-e‎2‎+3<0‎， ‎∴h(x)‎在‎(-2,x‎0‎)‎内和‎(x‎0‎,2)‎内各有一个零点． 故假设成立，即曲线y=f(x)‎与y=g(x)‎存在公共切线．‎ ‎【解析】‎(1)‎令m(x)=g(x)-x=alnx-x，求其导函数，然后求其最大值，由最大值小于等于0求解a的取值范围； ‎(2)‎假设存在这样的直线l，且直线l与曲线y=f(x)‎和曲线y=g(x)‎分别切于A(x‎1‎,ex‎1‎)‎，B(x‎2‎,lnx‎2‎)‎，分别求出两曲线在A，B处的切线方程，由切线方程相同可得ex‎1‎‎=‎‎1‎x‎2‎‎(1-x‎1‎)ex‎1‎=lnx‎2‎-1‎，得到‎(1-x‎1‎)ex‎1‎+x‎1‎+1=0.‎构造函数h(x)=(1-x)ex+x+1‎，把存在直线l与曲线y=f(x)‎和曲线y=g(x)‎均相切，转化为函数h(x)=(1-x)ex+x+1‎在R上有零点‎.‎然后利用导数判断函数h(x)‎的单调性，结合函数零点的判定证明假设成立，即曲线y=f(x)‎与y=g(x)‎存在公共切线． 本题考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题． ‎ 1. 已知曲线C的参数方程为y=1-2sinαx=3+2cosα‎(α为参数‎)‎，以直角坐标系原点为极点，x轴非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系． ‎(1)‎求曲线C的极坐标方程并说明其表示什么轨迹； ‎(2)‎若直线l的极坐标方程为sinθ-2cosθ=‎‎1‎ρ，求曲线C上的点到直线l的最大距离．‎ ‎【答案】解：‎(1)‎曲线C的参数方程为y=1-2sinαx=3+2cosα‎(α为参数‎)‎， 转换为直角坐标方程为：‎(x-3‎)‎‎2‎+(y-1‎)‎‎2‎=4‎． 所以：该曲线是以‎(3,1)‎为圆心，2为半径的圆． 转换为极坐标方程为：ρ‎2‎‎-6ρcosθ-2ρsinθ+6=0‎． ‎(2)‎直线l的极坐标方程为sinθ-2cosθ=‎‎1‎ρ， 转换为直角坐标方程为：‎2x-y-1=0‎． 则：圆心‎(3,1)‎到直线的距离d=‎|2×3-1+1|‎‎2‎‎2‎‎+1‎=‎‎6‎‎5‎‎5‎， 所以：曲线C上的点到直线的距最大距离d+r=‎6‎‎5‎‎5‎+2‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． ‎(2)‎利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． ‎ 2. 已知函数f(x)=-|2x-1|-2‎． ‎(1)‎求f(x)≥-5‎的解集； ‎(2)‎若‎∀x∈R，f(x)≤-|x+3|-t‎2‎+‎3‎‎2‎t+1‎恒成立，求实数t的取值范围．‎ 第13页，共14页 ‎【答案】解：‎(1)‎函数f(x)=-|2x-1|-2‎， 不等式f(x)≥-5‎可化为‎-|2x-1|-2≥-5‎， 即‎|2x-1|≤3‎， 所以‎-3≤2x-1≤3‎， 解得‎-1≤x≤2‎， 所以不等式的解集为‎{x|-1≤x≤2}‎； ‎(2)‎不等式f(x)≤-|x+3|-t‎2‎+‎3‎‎2‎t+1‎， 可化为‎|x+3|-|2x-1|≤-t‎2‎+‎3‎‎2‎t+3‎； 对‎∀x∈R，f(x)≤-|x+3|-t‎2‎+‎3‎‎2‎t+1‎恒成立， 等价于‎(|x+3|-|2x-1|‎)‎max≤-t‎2‎+‎3‎‎2‎t+3‎； 设g(x)=|x+3|-|2x-1|‎， 则g(x)=‎x-4,x≤-3‎‎3x+2,-3

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