数学卷·2018届江西省宜春市上高二中高二下学期第五次月考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届江西省宜春市上高二中高二下学期第五次月考数学试卷（文科） （解析版）

江西省宜春市上高二中2016-2017学年高二（下）第五次月考数学试卷（文科）（解析版）‎ ‎　‎ 一、选择题（12×5=60分）‎ ‎1．某学校高一、高二、高三年级分别有720、720、800人，现从全校随机抽取56人参加防火防灾问卷调查．先采用分层抽样确定各年级参加调查的人数，再在各年级内采用系统抽样确定参加调查的同学，若将高三年级的同学依次编号为001，002，…，800，则高三年级抽取的同学的编号不可能为（　　）‎ A．001，041，…761 B．031，071，…791 C．027，067，…787 D．055，095，…795‎ ‎2．若f（x）=xcosx，则函数f（x）的导函数f'（x）等于（　　）‎ A．1﹣sinx B．x﹣sinx C．sinx+xcosx D．cosx﹣xsinx ‎3．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是 （　　）‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．①②‎ ‎4．已知函数f（x）=ln（ax﹣1）的导函数是f'（x），且f'（2）=2，则实数a的值为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎5．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（　　）‎ A．55.2，3.6 B．55.2，56.4 C．64.8，63.6 D．64.8，3.6‎ ‎7．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与函数y=lnx+ln2+1的图象相切，则双曲线的离心率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图是某四面体ABCD水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD外接球的表面积为（　　）‎ A．20π B． C．25π D．100π ‎9．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）‎ A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）‎ ‎10．已知a为常数，函数f（x）=ax3﹣3ax2﹣（x﹣3）ex+‎ ‎1在（0，2）内有两个极值点，则实数a的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足f'（x1）=，f'（x2）=，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”，已知函数f（x）=2x3﹣x2+m是[0，2a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（，） B．（，） C．（，） D．（，1）‎ ‎12．已知f（x）是定义在区间（0，+∞）上的函数，其导函数为f'（x），且不等式xf'（x）＜2f（x）恒成立，则（　　）‎ A．4f（1）＜f（2） B．4f（1）＞f（2） C．f（1）＜4f（2） D．f（1）＜2f'（2）‎ ‎　‎ 二、填空题（5×4=20分）‎ ‎13．如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 用水量 ‎4.5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2.5‎ 由散点可知，用水量y与月份x之间由较好的线性相关关系，其线性回归方程是=0.7x+a，则a等于　　．‎ ‎14．已知函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf′（x）＜0的解集为　　．‎ ‎15．若曲线y=在点P（a，）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是　　．‎ ‎16．已知f（x）=﹣（x﹣1）2+m，g（x）=xex，若∃x1，x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，则实数m的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）为了调查甲、乙两个交通站的车流量，随机选取了14天，统计每天上午8：00～12：00间各自的车流量（单位：百辆），得如图所示的统计图，试求：‎ ‎（1）甲、乙两个交通站的车流量的极差分别是多少？‎ ‎（2）甲交通站的车流量在[10，60]间的频率是多少？‎ ‎（3）甲、乙两个交通站哪个站更繁忙？并说明理由．‎ ‎18．（12分）已知函数f（x）=．‎ ‎（1）若函数f（x）的曲线上一条切线经过点M（0，0），求该切线方程；‎ ‎（2）求函数f（x）在区间[﹣3，+∞）上的最大值与最小值．‎ ‎19．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求证：AC∥平面DEF；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥C﹣DEF的体积．‎ ‎20．（12分）据统计某种汽车的最高车速为120千米∕时，在匀速行驶时每小时的耗油量y（升）与行驶速度y（千米∕时）之间有如下函数关系：．已知甲、乙两地相距100千米．‎ ‎（Ⅰ）若汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？‎ ‎（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？‎ ‎21．（12分）已知椭圆的焦距为，短半轴长为2，过点P（﹣2，1）斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）求弦AB的长．‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=x+，g（x）=x+lnx，其中a≠0．‎ ‎（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值及h（x）的单调区间；‎ ‎（2）若对任意的x1，x2∈[1，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，且﹣2＜a＜0，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省宜春市上高二中高二（下）第五次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（12×5=60分）‎ ‎1．某学校高一、高二、高三年级分别有720、720、800人，现从全校随机抽取56人参加防火防灾问卷调查．先采用分层抽样确定各年级参加调查的人数，再在各年级内采用系统抽样确定参加调查的同学，若将高三年级的同学依次编号为001，002，…，800，则高三年级抽取的同学的编号不可能为（　　）‎ A．001，041，…761 B．031，071，…791 C．027，067，…787 D．055，095，…795‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】由系统抽样得到的数据特征应成等差数列，经计算答案中的数据795﹣055=740不是40的整数倍，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由系统抽样得到的数据特征应成等差数列，‎ 经计算答案中的数据795﹣055=740不是40的整数倍，‎ 因此这组数据不合系统抽样得到的，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查系统抽样方法．根据系统抽样的定义确定抽取间距，利用等差数列的通项公式进行求解是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．若f（x）=xcosx，则函数f（x）的导函数f'（x）等于（　　）‎ A．1﹣sinx B．x﹣sinx C．sinx+xcosx D．cosx﹣xsinx ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据题意，由导数乘积的运算法则求f（x）=xcosx求导，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，f（x）=xcosx，‎ 其导数f′（x）=x′cosx+x•（cosx）′=cosx﹣xsinx，‎ 即f'（x）=cosx﹣xsinx，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查导数的计算，关键是熟悉导数的计算公式．‎ ‎　‎ ‎3．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是 （　　）‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．①②‎ ‎【考点】变量间的相关关系．‎ ‎【分析】观察两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，若带状越细说明相关关系越强，得到两个变量具有线性相关关系的图是①和④．‎ ‎【解答】解：∵两个变量的散点图，‎ 若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，‎ ‎∴两个变量具有线性相关关系的图是①和④．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查散点图，从散点图上判断两个变量有没有线性相关关系，这是初步判断两个变量是否有相关关系的一种方法，是一个基础题．‎ ‎　‎ ‎4．已知函数f（x）=ln（ax﹣1）的导函数是f'（x），且f'（2）=2，则实数a的值为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】利用导数的运算法则即可得出．‎ ‎【解答】解：由f（x）=ln（ax﹣1）可得，‎ 由f'（2）=2，可得，解之得．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了导数的运算法则、函数求值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．‎ ‎【解答】解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，‎ 故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；‎ 当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．‎ ‎　‎ ‎6．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（　　）‎ A．55.2，3.6 B．55.2，56.4 C．64.8，63.6 D．64.8，3.6‎ ‎【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】首先写出原来数据的平均数表示式和方差的表示式，把数据都加上60以后，再表示出新数据的平均数和方差的表示式，两部分进行比较，得到结果 ‎【解答】解：设这组数据分别为x1，x2，…，xn，‎ 若其平均数是4.8，方差是3.6，则有1=（x1+x2+…+xn）=4.8，‎ 方差S12= [（x1﹣）2+…+（xn﹣）2]=3.6；‎ 若将这组数据中的每一个数据都加上60，则数据为60+x1，60+x2，…，60+xn，‎ 则平均数2= [（60+x1）+）60+x2）+…+（60+xn）]=60+4.8=64.8，‎ 方差S22= [（60+x1﹣64.8）2+…+（60+xn﹣64.8）2]=3.6；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查数据的平均数、方差的计算，关键是掌握数据方差、平均数的计算公式．‎ ‎　‎ ‎7．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与函数y=lnx+ln2+1的图象相切，则双曲线的离心率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由函数的导数的几何意义可知：则渐近线的斜率为k==，则=，解得：x0=，即可求得b=2a，双曲线的离心率e===．‎ ‎【解答】解：由函数y=lnx+ln2+1，（x＞0），求导y′=，设渐近线与函数的切点为P（x0，y0），‎ 则渐近线的斜率为k==，‎ ‎∴=，解得：x0=，‎ ‎∴==2，b=2a，‎ 双曲线的离心率e===，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查导数的几何意义及双曲线的简单几何性质，考查直线的斜率公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．如图是某四面体ABCD水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD外接球的表面积为（　　）‎ A．20π B． C．25π D．100π ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】还原三视图成直观图，得到如图所示的三棱锥P﹣ABC，其中AC⊥BC，PA⊥平面ABC，AB=BC=2且PA=3．利用线面垂直的判定与性质，证出PB是Rt△PAB与Rt△PBC公共的斜边，从而得到PB的中点O就是多面体的外接球的球心．再根据勾股定理和球的表面积公式加以计算，可得答案．‎ ‎【解答】解：根据三视图的形状，将该多面体还原成直观图，得到如图所示的三棱锥P﹣ABC．‎ 其中△ABC中，AC=4，AB=BC=2，PA⊥平面ABC，PA=3‎ ‎∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，‎ ‎∴PA⊥BC．‎ ‎∵BC⊥AC，PA∩AC=C，∴BC⊥平面PAC 结合PC⊂平面PAC，得BC⊥PC 因此，PB是Rt△PAB与Rt△PBC公共的斜边，设PB的中点为0，则OA=OB=OC=OP=PB．‎ ‎∴PB的中点O就是多面体的外接球的球心 ‎∵Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，‎ ‎∴AB=2．‎ 又∵Rt△PAB中，PA=3，‎ ‎∴PB==，‎ 所以外接球表面积为S=4πR2=25π．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 本题给出三视图，求多面体的外接球的表面积．着重考查了三视图的认识、线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）‎ A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．‎ ‎【分析】构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解 ‎【解答】解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），‎ 则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，‎ ‎∵f（x）+f′（x）＞1，‎ ‎∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，‎ ‎∴g′（x）＞0，‎ ‎∴y=g（x）在定义域上单调递增，‎ ‎∵exf（x）＞ex+3，‎ ‎∴g（x）＞3，‎ 又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，‎ ‎∴g（x）＞g（0），‎ ‎∴x＞0‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．已知a为常数，函数f（x）=ax3﹣3ax2﹣（x﹣3）ex+1在（0，2）内有两个极值点，则实数a的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】求出函数f（x）的导数，问题转化为y=a和g（x）在（0，2）有2个交点，根据函数的单调性求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）=（x﹣2）（3ax﹣ex），‎ 若f（x）在（0，2）内有两个极值点，‎ 即a=在（0，2）有2个解，‎ 令g（x）=，x∈（0，2），‎ 问题转化为y=a和g（x）在（0，2）有2个交点，‎ 则g′（x）=，‎ 令g′（x）＞0，解得：1＜x＜2，‎ 令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，‎ 故g（x）在（0，1）递减，在（1，2）递增，‎ 故g（x）min=g（1）=，而f（2）=，‎ x→0时，f（x）→+∞，‎ 故a∈（，），‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎11．定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足f'（x1）=，f'（x2）=，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”，已知函数f（x）=2x3﹣x2+m是[0，2a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（，） B．（，） C．（，） D．（，1）‎ ‎【考点】函数与方程的综合运用．‎ ‎【分析】根据定义得出=8a2‎ ‎﹣2a，相当于6x2﹣2x=8a2﹣2a在[0，2a]上有两个根，利用二次函数的性质解出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：f（x）=2x3﹣x2+m是[0，2a]上的“双中值函数”，‎ ‎∴=8a2﹣2a，‎ ‎∵f'（x）=6x2﹣2x，‎ ‎∴6x2﹣2x=8a2﹣2a在[0，2a]上有两个根，‎ 令g（x）=6x2﹣2x﹣8a2+2a，‎ ‎∴△=4+24（8a2﹣2a）＞0，‎ g（0）＞0，‎ g（2a）＞0，‎ ‎2a＞，‎ ‎∴＜a＜．‎ 故选A．‎ ‎【点评】考查了新定义类型题的解题方法，重点是对新定义性质的理解．‎ ‎　‎ ‎12．已知f（x）是定义在区间（0，+∞）上的函数，其导函数为f'（x），且不等式xf'（x）＜2f（x）恒成立，则（　　）‎ A．4f（1）＜f（2） B．4f（1）＞f（2） C．f（1）＜4f（2） D．f（1）＜2f'（2）‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】令g（x）=，（x＞0），求出函数的导数，得到函数的单调性，求出g（1）＞g（2），从而求出答案．‎ ‎【解答】解：令g（x）=，（x＞0），则g′（x）=，‎ ‎∵不等式xf'（x）＜2f（x）恒成立，‎ ‎∴xf'（x）﹣2f（x）＜0，即g′（x）＜0，‎ g（x）在（0，+∞）递减，‎ 故g（1）＞g（2），‎ 故4f（1）＞f（2），‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（5×4=20分）‎ ‎13．如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 用水量 ‎4.5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2.5‎ 由散点可知，用水量y与月份x之间由较好的线性相关关系，其线性回归方程是=0.7x+a，则a等于　5.25　．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】首先求出x，y的平均数，根据所给的线性回归方程知道b的值，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解： =（1+2+3+4）=2.5， =（4.5+4+3+2.5）=3.5，‎ 将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是=﹣0.7x+a，‎ 可得3.5=﹣1.75+a，‎ 故a=5.25．‎ 故答案为：5.25．‎ ‎【点评】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目．‎ ‎　‎ ‎14．已知函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf′（x）＜0的解集为　（﹣∞，0）∪（，2）　．‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】由函数y=f（x）（x∈R）的图象可得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而得不等式xf′（x）＜0的解集．‎ ‎【解答】解：由f（x）图象特征可得，f′（x）在（﹣∞，）∪（2，+∞）上大于0，‎ 在（，2）上小于0，‎ ‎∴xf′（x）＜0⇔⇔⇔x＜0或＜x＜2，‎ 所以xf′（x）＜0的解集为（﹣∞，0）∪（，2）．‎ 故答案为：（﹣∞，0）∪（，2）．‎ ‎【点评】本题考查导数与函数单调性的关系，考查学生的识图能力，利用导数求函数的单调性是重点．‎ ‎　‎ ‎15．若曲线y=在点P（a，）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是　4　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的截距式方程．‎ ‎【分析】‎ 求导数可得切线的斜率，进而可得切线的方程，可得其截距，由面积为2可得a的方程，解方程可得．‎ ‎【解答】解：对y=求导数可得y′=，‎ ‎∴曲线在P（a，）处的切线斜率为k=，‎ ‎∴切线方程为：y﹣=（x﹣a），‎ 令x=0，可得y=，即直线的纵截距为，‎ 令y=0，可得x=﹣a，即直线的横截距为﹣a，‎ ‎∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为：‎ S=|||﹣a|=2，解得a=4‎ 故答案为：4‎ ‎【点评】本题考查直线的截距，涉及导数法求曲线上某点的切线，属基础题．‎ ‎　‎ ‎16．已知f（x）=﹣（x﹣1）2+m，g（x）=xex，若∃x1，x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，则实数m的取值范围是　[﹣，+∞）　．‎ ‎【考点】函数最值的应用．‎ ‎【分析】∃x1，x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，等价于f（x）max≥g（x）min，分别求出最值，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∃x1，x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，等价于f（x）max≥g（x）min，‎ ‎∵g（x）=xex，‎ ‎∴g′（x）=（1+x）ex，‎ x＜﹣1时，g′（x）＜0，x＞﹣1时，g′（x）＞0，‎ ‎∴x=﹣1时，g（x）min=﹣，‎ ‎∵f（x）=﹣（x﹣1）2+m，‎ ‎∴f（x）max=m，‎ ‎∴m≥﹣，‎ ‎∴实数m的取值范围是[﹣，+∞）．‎ 故答案为：[﹣，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查函数最值的应用，考查导数知识的运用，：∃x1，x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，转化为f（x）max≥g（x）min，是关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）（2017春•上高县校级月考）为了调查甲、乙两个交通站的车流量，随机选取了14天，统计每天上午8：00～12：00间各自的车流量（单位：百辆），得如图所示的统计图，试求：‎ ‎（1）甲、乙两个交通站的车流量的极差分别是多少？‎ ‎（2）甲交通站的车流量在[10，60]间的频率是多少？‎ ‎（3）甲、乙两个交通站哪个站更繁忙？并说明理由．‎ ‎【考点】茎叶图；古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】（1）由各组数据的最大值减去最小值就是这组数据的极差；‎ ‎（2）用甲交通站的车流量在[10，60]间天数除以14就得到甲交通站的车流量在[10，60]间的频率；‎ ‎（3）通过茎叶图中的数据对甲乙两个交通站比对，明显甲交通站集中在60百辆附近，乙较分散．‎ ‎【解答】解：（1）甲交通站的车流量的极差为73﹣8=65（百辆），乙交通站的车流量的极差为71﹣5=66（百辆）；‎ ‎（2）甲交通站的车流量在[10，60]间的频率为．‎ ‎（3）甲交通站的车流量集中在茎叶图的下方，而乙交通站的车流量集中在茎叶图的上方，从数据的分布情况来看，甲交通站更繁忙．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了茎叶图与古典概型的概率计算公式，考查了学生的读图能力，属基本概念题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•抚州期末）已知函数f（x）=．‎ ‎（1）若函数f（x）的曲线上一条切线经过点M（0，0），求该切线方程；‎ ‎（2）求函数f（x）在区间[﹣3，+∞）上的最大值与最小值．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，设切点是（a，），求出a的值，从而求出切线方程即可；‎ ‎（2）求出函数f（x）的单调区间，从而求出f（x）的最值即可．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=，‎ 设切点是（a，），则k=f′（a）=，‎ 故切线方程是：y﹣=（x﹣a）（*），‎ 将（0，0）带入（*）得：a=1，‎ 故切点是（1，），k=，‎ 故切线方程是：y﹣=（x﹣1），‎ 整理得：y=x；‎ ‎（2）f′（x）=，‎ 令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2，‎ 令f′（x）＜0，解得：x＞2或x＜0，‎ 故f（x）在[﹣3，0）递减，在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，‎ 而f（﹣3）=9e3，f（0）=0，f（2）=，x→+∞时，f（x）→0，‎ 故f（x）的最小值是0，最大值是f（﹣3）=9e3．‎ ‎【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•朝阳区期末）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求证：AC∥平面DEF；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥C﹣DEF的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）推导出BE⊥AC，AC⊥BD．由此能证明AC⊥平面BDE．‎ ‎（Ⅱ）设AC∩BD=O，设G为DE的中点，连结OG，FG，推导出四边形AOGF为平行四边形，从而AO∥FG，即AC∥FG，由此能证明AC∥平面DEF．‎ ‎（Ⅲ）推导出点C到平面DEF的距离等于A点到平面DEF的距离，由VC﹣DEF=VA﹣DEF，能求出三棱锥C﹣DEF的体积．‎ ‎【解答】（本小题满分14分）‎ 证明：（Ⅰ）因为平面ABCD⊥平面ABEF，‎ 平面ABCD∩平面ABEF=AB，且AB⊥BE，所以BE⊥平面ABCD．‎ 因为AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC．‎ 又因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD．‎ 因为BD∩BE=B，所以AC⊥平面BDE．…（4分）‎ ‎（Ⅱ）设AC∩BD=O，‎ 因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点．‎ 设G为DE的中点，连结OG，FG，‎ 则OG∥BE，且．由已知AF∥BE，且，‎ 则AF∥OG，且AF=OG．所以四边形AOGF为平行四边形．‎ 所以AO∥FG，即AC∥FG．‎ 因为AC⊄平面DEF，FG⊂平面DEF，‎ 所以AC∥平面DEF．…（9分）‎ 解：（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BE⊥平面ABCD，‎ 因为AF∥BE，所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB，AF⊥AD．‎ 又因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD，‎ 所以AD⊥平面ABEF．‎ 由（Ⅱ）可知，AC∥平面DEF，‎ 所以，点C到平面DEF的距离等于A点到平面DEF的距离，‎ 所以 VC﹣DEF=VA﹣DEF．‎ 因为AB=AD=2AF=2．‎ 所以=．‎ 故三棱锥C﹣DEF的体积为．…（14分）‎ ‎【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2013秋•沈阳期末）据统计某种汽车的最高车速为120千米∕时，在匀速行驶时每小时的耗油量y（升）与行驶速度y（千米∕时）之间有如下函数关系：．已知甲、乙两地相距100千米．‎ ‎（Ⅰ）若汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？‎ ‎（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出汽车从甲地到乙地行驶的时间，即可求得需耗油的升数；‎ ‎（Ⅱ）当汽车的行驶速度为x千米∕时时，从甲地到乙地需行驶小时，列出耗油函数关系式，利用导数可得最值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当x=40千米∕时时，汽车从甲地到乙地行驶了（小时），‎ 需耗油（升）．‎ 所以，汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，从甲地到乙地需耗油17.5升…（4分）．‎ ‎（Ⅱ）当汽车的行驶速度为x千米∕时时，从甲地到乙地需行驶小时．设耗油量为h（x）升，‎ 依题意，得，其中，0＜x≤120．…（7分）即（0＜x≤120）．‎ 令 h′（x）=0，得x=80‎ 当x∈（0，80）时，h′（x）＜0，函数单调递减；当x∈（80，120）时，h′（x）＞0，函数单调递增 ‎∴x=80时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升 ‎∴所以当汽车以80千米∕时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2017春•上高县校级月考）已知椭圆的焦距为，短半轴长为2，过点P（﹣2，1）斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）求弦AB的长．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由已知可得：2c=4，b=2，a2=b2+c2，联立解得即可得出．‎ ‎（2）直线l的方程为：y﹣1=x+2，即y=x+3．设A（x1，y1），B（x2，y2）．与题意方程联立化为：4x2+18x+15=0，利用弦长公式|AB|=即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由已知可得：2c=4，b=2，a2=b2+c2，联立解得：c=2，b=2，a2=12．‎ ‎∴椭圆C的标准方程为=1．‎ ‎（2）直线l的方程为：y﹣1=x+2，即y=x+3．设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 联立，化为：4x2+18x+15=0，‎ ‎∴x1+x2=﹣，x1•x2=，‎ ‎∴|AB|==‎ ‎=．‎ ‎【点评】本题考查了题意的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016•白山四模）已知函数f（x）=x+，g（x）=x+lnx，其中a≠0．‎ ‎（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值及h（x）的单调区间；‎ ‎（2）若对任意的x1，x2∈[1，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，且﹣2＜a＜0，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）对h（x）求导数，利用h′（x）=0时存在极值点，求出a的值，再利用导数讨论h（x）的单调性；‎ ‎（2）设存在实数a，对任意的x1，x2∈[1，2]都有f（x1）≥g（x2）成立，等价于对任意的x1，x2∈[1，2]时，都有[f（x）]min≥[g（x）]max，‎ 分别求出函数f（x）在区间[1，2]的最小值与g（x）在[1，2]上的最大值，列出不等式求出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵h（x）=f（x）+g（x）=2x++lnx，其定义域为（0，+∞），‎ ‎∴h′（x）=2﹣+；‎ 又x=1是函数h（x）的极值点，‎ ‎∴h'（1）=0，即3﹣a2=0，‎ ‎∵a＞0，‎ ‎∴a=；‎ 经检验，a=时，x=1是函数h（x）的极值点，‎ ‎∴a=；‎ 又h′（x）==，‎ ‎∴当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）是单调减函数，‎ x＞1时，h′（x）＞0，h（x）是单调增函数；‎ ‎∴h（x）的单调减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）；‎ ‎（2）假设存在实数a，对任意的x1，x2∈[1，2]都有f（x1）≥g（x2）成立，‎ 等价于对任意的x1，x2∈[1，2]时，都有[f（x）]min≥[g（x）]max，‎ 当x∈[1，2]时，g′（x）=1+＞0．‎ ‎∴函数g（x）=x+lnx在[1，2]上是增函数．‎ ‎∴[g（x）]max=g（2）=2+ln2．‎ ‎∵f′（x）=1﹣=，且x∈[1，2]，﹣2＜a＜0，‎ ‎①当﹣1＜a＜0且x∈[1，2]时，f′（x）=＞0，‎ ‎∴函数f（x）=x+在[1，2]上是增函数．‎ ‎∴[f（x）]min=f（1）=1+a2．‎ 由1+a2≥2+ln2，得a≤﹣，又﹣1＜a＜0，‎ ‎∴a≤﹣不合题意．‎ ‎②当﹣＜≤a≤﹣1时，若1≤x＜﹣a，则f′（x）=＜0，‎ 若﹣a＜x≤2，则f′（x）=＞0，‎ ‎∴函数f（x）=x+在[1，﹣a）上是减函数，在（﹣a，2]上是增函数．‎ ‎∴[f（x）]min=f（﹣a）=﹣2a ‎﹣2a≥2+ln2，得a≤﹣1﹣ln2，‎ ‎∴﹣2＜a≤﹣1﹣ln2．‎ 综上，存在实数a的取值范围为（﹣2，﹣1﹣ln2）．‎ ‎【点评】主要考查 函数的单调性与导数的关系，以及函数的最值与导数的应用问题，也考查了分类讨论思想与函数思想的应用问题，是较难的题目．‎