2019-2020学年湖北省宜昌市第二中学高一上学期10月月考数学试卷

2019-2020学年湖北省宜昌市第二中学高一上学期10月月考数学试卷

湖北省宜昌市第二中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试卷 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。‎ 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 在下列命题中，不正确的是（　　）‎ A. {1}∈{0，1，2} B. ∅⊆{0，1，2} C. {0，1，2}⊆{0，1，2} D. {0，1，2}={2，0，1}‎ 2. 已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）=（      ）‎ A. [2，3] B. （﹣2，3] C. [1，2） D. （﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）‎ 3. 若集合，，，集合，则图中阴影部分表示（ ） A. ​ B. C. D. ‎ 4. 设集合A={2，1-a，a2-a+2}，若4∈A，则a=（　　）‎ A. -3或-1或2 B. -3或-1 C. -3或2 D. -1或2‎ 5. 若x，y∈R，A＝{（x，y）|y＝x}，，则集合A，B间的关系为（    ）‎ A. B. C. A＝B D. ‎ 1. 设集合，，则集合 A 与 B 的关系是      ‎ A. ​ B. C. D. A与B关系不确定 2. 设集合A={-1，1}，集合B={x|ax=1，a∈R}，则使得B⊆A的a的所有取值构成的集合是(    )‎ A. {0，1} B. {0，-1} C. {1，-1} D. {-1，0，1}‎ 3. 已知f（x-2）=x2-4x，那么f（x）=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 下列四组函数中表示同一个函数的是（　　）‎ A. f（x）=x0与 g（x）=1 B. f（x）=|x|与 C. f（x）=x与  D. 与 ‎ 5. 设集合P={x|0≤x≤2}，Q={y|0≤y≤2}在下列图形中能表示从P到Q的函数的是( )‎ ‎ A. ①②③④ B. ①③④ C. ①④ D. ③‎ 6. 给定全集U，若非空集合A、B满足A⊆U，B⊆U且集合A中的最大元素小于B中的最小元素，则称(A，B)为U的一个有序子集对，若U＝{1，2，3，4}，则U的有序子集对的个数为（     ）.‎ A. 16 B. 17 C. 18 D. 19‎ 1. 函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则不等式f（x）＞f（8x-16）的解集为（　　）‎ A. （2，） B. （-∞，2） C. （，+∞） D. （2，+∞）‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 2. 已知集合A={a2，a+1，3}，B={a-3，2a-1，a2+1}．当A∩B={3}，则实数a= ______ ．‎ 3. 已知函数的定义域是,值域是,则实数m的取值范围是____．‎ 4. 定义一种集合运算A⊗B={x|x∈（A∪B），且x∉（A∩B）}，设M={x|-2＜x＜2}，N={x|1＜x＜3}，则M⊗N所表示的集合是______ ．‎ 5. 若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合，，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则的值为__________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 6. 集合A={x|-3≤x＜5}，B={x|-2＜x＜7} （1）求A∩B，A∪B； （2）（∁RA）∩B． ‎ 1. 已知函数． （1）设f（x）的定义域为A，求集合A； （2）判断函数f（x）在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明． ‎ 2. 已知集合A={x|y=}，B={x|x2-2x+1-m2≤0}． （1）若m=3，求A∩B； （2）若m＞0，A⊆B，求m的取值范围． ‎ 3. 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间单位：分钟之间的关系满足如图所示的图象，当 时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，过点；当时，图象是线段BC，其中根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳． 试求的函数关系式； 教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由． ‎ 1. 已知二次函数的最小值为1,且． 求的解析式； 若在区间上不单调,求实数m的取值范围； 求函数在区间上的最小值． ‎ 2. 函数f(x)的定义域为R，且对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x > 0时，f(x) < 0. ‎ ‎（1）求f(0)；‎ ‎（2）用定义法证明函数f(x)在R上是减函数；‎ ‎（3）若f(1)＝－4，求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值． 答案和解析 ‎【答案】‎ ‎1. A 2. B 3. A 4. C 5. B 6. B 7. D 8. D 9. B 10. C 11. B 12. A ‎ ‎13. 6，或  ‎ ‎14. [-1，2]  ‎ ‎15. {x|-2＜x≤1或2≤x＜3}  ‎ ‎16. {0,1,4}．  ‎ ‎17. 解：（1）∵A={x|-3≤x＜5}，B={x|-2＜x＜7}， ∴A∩B={x|-2＜x＜5}， A∪B={x|-3≤x＜7}； （2）∵A={x|-3≤x＜5}，B={x|-2＜x＜7}， ∴∁RA={x|x＜-3或x≥5}， ∴（∁RA）∩B={x|5≤x＜7}．  ‎ ‎18. 解：（1）∵函数． ∴由x2-1≠0，得x≠±1， ∴函数的定义域为{x∈R|x≠±1}…（4分） （2）函数在（1，+∞）上单调递减．…（6分） 证明：任取x1，x2∈（1，+∞），设x1＜x2， 则△x=x2-x1＞0，…（8分） ∵x1＞1，x2＞1， ∴‎ ‎． 又x1＜x2，∴x1-x2＜0，∴△y＜0． ∴函数在（1，+∞）上单调递减．…（12分）  ‎ ‎19. 解：（1）由3-2x-x2≥0，解得-3≤x≤1，∴集合A={x|-3≤x≤1}； 当m=3时，x2-2x+1-m2≤0可化为x2-2x-8≤0，即（x-4）（x+2）≤0， 解得-2≤x≤4，∴集合B={x|-2≤x≤4}， ∴A∩B={x|-2≤x≤1}； （2）m＞0，B={x|x2-2x+1-m2≤0}=[1-m，1+m]． ∵A⊆B， ∴， ∴m≥4．  ‎ ‎20. 解：（1）当x∈（0，12]时， 设f（x）=a（x-10）2+80 过点（12，78）代入得， 则 当x∈[12，40]时， 设y=kx+b，过点B（12，78）、C（40，50） 得 ，即y=-x+90 则的函数关系式为 （2）由题意得，或 得4＜x≤12或12＜x＜28， 4＜x＜28 则老师就在x∈（4，28）时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．‎ ‎  ‎ ‎21. 解：（1）∵f（0）=f（2）=3， ∴函数图象关于直线x=1对称， 又∵二次函数f（x）的最小值为1， ∴设f（x）=a（x-1）2+1， 由f（0）=3得：a=2， 故f（x）=2（x-1）2+1=2x2-4x+3．            （2）要使函数在区间[3m，m+2]上不单调， 则1∈（3m，m+2）， 解得：m∈（-1，）．  （3）由（1）知f（x）=2（x-1）2+1， 所以函数f（x）图象开口向上，对称轴方程为x=1， ①当t-1≥1即t≥2时，函数f（x）在区间[t-1，t]上单调递增， 当x=t-1时，f（x）的最小值g（t）=2t2-8t+9， ②当t-1＜1＜t．即1＜t＜2时，函数f（x）在区间[t-1，1]上单调递减，在区间[1，t]上单调递增， 当x=1时，f（x）的最小值g（t）=1， ③当t≤1时，函数f（x）在区间[t-1，t]上单调递减， 当x=t时，f（x）的最小值g（t）=2t2-4t+3， 综上所述，g（t）=​．  ‎ ‎22. 解： （1）∵函数f（x）对于任意x，y∈R总有f（x）+f（y）=f（x+y）， ‎ ‎ 令x=y=0得f（0）=0； （2）证明：在R上任取x1＞x2，则x1-x2＞0，  f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2），  ∵x＞0时，f（x）＜0，f（x1-x2）＜0，  ∴f（x1）＜f（x2），  ∴f（x）在R上是减函数．； （3）∵f（x）是R上减函数， ∴f（x）在[-3，3]上也是减函数，  ∴f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值分别为f（-3）和f（3），  而f（3）=3f（1）=-12，f（-3）=-f（3）=12， ​ ∴f（x）在[-3，3]上的最大值为12，最小值为-12．  ‎ ‎【解析】‎ ‎1. 解：在A中，{1}⊂{0，1，2}，故A错误； 在B中，∅是{0，1，2}的子集，故B正确； 在C中，{0，1，2}是{0，1，2}的子集，故C正确； 在D中，{0，1，2}={0，1，2}，故D正确． 故选：A． 利用集合与集合间的包含关系直接求解． 本题考查命题真假的判断，考查集合与集合间的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎2. 【分析】 本题考查集合的运算，主要是并集和补集的运算，考查不等式的解法，属于基础题． 运用二次不等式的解法，求得集合Q，求得Q的补集，再由两集合的并集运算，即可得到所求． 【解答】 解：Q={x∈R|x2≥4}={x∈R|x≥2或x≤-2}， 即有CRQ={x∈R|-2＜x＜2}， 则P∪（CRQ）=（-2，3]． 故选B．‎ ‎3. ‎ ‎【分析】 本题考查了集合的化简与运算，同时考查了Venn图表示集合的关系及运算的应用，属于基础题． 化简B={x|x（4-x）＜0}={x|x＜0或x＞4}，而图中阴影部分表示的集合是，从而得出答案． 【解答】 ​解：图中阴影部分表示的集合是，‎ ‎∵B={x|x（4-x）＜0}，即B={x|x＜0或x＞4}， ∴， ∵集合A={1，2，3，4，5}， ∴={1，2，3，4}. 故选A. ‎ ‎4. 【分析】 本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，属于基础题． 分别由1-a=4，a2-a+2=4，求出a的值，再将a值代入验证即可． 【解答】 解：若1-a=4，则a=-3， ∴a2-a+2=14， ∴A={2，4，14}； 若a2-a+2=4，则a=2或a=-1， a=2时，1-a=-1 ∴A={2，-1，4}； a=-1时，1-a=2（舍）， 故选C.‎ ‎5. 【分析】‎ 本题考查集合间的关系，‎ 根据集合的表示可知道集合A中的元素为直线y=x上的所有点，‎ 集合B中的元素为直线上y=x去掉（0，0）的所有点，从而知道A，B的关系.‎ ‎【解答】‎ 解：∵A＝{（x，y）|y＝x}，集合A中的元素为直线y=x上的所有点，‎ 而,集合B中的元素为直线上y=x去掉（0，0）的所有点，‎ 故B是A的真子集，‎ 故选B.‎ ‎6. 【分析】 将集合A、B中的表达式分别提取，再分析得到式子的形式，不难得到B是A的真子集． 本题以两个数集为例，寻找两个集合的包含关系，着重考查了集合的定义与表示和集合包含关系等知识，属于基础题． 【解答】‎ 解：对于B，x=+=（2k+1），因为2k+1是奇数，所以集合A表示的数是的奇数倍； 对于A，x=+=（k+2），因为k+2是整数，所以集合B表示的数是的整数倍． 因此，集合B的元素必定是集合A的元素，集合A的元素不一定是集合B的元素，即BA． 故选B． ‎ ‎7. 本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，注意集合B为空集时也满足条件． 利用B⊆A，求出a的取值，注意要分类讨论． ​【解答】‎ 解：∵B⊆A， ∴①当B是∅时，可知a=0显然成立； ②当B={1}时，可得a=1，符合题意； ③当B={-1}时，可得a=-1，符合题意； ④当B={-1,1}时，a无解； 故满足条件的a的取值集合为{1，-1，0} 故选：D．‎ ‎8. ‎ ‎【分析】 本题考查学生的整体思想和换元意识，考查学生对复合函数的理解能力，做好这类问题的关键可以观察出表达式右端是自变量整体的何种表达式或者利用换元法转化解决，考查学生的运算整理能力． 利用求函数解析式的观察配凑法求解该问题是解决本题的关键，只需将已知的复合函数表达式的右端凑成关于x-2的表达式，再用x替换x-2即得所求的结果． 【解答】‎ 解：由于f（x-2）=x2-4x=（x2-4x+4）-4=（x-2）2-4， 从而f（x）=x2-4． 故选D． ‎ ‎9. 解：对于A，f（x）=x0=1的定义域为{x|x≠0}，g（x）=1 的定义域为1，定义域不同，不是同一函数； 对于B，f（x）=|x|的定义域为R，g（x）==|x|的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于C，f（x）=x的定义域为R，g（x）==x的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数； 对于D，f（x）==x的定义域为R，g（x）==x的定义域为[0，+∞），定义域不同，不是同一函数． 故选：B． 根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数． 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．‎ ‎10. 【分析】 由函数的定义可知定义域中的没有量，在值域中有唯一的一个和它对应，据此一一判断即可 . 【解答】 解：②由图象知，不是从x到y的一一对应，所以不是函数的图象所以②错误， ③中x的取值范围不是[0，2]，不合题意，故③不成立； ①④中，0≤x≤2，0≤y≤2，且对于0≤x≤2中的每一个x，在0≤x≤2中都有唯一的一个y与其对应，所以符合复合函数的定义，所以①④图形能表示从P到Q的函数. 故选C．‎ ‎11. 【分析】 本题考查了集合问题，考查了子集问题，考查分类讨论思想，是一道中档题． 将A的所有的可能情况全部列出，分别求出相对应的B的集合，再相加即可得出答案． 【解答】 解：A={1}时，B的个数是3+3+1=7，‎ A={2}时，B的个数是2+1=3， A={3}时，B的个数是1， A={1，2}时，B的个数是2+1=3， A={1，3}时，B的个数是1， A={2，3}时，B的个数是1， A={1，2，3}时，B的个数是1， ∴U的有序子集对的个数为：17个. 故选：B． ‎ ‎12. 【分析】 本题考查了利用函数的单调性求解不等式的问题，属于基础题. 利用函数的单调性求解不等式即可，注意定义域. 【解答】 解：函数f（x）在（0，+∞）上为增函数， ∴有， 解得：. 不等式f（x）＞f（8x-16）的解集为（2，）． 故选A.‎ ‎13. 解：由A∩B={3}可得3∈B．当a-3=3，可得a=6，此时，集合A={36，7，3}，B={3，11，37}，满足条件． 当2a-1=3，a=2，此时，集合A={4，3，3}，不满足条件集合中元素的互异性． 当a2+1=3，a=，此时，集合A={2，1±，3}，B={±-3，±2-1，3}‎ ‎，满足条件． 综上可得，a=6，或， 故答案为6，或． 由题意可得可得3∈B，分a-3=3、2a-1=3、a2+1=3三种情况，分别求出a的值，并检验，从而求得a的值． 本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．‎ ‎14. 【分析】‎ 本题考查函数定义域与值域，函数的最值，函数图象的应用，二次函数，属于中档题.作函数f（x）=x2+2x的图象，结合已知可得实数m的取值范围.‎ ‎【解答】‎ 解：作函数f（x）=x2+2x的图象，‎ 由题可得f（x）min=f（-1）=-1，f（-4）=f（2）=8，‎ ‎∵的定义域是，值域是[-1,8]，‎ ‎-1≤m≤2.‎ 故答案为[-1，2].‎ ‎15. 解：∵M={x|-2＜x＜2}，N={x|1＜x＜3}， ∴M∪N={x|-2＜x＜3}，M∩N={x|1＜x＜2}‎ ‎； 则M⊗N={x|-2＜x≤1或2≤x＜3}． 故答案为{x|-2＜x≤1或2≤x＜3}． 求出M∪N与M∩N，由新定义求M⊗N． 本题考查了集合的交集，并集运算，同时给出了新的运算，实质是补集运算的变形，同时考查了学生对新知识的接受与应用能力．‎ ‎16. 【分析】‎ 本题考查集合的运算以及包含关系，考查新定义的理解和运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，属于中档题．‎ ‎【解答】‎ 解：集合 B={x|ax2=1，a≥0}，若a=0，则B=∅，即有B⊆A；‎ 若，可得由可得，解得；‎ 若A，B两个集合有公共元素，但互不为对方子集，‎ 可得，解得。‎ 综上可得，a=0或1或4； 故答案为{0,1,4}．‎ ‎17. （1）根据交集和并集的定义计算即可； （2）根据补集和交集的定义计算即可． 本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．‎ ‎18. （1）由x2-1≠0，能求出函数的定义域． （2）函数在（1，+∞）上单调递减，利用定义法能进行证明． 本题考查函数的定义域的求法，考查函数的单调性的判断与证明，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用．‎ ‎19. 本题考查集合的关系与运算，考查学生的计算能力，正确转化是关键． （1）化简集合A，B，即可求A∩B； （2）m＞0，B={x|x2-2x+1-m2≤0}=[1-m，1+m]，利用A⊆B，得出不等式组，即可求m的取值范围．‎ ‎20. （1）当x∈（0，12]时，设f（x）=a（x-10）2+80，把点（12，78）代入能求出解析式；当x∈[12，40]时，设y=kx+b，把点B（12，78）、C（40，50）代入能求出解析式． （2）由（1）的解析式，结合题设条件，列出不等式组，能求出老师就在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳 本题考查解析式的求法，考查不等式组的解法，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．‎ ‎21. （1）由已知可得函数图象的顶点为（1，1），将f（0）=3代入，可得f（x）的解析式； （2）若f（x）在区间[3m，m+2]上不单调，则1∈（3m，m+2），解得实数m的取值范围； （3）结合二次函数的图象和性质，分析各种情况下，函数f（x）在区间[t-1，t]上的最小值g（t），综合讨论结果，可得答案． 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．‎ ‎22. （1）由于f（x）+f（y）=f（x+y），分别令x=y=0，可求得f（0）=0；  （2）任取x1＞x2，利用单调函数的定义法，作差f（x1）-f（x2）后转化，利用x＞0时，f（x）＜0即可证得f（x）在R上是减函数；  （3）利用（2）知，f（x）为R上的减函数，再利用f（1）=-4，即可求得f（x）在[-3，3]上的最大值为与最小值 . 本题考查抽象函数及其应用，考查函数单调性的判定，突出考查赋值法，考查运算能力，属于中档题．‎