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文档介绍
江西省上饶市2020届高三第三次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析
www.ks5u.com 上饶市2020届第三次高考模拟考试 数学(理科)试题卷 一、选择题 1. 已知集合,,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先解不等式,再求交集即可. 【详解】因为, 所以. 所以. 故选:B 【点睛】本题主要考查集合的交集运算,同时考查了不等式的解法,属于简单题. 2. 复数满足(为虚数单位),则复数在复平面内所对应的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数的四则运算法则,可求出,从而可求出在复平面内所对应的点的坐标,从而可得到答案. 【详解】由题意,,则复数在复平面内所对应的点为,在第四象限. 【点睛】本题考查了复数的四则运算,考查了学生对复数知识的理解和掌握,属于基础题. - 28 - 3. 展开式中项的系数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求出的展开式的通项,根据通项得到,即可求出项的系数. 【详解】的展开式的通项为:. 令,解得. 所以展开式中项的系数. 故选:B 【点睛】本题主要考查二项式定理中指定项的系数,熟记二项式定理的通项为解题的关键,属于简单题. 4. 执行如图的程序框图,若输入,则输出的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 - 28 - 【分析】 根据程序框图,逐步进行运算,直到退出循环体,输出即可. 【详解】第一次循环,,,,继续循环,, 第二次循环, ,继续循环, 第三次循环,,继续循环,, 第四次循环,,停止循环,输出. 故选:D 【点睛】本题主要考查根据程序框图求运算结果,考查了学生阅读程序框图的能力,属于简单题. 5. 若,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先将变换为,再利用诱导公式和二倍角公式计算即可. 【详解】. 故选:A 【点睛】本题主要考查三角函数中的角变换,同时考查了三角函数的诱导公式和二倍角公式,属于简单题. 6. 已知等差数列的前项和为,且,则( ) A. B. C. D. - 28 - 【答案】D 【解析】 【分析】 由,利用等差数列的性质可得,再由求和公式可得结果. 【详解】因为, 所以, 可得. 故选:D. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的求和公式,意在考查学生灵活运用数学知识解答问题的能力,属于中档题. 7. 将曲线围成的区域记为Ⅰ,曲线围成的区域记为Ⅱ,在区域Ⅰ中随机取一点,此点取自区域Ⅱ的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 画出曲线与曲线的图像,再根据几何概型的方法求解即可. 【详解】当时,曲线、曲线分别为,. 又、均关于轴,原点对称.故两曲线围成的区域Ⅰ(正方形和四个半圆)、Ⅱ(正方形)如图:可知区域Ⅰ的面积为 - 28 - ;区域Ⅱ的面积为; ∴由几何概率公式得:. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了几何概型的运用,需要根据题意去绝对值画出一象限的图像,再根据对称性补全图像.同时也考查了几何概型中面积型的问题.属于中档题. 8. 在明代珠算发明之前,我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍,算筹有纵式和横式两种,如图是利用算筹表示的数字,表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,例如,可以用根小木棍表示“”,则用根小木棍(要求用完根)能表示不含“”且没有重复数字的三位数的个数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根小木棍可能组成数字、、,、、,、、,、、,分别对其进行全排列即可得出结果. 【详解】数字、、组成个,数字、、组成个,数字、、组成个,数字、、组成个,共个符合要求的三位数. 故选:C. - 28 - 【点睛】本题考查两个基本的计数原理中数字排列的实际应用,考查学生分析问题的能力,属于中档题. 9. 已知函数,则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先判断函数的奇偶性,再判断函数的单调性,结合解绝对值不等式的公式法进行求解即可. 【详解】∵ 为偶函数. 由函数的单调性的性质可知: 当时,为单调递减函数. 由, 根据偶函数的性质由,可得, 所以有.∴,且, 解得不等式的解集为. 故选:C 【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性求解不等式解集问题,考查了解绝对值不等式,考查了数学运算能力. 10. 半径为2的球内有一个内接正三棱柱,则正三棱柱的侧面积的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设正三棱柱上下底面的中心分别为,底面边长与高分别为,利用 - 28 - ,可得,进一步得到侧面积,再利用基本不等式求最值即可. 【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为,底面边长与高分别为,则, 在中,,化为, , , 当且仅当时取等号,此时. 故选:B. 【点睛】本题考查正三棱柱与球的切接问题,涉及到基本不等式求最值,考查学生的计算能力,是一道中档题. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为,过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点,若,则双曲线的离心率为( ) - 28 - A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 取中点,连结,因为,所以可得,设,根据双曲线的定义求出,再由勾股定理得出,得出,再由直线的斜率为,即可求出离心率. 【详解】如图,因为,则取中点,连结,可得,设,因为,则,又因为,则,,则,则, 在中有,在中有, 所以,解得,因为直线的斜率为, 所以,所以,, 所以离心率. - 28 - 故选:D 【点睛】本题主要考查双曲线的性质即离心率的求法,解题的关键是找出双曲线中间的关系. 12. 已知函数和函数,关于这两个函数图像的交点个数,下列四个结论:①当时,两个函数图像没有交点;②当时,两个函数图像恰有三个交点;③当时,两个函数图像恰有两个交点;④当时,两个函数图像恰有四个交点.正确结论的个数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由两个函数图像交点个数,转化为的解的个数,进而转化为的解的个数,令,利用导数求得函数单调性与最值,结合函数的性质,即可求解. 【详解】由题意,两个函数和函数图像交点个数, - 28 - 即为方程的解的个数,即方程的解的个数, 令, ①当时,函数,则, 所以在上为增函数,值域为; ②当时,,, 由,得. 当时,,为增函数; 当时,,为减函数; 当时,, 所以函数在上有最大值为, 令,方程,化为, 当时,方程无解,原方程无解,两个函数图像无交点; 当时,方程有唯一解,,原方程有唯一解, 两个函数图像恰有一个交点; 当时,方程有两解,,原 方程有两解,两个函数图像恰有两个交点; 当时,方程有两解,,原方程有三解,两个函数图像恰有三个交点; 当时,方程有两解,,原方程有四解,两个函数图像恰有四个交点. - 28 - 故选D. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用,以及利用导数研究函数零点问题,其中解答中把函数图象的交点个数,转化为方程的根的个数,分离参数,转化为函数的单调性与最值是解答的关键,着重考查了转化思想,以及推理与运算能力. 二、填空题 13. 对于正在培育的一颗种子,它可能天后发芽,也可能天后发芽,,如表是颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表,则这组种子发芽前所需培育的天数的众数是________.中位数是________. 发芽前所需培育天数 1 2 3 4 5 6 7 ≥8 种子数 4 3 3 5 2 2 1 0 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 先将颗种子发芽天数从小到大排列,再结合众数、中位数的概念求解即可. 【详解】解:由图中数据可知,该颗种子发芽天数从小到大排列为: 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、; 则众数是,中位数为. 故答案为:,. 【点睛】本题考查了众数、中位数的概念,重点考查了对数据的处理能力,属基础题. - 28 - 14. 若实数x,y满足条件,则的最大值为______. 【答案】13 【解析】 【分析】 画出约束条件对应的可行域,再求出对应的交点的坐标,分别代入目标函数,比较目标函数值即可得到其最优解. 【详解】实数,满足条件,对应的可行域如下图所示: 由,解得,时,目标函数经过时,目标函数取得最大值,即. ∴的最大值为13. 故答案为:13. 【点睛】本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 15. 在扇形中,,为弧上的一个动点.若,则的取值范围是________. 【答案】 - 28 - 【解析】 【分析】 不妨设,以为原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,令,则, 则,再结合三角函数值域的求法求解即可. 【详解】解:由题意可知,在扇形中,,为弧上的一个动点. 不妨设,以为原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系, 令,则,,,, 又, 则,则, 则, 又, 则, 则, 即, 故答案为:. 【点睛】本题考查了三角恒等变换的辅助角的应用,重点考查了三角函数值域的求法,属中档题. 16. 正方形的两个顶点在直线上,另两个顶点分别在直线,上,那么正方形的边长为________. 【答案】或 【解析】 【分析】 - 28 - 先设直线的方程为,再求出的坐标,然后结合两点的距离公式及两平行线的距离公式求解即可. 【详解】解:设直线的方程为, 联立,得, 联立,得, ∴由两点的距离公式可得, 又直线与的距离为, ∴, 解得或, 即或. 即正方形的边长为或, 故答案为:或. 【点睛】本题考查了两点的距离公式及两平行线的距离公式,重点考查了直线交点坐标的求法,属中等题. 三、解答题 17. 已知的内角的对边分别为,且满足,为锐角. (1)求角的大小; (2)若,点为边上的动点(不与点重合),设,求 - 28 - 的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】 【分析】 (1)由二倍角的正弦公式及辅助角公式可得,再求即可; (2)在中,由正弦定理可得,则有,然后结合三角函数的值域的求法求解即可. 【详解】解:(1)∵, ∴ ∴ ∴ ∵为锐角,则 ∴, ∴, (2)由,可知, ∵在中,, ∴, ∵, ∴, ∴. 故的取值范围为. - 28 - 【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式及辅助角公式,重点考查了正弦定理的应用及三角函数值域的求法,属中档题. 18. 如图,在四棱锥中,底面,,,,,点是棱的中点. (1)求证:平面; (2)求二面角的大小. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】 【分析】 (1)取的中点,连接、,证明四边形为平行四边形,即可证明平面. (2)以为坐标原点,,,所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面的一个法向量,取平面的一个法向量为,结合空间向量数量积运算即可得解. 【详解】证明:(1)如图,取的中点,连接、. ∵是的中点,∴,, 又,,所以,, ∴四边形为平行四边形, - 28 - ∴, 又平面,平面, ∴平面. (2)在平面内过点作的垂线,由题意知,,两两垂直,以 为坐标原点,,,所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空 间直角坐标系,由题意知,,, 可得,,,∴,, 设平面的法向量为, 则由,即,令,则,, ∴为平面的一个法向量. ∵底面,∴可取平面的一个法向量为, ∴, ∵二面角为锐二面角, ∴二面角的大小为. - 28 - 【点睛】本题考查了线面平行的判定定理,重点考查了空间向量数量积的运算,属中档题. 19. 为了释放学生压力,某校高三年级一班进行了一个投篮游戏,其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮).在相同的条件下,每轮甲乙两人站在同一位置上,甲先投,每人投一次篮,两人有人命中,命中者得分,未命中者得分;两人都命中或都未命中,两人均得分.设甲每次投篮命中的概率为,乙每次投篮命中的概率为,且各次投篮互不影响. (1)经过轮投篮,记甲得分为,求的分布列及期望; (2)若经过轮投篮,用表示第轮投篮后,甲的累计得分低于乙的累计得分的概率. ①求; ②规定,经过计算机模拟计算可得,请根据①中值求出的值,并由此求出数列的通项公式. 【答案】(1)见解析,(2)①,,②, 【解析】 【分析】 (1)先阅读题意,可得的可能取值为,然后求出对应的概率,然后求出的分布列及期望即可; - 28 - (2)结合题意求出,然后求出的值,再利用累加法求数列的通项公式即可. 【详解】解:(1)的可能取值为, 则; ; . ∴的分布列为: -1 0 1 期望. 即经过轮投篮,甲得分的期望为分. (2)①由(1)知, 经过两轮投球,甲的累计得分低的有两种情况: 一是甲两轮都得分为;二是两轮中甲一轮得分,另一轮得分,则. 经过三轮投球,甲累计得分低有四种情况:;;;, 则; ②将的值分别代入得, 得,. - 28 - ∴,即, 又,所以是首项、公比都是的等比数列. ∴, ∴, ∴数列的通项公式为. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列及期望,重点考查了累加法求数列的前项和及数列的通项公式,属中档题. 20. 已知抛物线的焦点为,抛物线上的点到准线的最小距离为. (1)求抛物线的方程; (2)若过点作互相垂直的两条直线、,与抛物线交于两点,与抛物线交于两点,分别为弦的中点,求的最小值. 【答案】(1)(2)8 【解析】 【分析】 (1)由抛物线上到准线的距离最小的点是顶点可求得,得抛物线方程; (2)首先题意说明两直线斜率都存在且均不为,设直线的斜率为 - 28 - ,则直线的斜率为,设点,,由直线方程与抛物线方程联立,消元后应用韦达定理求得中点的坐标,求出,同理可得,计算后应用基本不等式可得最小值. 【详解】(1)∵抛物线上的点到准线的最小距离为,∴,解得, ∴抛物线的方程为:; (2)由(1)可知焦点为, 由已知可得,∴两直线的斜率都存在且均不为, 设直线的斜率为,则直线的斜率为, ∴直线的方程为, 联立方程,消去得:, 设点,,则, ∵为弦的中点,所以, 由,得, ∴点, 同理可得:, ∴,, ∴, 当且仅当,即,等号成立, ∴的最小值为. - 28 - 【点睛】本题考查求抛物线的方程,考查直线与抛物线相交中的最值,解题时可设交点坐标,设出直线方程,与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理,求得中点坐标,得线段长,这是圆锥曲线中的“设而不求”思想的应用. 21. 已知函数. (1)讨论函数的单调区间情况; (2)若函数有且只有两个零点,证明:. 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)求出导函数,根据的正负确定函数的单调区间,可按的正、负、零分类讨论; (2)由(1)需分和讨论,时,在上有且只有一个零点;因此在上最大值为0,即最大值点为零点,由此可得零点及,从而可确定另一零点的范围证得结论,时类似讨论可得. 【详解】(1)的定义域为,, 当时,时,,在上递减,时,,在上递增; 当时,在上,,在上,,在上递减,在和上分别递增; 当时,在上,,在上,,在和上分别递减,在上递增. (2)由(1)可知,当时,在上递减,在和上分别递增, - 28 - 在上,当时,,当时,,在上有且只有一个零点; 在上,当时,,当时,,为使有且只有两个零点,则在上有且只有一个零点,则需在的最大值,可得,零点; 而当时,,,, ∵, ∴,,,, ∴另一个零点满足:, ∴, 由(1)可知,当时,在和上分别递减,在上递增, 在上,当时,,当时,,在上有且只有一个零点; 在上,当时,,当时,,为使有且只有两个零点,则在上有且只有一个零点,则需在的最大值,可得,零点; 而当时,,,,由上面证明可知,, - 28 - ∴另一个零点满足:, ∴, 综上可知,. 【点睛】本题考查导数与单调性的关系,考查用导数研究函数的零点.解题时要注意零点存在定理的应用,在某个区间上函数是单调的,则在此区间上函数至多有一个零点.本题还考查了学生的转化与化归思想,运算求解能力,属于难题. 22. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线上各点纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),得到曲线.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为. (1)写出曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程; (2)曲线上是否存在不同的两点,(以上两点坐标均为极坐标,,,,),使点、到的距离都为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1),;(2)存在, 【解析】 【分析】 (1)首先根据题意求出曲线的参数方程为(为参数),从而得到直角坐标方程,再转化为极坐标方程即可.根据,,将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程即可. (2)首先计算曲线的圆心到直线的距离,结合图象得到存在这样的点,再利用极坐标计算的值即可. 【详解】(1)由曲线的参数方程为(为参数), - 28 - 将曲线上各点纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变), 得到曲线的参数方程为(为参数), 得到曲线的直角坐标方程为,其极坐标方程为, 又直线的极坐标方程为, 故其直角坐标方程为. (2)曲线是以为圆心,为半径的圆, 圆心到直线的距离, 所以存在这样的点,,且点到直线的距离为, 如图所示: 因为,所以, 即:. 又因为,,, 所以. 【点睛】本题第一问考查圆的极坐标方程和参数方程,同时考查了直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化,第二问考查直线与圆的位置关系,属于中档题. 23. 设函数. - 28 - (1)若,求实数的取值范围. (2)证明:对于任意的,成立. 【答案】(1)或;(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)首先根据题意得到,再分类讨论解不等式即可. (2)首先将题意转化为证明,再利用绝对值三角不等式和均值不等式证明即可. 【详解】(1)∵, ∴,可化为:, , , 综上所述:或. (2)要证恒成立, 即证恒成立, 也就是证明恒成立. ∵的最大值为, - 28 - 即证. ∴ . ∴原结论成立. 【点睛】本题第一问考查绝对值不等式的解法,第二问考查绝对值三角不等式和均值不等式,属于中档题. - 28 - - 28 -查看更多