2018-2019学年江西省上饶市横峰中学高二下学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年江西省上饶市横峰中学高二下学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省上饶市横峰中学高二下学期第三次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】复数的共轭复数为，共轭复数在复平面内对应的点为.‎ ‎【详解】‎ 复数的共轭复数为，‎ 对应的点为，在第一象限.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查共轭复数的概念，复数的几何意义.‎ ‎2．下列求导运算正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】A，，故错误；‎ B，，正确；‎ C，，故错误；‎ D，，故错误.‎ 故选B.‎ 点睛：常用求导公式：.‎ ‎3．直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】直线与曲线的交点坐标为和，‎ 故直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积．故选．‎ ‎4．设函数在处存在导数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用在某点处的导数的定义来求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查在某点处导数的定义，一般是通过构造定义形式来解决，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.‎ ‎5．设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（ ）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若、皆是实数，则一定不是虚数，因此当是虚数时，则“、中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当、中至少有一个数是虚数，不一定是虚数，如，即充分性不成立，选B.‎ ‎【考点】复数概念，充要关系 ‎6．若有极大值和极小值，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】三次函数有极大值和极小值，则有两个不等的实数根，答案易求.‎ ‎【详解】‎ ‎，则.‎ 因为有极大值和极小值，所以有两个不等的实数根.‎ 所以，即，解得或.‎ 所以所求的取值范围是.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的极值与导数.三次多项式函数有极大值和极小值的充要条件是其导函数(二次函数)有两个不等的实数根.‎ ‎7．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是(　　)‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1，0)，双曲线x2－＝1的渐近线为x±y＝0，‎ 故点F到x±y＝0的距离d＝选B ‎8．如图是函数的导函数的图象,则下面判断正确的是（ ）‎ A．在区间上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．当时,取极大值 ‎【答案】C ‎【解析】根据原函数与导函数的关系，由导函数的图象可知的单调性如下：在上为减函数，在（0,2）上为增函数，在（2,4）上为减函数，在（4,5）上为增函数，在的左侧为负，右侧为正，故在处取极小值，结合选项，只有选项C正确。‎ ‎9．命题“且的否定形式是（ ）‎ A．且 B．或 C．且 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.‎ ‎【考点】命题的否定 ‎10．在中，若，，，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若、、两两互相垂直，，，，则四面体的外接球半径（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】四面体中，三条棱、、两两互相垂直，则可以把该四面体补成长方体，长方体的外接球就是四面体的外接球，则半径易求.‎ ‎【详解】‎ 四面体中，三条棱、、两两互相垂直，‎ 则可以把该四面体补成长方体，，，是一个顶点处的三条棱长.‎ 所以外接球的直径就是长方体的体对角线，则半径.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间几何体的结构，多面体的外接球问题，合情推理.由平面类比到立体，结论不易直接得出时，需要从推理方法上进行类比，用平面类似的方法在空间中进行推理论证，才能避免直接类比得到错误结论.‎ ‎11．已知函数，则不等式的解集是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先判断函数的奇偶性，将不等式化为，‎ 再由函数的单调得到，求解即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数，‎ 所以，因此函数为奇函数，‎ 所以化为，‎ 又在上恒成立，因此函数恒为增函数，‎ 所以，即，解得.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数奇偶性的应用、以及单调性的应用，熟记函数奇偶性的概念以及利用导数研究函数的单调性的方法即可，属于常考题型.‎ ‎12．设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，结合，可得的关系式，再由可求离心率.‎ ‎【详解】‎ 由双曲线的定义得.‎ 由，‎ 结合已知条件可得，‎ 则，所以.‎ 所以双曲线的离心率.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义和离心率的求解.在椭圆和双曲线的问题中，经常应用(为曲线上的点到两焦点的距离)进行变换，有时还可以与根与系数的关系、余弦定理等结合.由于关系式(双曲线)和(椭圆)的存在，求离心率时，往往只需求得中任意两个字母之间的关系即可.‎ 二、填空题 ‎13．已知，，，，则__________（其中）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：第一个式子左边1个数的平方，右边从1开始，连续的2个整数相乘，再乘；第二个式子左边2个数的平方，右边从2开始，连续的2个整数相乘，再乘；第个式子左边个数的平方和，右边从开始，连续的2个数相乘，在乘，即为．‎ ‎【考点】归纳推理的应用．‎ ‎14．若函数,则的值为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】先求，把代入可得.‎ ‎【详解】‎ ‎，，，，故填3.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的运算，明确是一个常数是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎15．________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因，而，，应填答案。‎ ‎16．已知为坐标原点,是椭圆的左焦点,,,分别为椭圆的左,右顶点和上顶点,为上一点,且轴,过点,的直线与直线交于点,若直线与线段交于点,且,则椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用相似三角形的比例关系可得离心率.‎ ‎【详解】‎ 如图，因为轴，,所以，即；‎ 同理,所以,因为，所以有；‎ 联立可得，故离心率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的离心率的求解，主要是构建的关系式，侧重考查数学运算的核心素养.‎ 三、解答题 ‎17．已知：关于的不等式对一切恒成立；：函数在上是减函数.若“或”为真,“且”为假,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出为真时的范围，然后结合“或”为真,“且”为假，确定一真一假，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 解：设 因为关于的不等式对一切恒成立，‎ 所以函数的图像开口向上且与轴没有交点，‎ 故，‎ 所以，所以命题为真时.‎ 函数是减函数，‎ 则有，即.所以命题为真时 .‎ 又由于或为真，且为假，可知和为一真一假.‎ ‎①若真假，则此不等式组无解.‎ ‎②若假真，则，所以.‎ 综上可知，所求实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用复合命题的真假来求解参数的范围.侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.‎ ‎18．如图，在△ABC中，∠ABC=，∠BAC，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC．‎ ‎（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；‎ ‎（2）设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）在（1）的基础上确定出三线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解．‎ ‎（1）∵折起前AD是BC边上的高，‎ ‎∴当△ABD折起后， AD⊥DC，AD⊥DB，‎ 又，∴AD⊥平面BDC，‎ ‎∵AD平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC．‎ ‎（2）由∠BDC及（1）知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|=1，以D为坐标原点，以， ， 所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得：‎ D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0, ),E(,,0)，‎ 所以， ，‎ ‎∴‎ 所以与夹角的余弦值是．‎ ‎19．已知函数．‎ ‎（1）求函数的图象在处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1)由导数的几何意义求切线方程.‎ ‎(2)利用导数判断函数的单调性，进而得到最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 所以函数的图象在处的切线斜率.‎ 又，切点坐标为，‎ 所以函数的图象在处的切线方程为，即.‎ ‎（2）函数的定义域为，‎ 令，得.‎ 当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增.‎ 所以函数的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求切线方程，利用导数求最值.函数的图象在处的切线方程为.求连续可导函数 的最值时，先求导数，解方程，再讨论函数的单调性得出最值.‎ ‎20．已知椭圆的左、右焦点分别为,且，是椭圆上一点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程和离心率的值；‎ ‎（2）若为椭圆上异于顶点的任一点，、分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线与轴交于点,直线与轴交于点，求证：为定值．‎ ‎【答案】（1）椭圆的标准方程为，离心率；（2）证明见详解.‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎（1），，故.‎ ‎∵点在椭圆上，∴.‎ 解得(舍去)或 ‎∴椭圆的标准方程为，离心率为.‎ ‎（2）证明：由（1）知，，‎ 设椭圆上任一点（且），则.‎ 直线，令，得，‎ ‎.‎ 直线，令，得，‎ ‎.‎ ‎∴‎ ‎.‎ 由可得，代入上式得，‎ 故为定值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的综合问题，求椭圆的标准方程和离心率，椭圆中的定值问题.解决椭圆中的定值问题时，一般先设出变量，然后表示出目标量，逐步化简消去变量证明定值(或者令变量的系数为求出定值的条件).‎ ‎21．已知函数,，其中且，为自然对数的底数.‎ ‎（1）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（2）是否存在，对任意的，任意的，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，，，无极小值;‎ 当时，函数的单调递减区间是，，单调递增区间是，，无极大值.‎ ‎（2）存在满足题意.‎ ‎【解析】(1)求出导数，分和讨论函数的单调区间和极值.‎ ‎(2)由题意可得，利用导数求出和，解关于的不等式即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）（且）.‎ 当时，由可得且；由可得,‎ 函数的单调递减区间是，单调递增区间是，，‎ ‎，无极小值.‎ 当时，由可得；由可得且,‎ 函数的单调递减区间是，，单调递增区间是，‎ ‎，无极大值.‎ 综上，当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，，，无极小值;‎ 当时，函数的单调递减区间是，，单调递增区间是，，无极大值.‎ ‎（2）由题意，只需.‎ 由（1）知当，时，‎ 函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 故.‎ ‎，.‎ 当，时，‎ 由可得；由可得.‎ 函数在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎.‎ 故，不等式两边同乘以，得，‎ 故.‎ ‎，.‎ 存在满足题意.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的综合运用问题，考查分类讨论、化归与转化的数学思想.对于含有参数的函数，若参数的不同取值对导函数的符号有影响，则需要对参数进行分类讨论.涉及任意性、存在性(或恒成立、能成立)的问题，一般可以转化为函数最值之间的关系，再利用导数求解.‎ ‎22．在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数，)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）当与有两个公共点时，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1)在极坐标方程中，把展开凑出，即可化得直角坐标方程.‎ ‎(2)把的参数方程化成普通方程，可得是半圆，是直线，由有两个公共点可求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）对于曲线的极坐标方程，‎ 可得，即，‎ 曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）曲线的参数方程为(为参数，)，‎ 化为普通方程得，为下半圆.‎ 如图，当直线与曲线相切时，由，‎ 解得或（舍去）.‎ 当直线过点时，.‎ 综上所述，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标与参数方程的综合问题，考查极坐标与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系.在极坐标方程中凑出， 即可化得直角坐标方程.‎ ‎23．设函数.‎ ‎（1）当时,求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）把代入，利用分类讨论法去掉绝对值求解；‎ ‎（2）先求的最小值，然后利用这个最小值不小于2可得实数的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当时，不等式化为 ‎ 当时，不等式为，即，有； ‎ 当时，不等式为，即，有；‎ 当时，不等式为，即，有；‎ 综上所述，当时，求不等式的解集为.‎ ‎（2），即.‎ 当时，不恒成立；‎ 当时，，‎ 有，即.‎ 当时， ‎ 有，即.‎ 综上所述，的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，绝对值不等式的解法一般是利用分类讨论来解决.‎