安徽省合肥市2021届高三上学期调研性检测数学（理）试题答案

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2021 年高三调研性检测理科试题参考答案 第 1 页 共 4 页 合肥市 2021 届高三调研性检测数学试题(理科) 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.假 14. 0x  或4330xy 15.＞ 16.18 三、解答题： 17.(本小题满分 10 分) 解:(1)由 1 3a  ， 2 1a  得 1 3S  ， 2 4S   ， 1 31 S   ， 2 22 S   . ∵数列 nS n  为等差数列， 3114nS nnn       ，∴  4nSnn  . 当 2n  时， 1 25nnnaSS n . 当 1n  时， 25nan也成立. ∴ 25nan. ……………………………………5 分 (2)∵ 1 11111 2523 225232nnaa n n n n  ，∴ 11 1 2323nT n  . ∴ 1 11 1 1 22 3 2 1 2 32 1nnTT nn nn     ， ∴当 1n  时， 1nnTT  ，即 21TT ； 当 2n  时， 1nnTT  ，即 2nTT ； ∴ nN ， 2 2 3nTT， ∵ Nn  ，都有 nTm 成立，∴ 2 3m   . …………………………………10 分 18.(本小题满分 12 分) 解:(1)设中位数估计值为 x ，根据频率分布直方图得，  0.28 700.05 0.1 0.22 0.510 x   ， 解得 974 7514x . ∴高一年级传染病防控知识测试得分中位数的估计值为 75.…………………………6 分 (2)根据频率分布直方图得，得分在区间[80，90)和[90，100]的频率分别为 0.25，0.1，其比例为 5:2， ∴所选的 7 人中，得分在[80，90)的有 5 人，得分在[90，100]的有 2 人. ∴从 7 人中随机选 3 人，至少有一人得分在区间[90，100]上的概率为 3 5 3 7 51 7 C C  . ……………………………12 分 19.(本小题满分 12 分) 解: (1)∵ 3b  ，sin sin 2 3Aa B， sin sinaBbA ，∴ sin 3sin 2 3AA，∴ 3sin 2A  . 当 7a  时，由 37ba 得 0 2A  ， .又∵ 3sin 2A  ，∴ 3A  . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A D D B A C D C C A D 2021 年高三调研性检测理科试题参考答案 第 2 页 共 4 页 D O P B C A y x z O D A C B P 由余弦定理得， 2222cosabc bcA ，∴ 279 3cc ，解得 1c  或 2c  . 当 1c  时， ABC 的面积 133sin24ABCSbcA ； 当 2c  时， ABC 的面积 133sin22ABCSbcA . …………………………………6 分 (2)∵ ABC 为锐角三角形， 3sin 2A  ，∴ 3A  ，∴ 2 3CB  . 依题意得 0 2 20 32 B B        ，∴ 62B . ∴ 23sin sin sin sin sin sin 3 sin 33362BC B B B B B             ， . …………………………………12 分 20.(本小题满分 12 分) 解: (1)证明:过点 B 作BO AC 于O . ∵平面 PAC  平面 ABC ，平面 PAC  平面 =ABC AC ，BO  平面 ABC ， ∴BO  平面 PAC ，∴ BO PA . 又∵ BC ⊥平面 PAB ，PA  平面 PAB ，∴ BC PA . 又∵ BC BO B ，BC BO ， 平面 ABC ， ∴PA  平面 ABC . ……………………5 分 (2)∵ ABBC ，BO AC ，∴ O 为BC 中点. 又∵ D 为PC 的中点，∴ DO ∥PA . 由(1)知， PA  平面 ABC ，∴ DO  平面 ABC ， ∴DO BO ，DO AO ， ∴以 O 为原点，以 OA OB OD ，， 所在方向为 x yz，， 轴正方向，建立空 间直角坐标系，如图. 设 2AB BC，则 24AC PA， ，则  0 0 0O ，， ，  1 0 0A ，， ， 1 0 0C  ，， ， 0 1 0B ，， ， 1 0 4P ，， ，  0 0 2D ，， . 设平面 ABD 的法向量为 1111nxyz  ，， ， ∴ 1nAB  ， 1nAD   ， 1 0nAB  ， 1 0nAD   ，  1 1 0AB   ，， ， 1 0 2AD   ，， ，∴ 11 11 0 20 xy xz     . 令 1 1z  得 1 2x  ， 1 2y  ，∴ 1 2 2 1n   ，， . 设平面 BCD 的法向量为 2222nxyz  ，， ， ∴ 2nCB  ， 2nDB ， 2 0nCB  ， 2 0nDB    ，  1 1 0CB   ，， ，  0 1 2DB    ，， ， ∴ 22 22 0 20 xy yz    .令 2 1z  得 2 2x  ， 2 2y  ，∴  2 2 2 1n   ，， ， ∴ 12 12 12 1cos 9 nnnn nn   ， . ∵二面角 A BD C的平面角 是钝角，∴ 1cos 9   . ……………………12 分 21.(本小题满分 12 分) 解: (1)设 1F ( 1 0 ， )， 2F (1，0)，依题意  2222114xyxy  ， ∴ 214EF EF，且 1242FF 2021 年高三调研性检测理科试题参考答案 第 3 页 共 4 页 ∴点 E 的轨迹是以 1F ( 1 0 ， )， 2F (1，0)为焦点，长轴长为 4 的椭圆. 设椭圆的方程为 22 221xy ab  ( 0ab)，记 22cab  ，则 24a  ， 1c  ， ∴ 2a  ， 1c  ，∴ 22 3bac， ∴曲线C 的标准方程为 22 143 xy. ……………………5 分 (2)当直线l 为 0x  时，不合题意. 当直线l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 1ykx  ， 11()A xy， ， 22()Bx y， . 联立 22 143 1 xy ykx     ，消去 y 得2243 880kxkx. 则 22=64 32 4 3 0kk ， 12 2 8 43 kxx k  ， 12 2 8 43xx k   . ∵ 12 1 2 12 1 2 33 5 5 22 2 200 011 1 1PA PB yy kxkx PM PN k k xx x x         12 1 2 52()502kx x k x x 2516 8 5(4 3) 02kkk k      241250kk， ∴ 1 2k  或 5 2k  . 当 5 2k  时，经检验点 P 与点 A 或点 B 重合，不符合题意，故舍去. 当 1 2k  时，经检验符合题意，此时直线l 的方程为 1 12yx  . 综上所述，直线 l 的方程为 1 12yx. ……………………12 分 22.(本小题满分 12 分) 解: (1)∵  2lnf xxaxx，∴  212121 ax xfx axxx     . ①若 0a  ，则  2210ax xfx x  在 0 +， 上恒成立， ∴当 0a  时， f x 在0 +， 上单调递增. ②若 0a  ，令 2() 2 1hx ax x . ∵ 0a  ， 18 0a   ，∴ 2210ax x有两个不相等的实数根，且两根一正一负. 设 0 118 4 ax a  . 当 1180 4 ax a  ， 时，  2210hx ax x    ， 当 118 4 ax a  ， 时，  2210hx ax x    ， ∴当 1180 4 ax a  ， 时，  2210ax xfx x    ， 2021 年高三调研性检测理科试题参考答案 第 4 页 共 4 页 当 118 4 ax a  ， 时，  2210ax xfx x    ， ∴当 0a  时，函数 f x 在 1180 4 a a  ， 上单调递增；在 118 4 a a    ， 上单调递减. 综合①②得： 当 0a  时，  f x 在 0 +， 上单调递增； 当 0a  时，函数  f x 在 1180 4 a a  ， 上单调递增；在 118 4 a a    ， 上单调递减. ……………………6 分 (2)由(1)知，当 0a  时，函数  f x 在 0 +， 上无极值； 当 0a  时，函数  f x 在 0 +， 上仅有极大值     2 0000lnf xfxxaxx 极大 ， 其中 2 00210ax x，即 0 2 0 1 2 xa x  ， ∴  00 000 1 1ln ln222 xxfx x x x 极大 ，  0 0 x  ， . 设 1() ln 22 xgx x，  0 +x， . ∵  1ln 22 xgx x在 0 +， 上单调递增，且  10g  ， ∴当且仅当 0 1x  时，  0fx 极大 ， 此时，  2 0 2 000 1 11 1 0 122 xa xxx    ， ， ∴当   0fx 极大 时，实数 a 的取值范围是(0，1). ……………………12 分