2018-2019学年甘肃省武威第五中学高一5月月考数学试题（解析版）

2018-2019学年甘肃省武威第五中学高一5月月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年甘肃省武威第五中学高一5月月考数学试题 一、单选题 ‎1．抽查 件产品，设事件 为至少有 件次品，则 的对立事件为 ‎ A．至多有 件次品 B．至多有 件次品 C．至多有 件正品 D．至少有 件正品 ‎【答案】B ‎【解析】∵至少有n个的否定是至多有n﹣1个 又∵事件A：“至少有两件次品”，‎ ‎∴事件A的对立事件为：‎ 至多有一件次品．‎ 故选B ‎2．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出基本事件空间，找到符合条件的基本事件，可求概率.‎ ‎【详解】‎ 同时掷两枚骰子,所有可能出现的结果有：‎ ‎ ‎ 共有36种，点数之和为5的基本事件有：共4种；‎ 所以所求概率为.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概率的求解，侧重考查数学建模的核心素养.‎ ‎3．袋中有3个白球和2个黑球,从中任意摸出2个球,则至少摸出1个黑球的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 求出基本事件空间，找到符合条件的基本事件，至少摸出1个黑球包括1黑球1白球和2个黑球两种情况，可求概率.‎ ‎【详解】‎ 因为袋中有3个白球和2个黑球,所以任意摸出2个球的所有情况有：白1黑1，白1黑2，白2黑1，白2黑2，白3黑1，白3黑2，白1白2，白1白3，白2白3，黑1黑2；共10种；至少摸出1个黑球的基本事件包含：白1黑1，白1黑2，白2黑1，白2黑2，白3黑1，白3黑2，黑1黑2；共7种，所以所求概率为.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概率的求解，把所求事件的包含情况考虑周全是求解关键，侧重考查数学建模的核心素养.‎ ‎4．某单位计划在下月1日至7日举办人才交流会，某人随机选择其中的连续两天参加交流会，那么他在1日至3日期间连续两天参加交流会的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出基本事件空间，找到符合条件的基本事件，可求概率.‎ ‎【详解】‎ ‎1日至7日连续两天参加交流会共有6种情况，1日至3日期间连续两天参加交流会共有2种情况，所求概率为.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概率的求解，侧重考查数学建模的核心素养.‎ ‎5．一袋中装有大小相同，编号分别为的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查计数方法和概率的计数及分析问题,解决问题的能力.‎ 一袋中装有大小相同，编号分别为的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，所有的可能情况共有64种；取得两个球的编号和不小于15的情况有（8,8），（8,7）（7,8）共3种；则取得两个球的编号和不小于15的概率为故选D ‎6．若，则 ( )‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据可得的关系，结合可得.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，所以，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的同角关系，利用弦函数的关系可得切函数的值，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎7．若sinθ0>sinθ，则θ为第四象限角，故选D.‎ ‎8．在上满足 的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：在[0，2π]上满足sinx≥，由三角函数线可知，满足sinx≥的解，在图中阴影部分，故选B。‎ ‎【考点】本题主要考查三角函数的图象和性质。‎ 点评：利用单位圆三角函数线，或三角函数曲线，都可以解答本题，由于是特殊角的三角函数值，也可以直接求解。‎ ‎9．函数为增函数的区间是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出函数的单调增区间，再结合各选项判定后可得结果．‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 得，‎ ‎∴函数的单调递增区间为，‎ 令k=0，则得函数的单调递增区间为，‎ 故所求的单调递增区间为．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 求函数的单调区间时，可把看作一个整体，然后代入正弦函数的增区间或减区间求出的范围即为所求，解题时要注意的符号求所求区间的影响，这也是在解题中常出现的错误．‎ ‎10．函数的一个对称中心是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于正切函数的对称中心是，故函数的一个对称中心是，当时，正好是答案C，应选答案C。‎ ‎11．函数是上的偶函数，则的值是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数是上的偶函数，可得，结合的范围可得.‎ ‎【详解】‎ 因为函数是上的偶函数，所以，所以，又因为，所以，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的奇偶性应用，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.‎ ‎12．要得到的图象，只需将的图象 ( )‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】先明确变换前后的解析式，然后按照平移规则可求.‎ ‎【详解】‎ 将的图象向左平移个单位后，得到的图象，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数图象的变换，注意x的系数对平移单位的影响.‎ 二、填空题 ‎13．甲、乙两射手在同样条件下击中目标的概率分别为0.6与 0.7，则至少有一人击中目标的概率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】至少有一人击中目标的对立事件是两人都没有击中目标,从而可得.‎ ‎【详解】‎ 至少有一人击中目标的对立事件是两人都没有击中目标，所以所求事件的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查相互独立事件的概率，事件较为复杂时，考虑其对立事件会较为简单.‎ ‎14．已知点是边长为4的正方形内任一点，则到四个顶点的距离均大于2的概率是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求到四个顶点的距离均大于2的区域面积，然后可得概率.‎ ‎【详解】‎ 因为到四个顶点的距离均大于2，所以的活动区域为下图中空白区域，‎ 由于正方形边长为4，所以所求概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何概型的求解，明确所求事件的几何度量是求解关键，侧重考查数学建模的核心素养.‎ ‎15．函数的递增区间是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用换元法，结合正切函数的单调性可求.‎ ‎【详解】‎ 令，因为的增区间为，‎ 所以，即，解之得，故所求增区间为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正切型函数单调区间的求解，一般是利用换元法，侧重考查数学抽象的核心素养.‎ ‎16．有下列说法：①函数的最小正周期是；②终边在轴上的角的集合是；③在同一直角坐标系中，函数的图象和函数 的图象有三个公共点；④把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象；⑤函数在上是减函数．其中，正确的说法是________．(填序号)‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】由题意，对于①中，根据三角函数的最小正周期的公式，即可判定；对于②中，当时，，即可判定；对于③中，作出与的图象，结合图象即可判定；对于④中，根据三角函数的图象变换，即可判定；对于⑤中，借助余弦函数的单调性，即可判定．‎ ‎【详解】‎ 由题意，对于①中，函数的最小正周期，所以①是正确的；‎ 对于②中，因为时，，角的终边在轴上，所以②是错误的；‎ 对于③中，作出与的图象，可知两个函数只有一个交点，所以③是错误的；‎ 对于④中，函数的图象向右平移个单位长度后，得，所以④是正确的；‎ 对于⑤中，函数，在为增函数，所以⑤是错误的．‎ 故正确的说法是①④.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用问题，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，逐项合理、判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能，属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：‎ 医生人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人及以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.04‎ 求：(1)派出医生至多2人的概率；‎ ‎(2)派出医生至少2人的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1) 派出医生至多2人包含事件派出医生0人、1人、2人，且相互为互斥事件，从而可求；‎ ‎(2) 派出医生至少2人包含事件派出医生2人、3人、4人、5人及以上，且相互为互斥事件，从而可求；也可以求其对立事件.‎ ‎【详解】‎ 记事件A：“不派出医生”，事件B：“派出1名医生”，事件C：“派出2名医生”，事件D：“派出3名医生”，事件E：“派出4名医生”，事件F：“派出不少于5名医生”．‎ ‎∵事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且 P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，‎ P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.‎ ‎(1)“派出医生至多2人”的概率为 P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.‎ ‎(2)“派出医生至少2人”的概率为 P(C＋D＋E＋F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.‎ 或1－P(A＋B)＝1－0.1－0.16＝0.74.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查互斥事件的概率，利用概率加法公式可求，侧重考查数学建模的核心素养.‎ ‎18．盒中有10只晶体管，其中2只是次品，每次随机地抽取1只，作不放回抽样，连抽两次，试分别求下列事件的概率：‎ ‎(1)2只都是正品； ‎ ‎(2)2只都是次品； ‎ ‎(3)1只正品，1只次品； ‎ ‎(4)第二次取出的是次品.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.‎ ‎【解析】(1)从8只正品中不放回抽取2只，共有56种抽取方案，从而可求概率；‎ ‎(2)从2只次品中不放回抽取2只，共有2种抽取方案，从而可求概率；‎ ‎(3)从8只正品2只次品中不放回抽取2只，共有32种抽取方案，从而可求概率；‎ ‎(4)从10只晶体管中不放回抽取2只，第二次取出的是次品，共有18种抽取方案，从而可求概率；‎ ‎【详解】‎ 记“连抽两次2只都是正品”为A，“连抽两次2只都是次品”为B，‎ ‎“连抽两次1只正品，1只次品”为C，“连抽两次第二次取出的是次品”为D 则（1）； ‎ ‎（2）； ‎ ‎（3）； ‎ ‎（4）.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概率的求解，明确所求事件包含的基本事件是求解关键.‎ ‎19．甲、乙两人玩一种游戏：在装有质地、大小完全相同，在编号分别为1,2,3,4,5,6的6个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数则甲赢，否则乙赢．‎ ‎(1)求甲赢且编号和为8的事件发生的概率；‎ ‎(2)这种游戏规则公平吗？试说明理由．‎ ‎【答案】（1）;（2）这种游戏规则是公平的.‎ ‎【解析】试题分析：（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的甲、乙两人取出的数字共有6×6种等可能的结果，满足条件的事件可以通过列举法得到，根据古典概型的概率公式得到结果．（2）要判断这种游戏是否公平，只要做出甲胜和乙胜的概率，先根据古典概型做出甲胜的概率，再由1减去甲胜的概率，得到乙胜的概率，得到两个人胜的概率相等，得到结论 试题解析：（1）设“两个编号和为8”为事件A，则事件A包含的基本事件为（2,6），（3,5），（4,4），（5,3），（6,2）共5个，又甲、乙两人取出的球的编号的基本事件共有6×6＝36（个）等可能的结果，故P（A）＝．‎ ‎（2）这种游戏规则是公平的．设甲胜为事件B，乙胜为事件C，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有18个：（1,1），（1,3），（1,5），（2,2），（2,4），（2,6），（3,1），（3,3），（3,5），（4,2），（4,4），（4,6），（5,1），（5,3），（5,5），（6,2），（6,4），（6,6）．‎ 所以甲胜的概率P（B）＝＝，乙胜的概率P（C）＝1－＝．因为P（B）＝P（C），所以这种游戏规则是公平的．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；概率的意义 ‎20．已知是第三象限角，.‎ ‎(1)化简；‎ ‎(2)若，求的值；‎ ‎(3)若，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】(1)利用诱导公式化简即可；‎ ‎(2)由 可得，结合平方关系可求；‎ ‎(3)利用诱导公式可求.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) .‎ ‎(2)∵，‎ 又，∴.‎ 又α是第三象限角，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎(3)f(α)＝f(－1 860°)＝cos(－1 860°)＝cos 1 860°＝cos(5×360°＋60°)‎ ‎＝cos 60°＝.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的诱导公式及同角基本关系式，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.‎ ‎21．求函数的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的的值．‎ ‎【答案】或时；时，.‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎＝‎ ‎，令，则，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴当时，即或 时，；‎ 当，即 时，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的最值问题，利用换元法把所求函数转化为二次函数求解，侧重考查数学建模的核心素养.‎ ‎22．在已知函数（其中）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为. ‎ ‎(1)求的解析式；‎ ‎(2)当时，求的值域．‎ ‎【答案】（1） （2）[-1，2]‎ ‎【解析】试题分析：根据正弦型函数图象特点，先分析出函数的振幅和周期，最低点为,得,周期，则，又函数图象过 ‎，代入得，故，又，从而确定，得到，再求其单调增区间．‎ ‎ (2)分析，结合正弦函数图象，可知当,即时,取得最大值；当,即时,取得最小值,故的值域为．‎ 试题解析：（1）依题意,由最低点为,得,又周期,∴．‎ 由点在图象上,得,‎ ‎∴，,．‎ ‎∵，∴,∴．‎ 由,，得．‎ ‎∴函数的单调增区间是．‎ ‎(2),∴．‎ 当,即时,取得最大值；‎ 当,即时,取得最小值,故的值域为．‎ 点睛：本题考查了三角函数的图象和性质，重点对求函数解析式，单调性，最值进行考查，属于中档题．解决正弦型函数解析式的问题，一定要熟练掌握求函数周期，半周期的方法及特殊值的应用，特别是求函数的初相时，要注意特殊点的应用及初相的条件，求函数值域要结合正弦函数图象，不要只求两个端点的函数值．‎