安徽省合肥市2021届高三上学期调研性检测数学（文）试题答案

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2021 年高三调研性检测理科试题参考答案 第 1 页 共 3 页 合肥市 2021 届高三调研性检测数学试题(文科) 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.假 14. 1 6 15.＞ 16. 2 4 三、解答题： 17.(本小题满分 10 分) 解:(1)∵ 12 1 2aa， 1 1 12 a  ， 2 1 24 a  ，∴数列 na n    是公比为 1 2 的等比数列， ∴ 1 2 n n a n  ，∴ 2n n na  ； …………………………………5 分 (2)∵ 12 12 22 2n n nS  ，∴ 23 1 112 222 2n n nS  ，两式相减得： 23 1 1 1 1 111221111 1 1 211122 222 22 2 2 21 2 n n n nn n n n nnnnS             ， ∴ 22 2n n nS  . …………………………………10 分 18.(本小题满分 12 分) 解：(1)由频率分布直方图得， 0.05 0.1 0.22 10 0.25 0.1 1a ，解得 0.028a  ， ∴从高一年级 1500 名同学中随机抽取 1 人， 估计其得分不低于 75 分的概率为 0.14 0.25 0.1 0.49  .……………………………6 分 (2)设中位数估计值为 x ，则根据频率分布直方图得  0.28 700.05 0.1 0.22 0.510 x   ， 解得 974 7514x ， ∴高一年级传染病防控知识测试得分的中位数的估计值为 75. ……………………………12 分 19.(本小题满分 12 分) (1)由正弦定理得 2sin cos sin cos sin3A BB A C ， 即 2sin cos sin cos sin sin cos sin cos3A BB A ABABBA ， ∴ 2cos cos3 A A ，∴ tan 3A  . ∵ 0A  ， ，∴ 3A  .………………………………6 分 (2)∵ 3a  ， 3A  ， sin sin sin abc A BC， ∴ 23sinbB ， 23sincC ， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C D D A D B A B A D 2021 年高三调研性检测理科试题参考答案 第 2 页 共 3 页 ∵ 2 3BC A  ， ∴ 3 2 3 sin sin 3 3os 3 3 sin 3 6sin 6abc B C B B B      . 又∵ 20 3B  ， ，∴ 5 666B   ， ， ∴ 1sin 162B  ， ∴  6 9abc， . …………………………12 分 20.(本小题满分 12 分) (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形， 1AE  ， 4ADAE ，∴ 4BC AD  . 在 BCE 中，∵ 22EB EC ， 4BC  ，∴ EC BE . ∵PE ⊥平面 ABCD ，EC  平面 ABCD ，∴ PE ⊥EC . 又∵ BE PE E ，∴ EC ⊥平面 PBE . ∵EC  平面 PEC ，∴平面 PEC ⊥平面 PBE . ………………………………6 分 (2)由(1)知， 22EB EC ，EC BE ，∴ 45EBA ECB ，∴ 45AEB EBA . 由余弦定理得 222cos5AB AE BE AE BE AEB. ∵PE ⊥ AE ， 1AE  ， 4PE  ，∴ 17PA  . ∵PE ⊥平面 ABCD ，BE  平面 ABCD ，∴ PE ⊥BE ， ∴ 2226PB PE BE. 在 ABP 中，由余弦定理得 22230cos 210 PB AB PAPBA PB AB   ，∴ 70sin 10PBA . ∴ 1170sin 2 6 5 212210PABSPBABPBA        . 设点 E 到平面 PAB 的距离为 d . ∵ 11414333P ABE ABEVSPE， 1 3P ABE E PAB PABVV Sd  ， ∴ 4 4213 11 212133 PABE PAB Vd S      .………………………………12 分 21.(本小题满分 12 分) 设直线 l 与C 的交点 A ( 11x y， )， B ( 22x y， ).点 F 为( 1 02 ， ). (1)因为直线l 的斜率不为 0，设直线l 的方程为 1 2xmy  ， ∴  2 12 1212224AB x x m y y m   ，解得 1m   . ∴直线 l 的方程为 1 2xy  ，即 1 2yx  ，或 1 2yx  .…………………………5 分 (2)①设直线l 的方程为 x my n，代入抛物线方程化简得 2 220ymyn ， ∴ 12 12 2 2. yy m yy n    ， ∵ 1 1 1 yk x ， 2 2 2 yk x ， 12 12 12 22 12 1212 422 4 yy yykk xx yy nyy      ，解得 1n  ， ∴直线 l 经过定点，且定点为(1，0). ②由①知，直线l 的方程为 1x my. 2021 年高三调研性检测理科试题参考答案 第 3 页 共 3 页 解 1 2 1 x x my     ， 得M 13 22b  ， . 又∵ 12 12 2 2. yy m yy    ， ∴ 2 12 12 22 1. xx m xx     ， ∴ 11 13 22MA x y m    ， ， 22 13 22MB x y m    ， ， ∴   12 1 2 2 12 1 2 12 1 2 11 3 3 22 2 2 113 3 242 2 MA MB x x y ymm xx x x yy y ymm         22 22 913 91325244444mmmm   ， ∴当且仅当 2 2 9 4m m ，即 6 2m  时，取等号， ∴当 6 2m  时， MAMB   的最小值为 25 4 . ………………………………12 分 22.(本小题满分 12 分) 解: (1)∵ 2a  ，  f x 的定义域为  0 +， ，   2ln 2 2f xxx . 令  g xfx ，   212 202 xgx x   ，解得 1x  ， ∴ g x 在(0，1)上单调递增，在 1  ， 上单调递减， ∴  10gx g，即  0fx  ， ∴ f x 在 0 ， 上单调递减， 又∵ 10f  ，∴  f x 有唯一零点 1x  ； …………………………6 分 (2)∵当 1x  时， 2ln 1 0ax x x恒成立， 即 1ln 0axxx 在  1 x ， 上恒成立. 设  1lnhx a x x x，  1 x， . 则  2 22 111axaxhx x xx    . ①当 02 a  ，或 2 40a   ，即 2a  时， 0x  ，   0hx  ， ∴ hx在  1 x， 上单调递减， ∴  10hx h成立； ②当 2a  时， 0 . 设  0hx  的两个实数根为 1x ， 2x ( 12x x ). ∵ 120ha ，∴ 101x， 2 1x  . ∴当 21 x x 时，  0hx  ；当 2x x 时，   0hx  ， ∴ hx在( 21 x， )上单调递增，在( 2x  ， )上单调递减， ∴  2 10hx h，不合题意. 综上所述，  2a ， . …………………………12 分