安徽省合肥市2021届高三上学期调研性检测数学(理)试题 Word版含答案

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安徽省合肥市2021届高三上学期调研性检测数学(理)试题 Word版含答案

合肥市2021届高三调研性检测 数学试(理科)‎ ‎(考试时间:120分钟 满分:150分)‎ 第Ⅰ卷(60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数满足,其中是虚数单位,则复数的模为( )‎ ‎ A. B. C. D.3‎ ‎2.若集合,,则( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.若变量,满足约束条件,则目标函数的最小值为( )‎ ‎ A. B. C. D.1‎ ‎4.为了保障广大人民群众的身体健康,在新冠肺炎疫情防控期间,有关部门对辖区内15家药店所销售的,两种型号的口罩进行了抽检,每家药店抽检10包口罩(每包10只),15家药店中抽检的、型号口罩不合格数(Ⅰ、Ⅱ)的茎叶图如图所示,则下列描述不正确的是( )‎ ‎ A.估计型号口罩的合格率小于型号口罩的合格率 ‎ B.Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数 ‎ C.Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数 ‎ D.Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差 ‎5.设数列的前项和为,若,则( )‎ ‎ A.81 B.121 C.243 D.364‎ ‎6.函数在上的图象大致是( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎7.周六晚上,小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影,订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起,为安全起见,每个孩子至少有一侧有家长陪坐,则不同的坐法种数为( )‎ ‎ A.8 B.12 C.16 D.20‎ ‎8.已知函数的部分图象如图所示,则函数的单调递减区间为( )‎ ‎ ‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎9.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的体积为( )‎ ‎ A.32 B.16 C. D.‎ ‎10.在中,,,分别是边,,的中点,,,交于点,则:‎ ‎ ①; ②;‎ ‎ ③; ④.‎ ‎ 上述结论中,正确的是( )‎ ‎ A.①② B.②③ C.②③④ D.①③④‎ ‎11.双曲线的左、右焦点分别为,,为的渐近线上一点,直线 交于点,且,(为坐标原点),则双曲线的离心率为( )‎ ‎ A. B.2 C. D.‎ ‎12.已知,函数恰有两个零点,则的取值范围是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.把答案填写在答题卡上的相应位置.‎ ‎13.若命题若直线与平面内的所有直线都不平行,则直线与平面不平行;则命题是________命题(填“真”或“假”).‎ ‎14.若直线经过抛物线的焦点且与圆相切,则直线的方程为________.‎ ‎15.已知函数,,是钝角三角形的两个锐角,则________ (填写:“”或“”或“”).‎ ‎16.已知三棱锥的顶点在底面的射影为的垂心,若,且三棱锥的外接球半径为3,则的最大值为________.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 设数列的前项和为,,.若数列为等差数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设数列的前项和为,若对都有成立,求实数的取值范围.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 为检査学生学习传染病防控知识的成效,某校高一年级部对本年级1500名同学进行了传染病防控知识检测,并从中随机抽取了300份答卷,按得分区间,,…,,分别统计,绘制成频率分布直方图如下.‎ ‎(1)估计高一年级传染病防控知识测试得分的中位数(结果精确到个位);‎ ‎(2)根据频率分布直方图,按各分数段的人数的比例,从得分在区间和的学生中任选7人,并从这7人中随机选3人作传染病预防知识宣传演讲,求这3人中至少有一人得分在区间内的概率.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知:在中,三个内角、、的对边分别为,,,且,.‎ ‎(1)当时,求的面积;‎ ‎(2)当为锐角三角形时,求的取值范围.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 在三棱锥中,平面,平面平面.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)若为的中点,且,,求二面角的余弦值.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 在平面直角坐标系中,动点满足方程.‎ ‎(1)说明动点的轨迹是什么曲线,并求出曲线的标准方程;‎ ‎(2)若点,是否存在过点的直线与曲线相交于,两点,且直线,与 ‎ 轴分别交于、两点,使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)若函数有极值且极值大于0,求实数的取值范围.‎ 合肥市2021届高三调研性检测数学试题(理科)‎ 参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A D D B A C D C C A D 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.假 14.或 ‎15. 16.18‎ 三、解答题:‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 解:(1)由,得,,,.‎ ‎∵数列为等差数列,,‎ ‎∴.‎ 当时,.‎ 当时,也成立.‎ ‎∴.‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴,‎ ‎∴当时, ,即;‎ 当时, ,即;‎ ‎∴,,‎ ‎∵,都有成立,∴.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 解:(1)设中位数估计值为,根据频率分布直方图得,‎ ‎,‎ 解得.‎ ‎∴高一年级传染病防控知识测试得分中位数的估计值为75.‎ ‎(2)根据频率分布直方图得,得分在区间和的频率分别为0.25,0.1,其比例为,‎ ‎∴所选的7人中,得分在的有5人,得分在的有2人.‎ ‎∴从7人中随机选3人,至少有一人得分在区间上的概率为.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 解:(1)∵,,,‎ ‎∴,∴.‎ 当时,由得.‎ 又∵,∴.‎ 由余弦定理得,,‎ ‎∴,解得或.‎ 当时,的面积;‎ 当时, 的面积.‎ ‎(2)∵为锐角三角形,,‎ ‎∴,∴.‎ 依题意得,∴.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 解:(1)证明:过点作于.‎ ‎∵平面平面,平面平面,平面,‎ ‎∴平面,∴.‎ 又∵平面,平面,‎ ‎∴.‎ 又∵,,平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎(2)∵,,∴为中点.‎ 又∵为的中点,∴.‎ 由(1)知,平面,∴平面,‎ ‎∴,,‎ ‎∴以为原点,以,,所在方向为,,轴正方向,建立空间直角坐标系,如图.‎ 设,则,,‎ 则,,,,,.‎ 设平面的法向量为,‎ ‎∴,,,,‎ ‎,,‎ ‎∴.‎ 令得,,∴.‎ 设平面的法向量为,‎ ‎∴,,,‎ ‎,,,‎ ‎∴.令得,,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∵二面角的平面角是钝角,∴.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 解:(1)设,,依题意,‎ ‎∴,且 ‎∴点的轨迹是以,为焦点,长轴长为4的椭圆.‎ 设椭圆的方程为,‎ 记,则,,‎ ‎∴,,∴,‎ ‎∴曲线的标准方程为.‎ ‎(2)当直线为时,不合题意.‎ 当直线的斜率存在时,设直线的方程为,,.‎ 联立,消去得.‎ 则,‎ ‎,.‎ ‎∵‎ ‎,‎ ‎∴或.‎ 当时,经检验点与点或点重合,不符合题意,故舍去.‎ 当时,经检验符合题意,此时直线的方程为.‎ 综上所述,直线的方程为.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 解:(1)∵,‎ ‎∴.‎ ‎①,则在上恒成立,‎ ‎∴当时,在上单调递增.‎ ‎②若,令.‎ ‎∵,,‎ ‎∴有两个不相等的实数根,且两根一正一负.‎ 设.‎ 当时,,‎ 当时,,‎ ‎∴当时,,‎ 当时,,‎ ‎∴当时,函数在上单调递增;‎ 在上单调递减.‎ 综合①②得:‎ 当时,在上单调递增;‎ 当时,函数在上单调递增;‎ 在上单调递减.‎ ‎(2)由(1)知,当时,函数在上无极值;‎ 当时,函数在上仅有极大值 ‎,‎ 其中,即,‎ ‎∴.‎ 设.‎ ‎∵在上单调速增,且,‎ ‎∴当且仅当时,,‎ 此时,,‎ ‎∴当时,实数的取值范围是.‎
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