天津市河西区2021届高三第一学期期中考试数学试卷（解析版）
天津市河西区2021届高三第一学期期中考试数学试卷
一、选择题（本大题共9小题）
1. 已知集合A={-2,-1,0，1，2}，B={x|(x-1)(x+2)<0}，则A∩B=( )
A. {-1,0} B. {0,1} C. {-1,0，1} D. {0,1，2}
2. 设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|=b|b|成立的充分条件是( )
A. a=-b B. a//b
C. a=2b D. a//b且|a|=|b|
3. 函数f(x)=1(log2x)2-1的定义域为( )
A. (0,12) B. (2,+∞)
C. (0,12)∪(2,+∞) D. (0,12]∪[2,+∞)
4. 已知点A(-1,1)，点B(2,y)，向量a=(1,2)，若AB//a，则实数y的值为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5. 如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(4π3,0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A. π6 B. π4 C. π3 D. π2
6. 设a=(34)0.5,b=(43)0.4,c=log34(log34)，则( )
A. c
0，y>0，且2x+8y-xy=0，则xy的最小值为______．
5. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，D，E分别是边AB，AC上的点，AE=1，且AD⋅AE=12，则|AD|=______，若P是线段DE上的一个动点，则BP⋅CP的最小值为______．
三、解答题（本大题共5小题）
6. 等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若a3，a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．
7.
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a>b，a=5，c=6，sinB=35．
(Ⅰ)求b和sinA的值；
(Ⅱ)求sin(2A+π4)的值．
1. 已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1，设f(x)=g(x)x．
(Ⅰ)求a、b的值；
(Ⅱ)若不等式f(2x)-k⋅2x≥0在x∈[-1,1]上恒成立，求实数k的取值范围．
2. 设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式；
(Ⅱ)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*)，
(i)求Tn；
(ii)证明k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=2n+2n+2-2(n∈N*).
3. 设函数f(x)=excosx，g(x)为f(x)的导函数．
(Ⅰ)求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)当x∈[π4,π2]时，证明f(x)+g(x)(π2-x)≥0；
(Ⅲ)设xn
为函数u(x)=f(x)-1在区间(2nπ+π4,2nπ+π2)内的零点，其中n∈N，证明2nπ+π2-xn<e-2nπsinx0-cosx0．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了交集及其运算，考查学生的计算能力，属于基础题．
解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．
【解答】
解：B={x|-20，
故选C．
利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件
本题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必要性，属基础题．
3.【答案】C
【解析】解：要使函数有意义，则(log2x)2-1>0，
即log2x>1或log2x<-1，
解得x>2或0(43)0=1，即b>1
log34(log34)5时，y=log5|x|>1，此时函数图象无交点，
如图：
又两函数在x>0上有4个交点，由对称性知它们在x<0上也有4个交点，且它们关于直线y轴对称，
可得函数g(x)=f(x)-log5|x|的零点个数为8；
故选：D．
分别作出函数y=f(x)，y=log5|x-1|的图象，结合函数的对称性，利用数形结合法进行求解；
本题主要考查了周期函数与对数函数的图象，数形结合是高考中常用的方法，考查数形结合，本题属于基础题．
10.【答案】5
【解析】解：x=0，y=0，x-y=0
x=0，y=1，x-y=-1；
x=0，y=2，x-y=-2；
x=1，y=0，x-y=1；
x=1，y=1，x-y=0；
x=1，y=2，x-y=-1；
x=2，y=0，x-y=2；
x=2，y=1，x-y=1；
x=2，y=2，x-y=0；
∴B={0,-1,-2,1，2}；
∴B中元素的个数是5．
故答案为：5．
分别让x=0，1，2，y=0，1，2，求x-y，即可求出集合B的元素，从而得到集合B中元素的个数．
考查描述法表示集合，元素与集合的关系，集合元素的互异性．
11.【答案】8
【解析】解：由题，a，b∈R，a+bi=11-7i1-2i=(11-7i)(1+2i)(1-2i)(1+2i)=25+15i5=5+3i
所以a=5，b=3，故a+b=8
故答案为8
由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i，再由进行计算即可得到a+bi=5+3i，再由复数相等的充分条件即可得到a，b的值，从而得到所求的答案
本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握，复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁，解题时要注意运用它进行转化．
12.【答案】3,n=12n-1,n≥2
【解析】解：∵数列{an}的前n项和Sn=2n+1，
∴当n≥2时，an=sn-sn-1=2n-2n-1=2n-1，
当n=1时，a1=21+1=3≠1，
∴an=3,n=12n-1,n≥2，
故答案为：3,n=12n-1,n≥2．
直接根据n≥2时，an=sn-sn-1
即可求解结论，注意检验n=1是否成立．
本题考查数列的通项公式的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
13.【答案】3
【解析】解：y=ax-ln(x+1)的导数
y'=a-1x+1，
由在点(0,0)处的切线方程为y=2x，
得a-10+1=2，
则a=3．
故答案为：3．
根据导数的几何意义，即f'(x0)表示曲线f(x)在x=x0处的切线斜率，再代入计算．
本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．
14.【答案】64
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
利用基本不等式构建不等式即可得出
【解答】
解：∵x>0，y>0，2x+8y-xy=0，
∴xy=2x+8y≥216xy=8xy，
∴xy≥8，∴xy≥64．
当且仅当x=4y=16时取等号．
故xy的最小值为64．
故答案为64．
15.【答案】1 -116
【解析】解：∵AE=1，∠BAC=60°，
∴AD⋅AE=12|AD|=12，
∴|AD|=1，
∴在△DAE中，根据余弦定理得，DE2=AD2+AE2-2AD⋅AE⋅cos60°=1+1-2×12=1，
又AB=3，AC=2，
∴BD=2，CE=1，且∠ADE=∠AED=60°，
∵P是线段DE上的一个动点，
∴设DP=λDE，0≤λ≤1，则EP=(λ-1)DE，
∴BP⋅CP=(BD+DP)⋅(CE+EP)
=(BD+λDE)⋅[CE+(λ-1)DE]
=BD⋅CE+(λ-1)λDE2+(λ-1)BD⋅DE+λDE⋅CE
=2×1×12+λ2-λ+2×1×12×(λ-1)+1×1×(-12)×λ
=λ2-λ2
=(λ-14)2-116，
∴λ=14时，BP⋅CP取最小值-116．
故答案为：1,-116．
根据AE=1，∠BAC=60°，AD⋅AE=12即可求出|AD|=1，然后根据余弦定理即可求出DE=1，从而得出BD=2，CE=1，且∠ADE=∠AED=60°，并据题意设DP=λDE，0≤λ≤1，从而可得出BP⋅CP=(BD+λDE)⋅[CE+(λ-1)DE]，然后进行数量积的运算即可得出BP⋅CP=λ2-λ2，从而配方即可求出最小值的大小．
本题考查了向量数量积的运算及计算公式，余弦定理，向量加法和数乘的几何意义，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)∵等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16，
∴2q3=16，解得q=2，
∴an=2×2n-1=2n．
(2)∵a3，a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项，
∴b4=a3=23=8，b16=a5=25=32，
∴b4=b1+3d=8b16=b1+15d=32，
解得b1=2，d=2，
∴bn=2+(n-1)×2=2n．
Sn=2n+n(n-1)2×2=n2+n．
【解析】(1)利用等比数列通项公式能求出首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式an．
(2)由等比数列通项公式求出等差数列{bn}的第4项和第16项，再由等差数列通项公式求出首项与公差，由此能求出数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．
本题考查数列的通项公式及前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．
17.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC中，∵a>b，
故由sinB=35，可得cosB=45．
由已知及余弦定理，
有b2=a2+c2-2accosB=25+36-2×5×6×45=13，
∴b=13．
由正弦定理asinA=bsinB，得sinA=asinBb=31313．
∴b=13，sinA=31313；
(Ⅱ)由(Ⅰ)及a0，可得q=2．
故an=2n-1．
设等差数列{bn}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，
由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，
∴b1=d=1．
故bn=n；
(Ⅱ)(i)解：由(Ⅰ)，可得Sn=1-2n1-2=2n-1，
故Tn=k=1n(2k-1)=k=1n2k-n=2×(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2；
(ii)证明：∵(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=(2k+1-k-2+k+2)k(k+1)(k+2)
=k⋅2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2-2k+1k+1．
∴k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=(233-222)+(244-233)+…+(2n+2n+2-2n+1n+1)
=2n+2n+2-2．
【解析】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查利用裂项相消法求和，是中档题．
(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q，由已知列式求得q，则数列{an}的通项公式可求；等差数列{bn}的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，可得等差数列的通项公式；
(Ⅱ)(i)由等比数列的前n项和公式求得Sn，再由分组求和及等比数列的前n项和求得数列{Sn}的前n项和Tn；
(ii)化简整理(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)，再由裂项相消法证明结论．
20.【答案】(Ⅰ)解：由已知，f'(x)=ex(cosx-sinx)，因此，
当x∈[2kπ+π4,2kπ+5π4](k∈Z)时，有sinx>cosx，得f'(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈[2kπ-3π4,2kπ+π4](k∈Z)时，有sinx0，f(x)单调递增．
∴f(x)的单调增区间为[2kπ-3π4,2kπ+π4](k∈Z)，单调减区间为[2kπ+π4,2kπ+5π4](k∈Z)；
(Ⅱ)证明：记h(x)=f(x)+g(x)(π2-x)，依题意及(Ⅰ)，
有g(x)=ex(cosx-sinx)，g'(x)=-2exsinx<0，
从而h'(x)=f'(x)+g'(x)(π2-x)+g(x)×(-1)=g'(x)(π2-x)⩽0.
因此，h(x)在区间[π4,π2]上单调递减，有h(x)≥h(π2)=f(π2)=0．
∴当x∈[π4,π2]时，f(x)+g(x)(π2-x)≥0；
(Ⅲ)证明：依题意，u(xn)=f(xn)-1=0，即exncosxn=1，
记yn=xn-2nπ，则，且f(yn)=eyncosyn=exn-2nπcos(xn-2nπ)=e-2nπ(n∈N)．
由f(yn)=e-2nπ≤1=f(y0)及(Ⅰ)，得yn≥y0，
由(Ⅱ)知，当x∈[π4,π2]时，g'(x)<0，
∴g(x)在上为减函数，
因此，，
又由(Ⅱ)知，f(yn)+g(yn)(π2-yn)>0，
故
所以．
【解析】本题主要考查导数的运算，不等式的证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和化归与转化思想，考查抽象概括能力、综合分析问题与解决问题的能力，属难题．
(Ⅰ)求出原函数的导函数，可得当x∈[2kπ+π4,2kπ+5π4](k∈Z)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈[2kπ-3π4,2kπ+π4](k∈Z)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
(Ⅱ)记h(x)=f(x)+g(x)(π2-x)，依题意及(Ⅰ)，得到g(x)=ex(cosx-sinx)，由h'(x)⩽0，得h(x)在区间[π4,π2]上单调递减，有h(x)≥h(π2)=f(π2)=0，从而得到当x∈[π4,π2]时，f(x)+g(x)(π2-x)≥0；
(Ⅲ)依题意，u(xn)=f(xn)-1=0，即exncosxn=1，记yn=xn-2nπ，则，且f(yn)=e-2nπ(n∈N).由f(yn)=e-2nπ≤1=f(y0)及(Ⅰ)，得yn≥y0，由(Ⅱ)知，当x∈[π4,π2]时，g(x)在上为减函数，有，又由(Ⅱ)知，f(yn)+g(yn)(π2-yn)>0，
得π2-yn≤f(yn)g(yn)=-e-2nπg(yn)≤e-2nπg(y0)e-2nπey0(siny0-cosy0)<e-2nπsinx0-cosx0，从而证得2nπ+π2-xn<e-2nπsinx0-cosx0．