天津市耀华中学2021届高三第一学期期中质量调查数学试卷

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天津市耀华中学2021届高三第一学期期中质量调查数学试卷

高三年级数学试卷 第 1页(共 4 页) 高三年级数学试卷 第 2页(共 4 页) 天津市耀华中学 2021 届高三第一学期期中质量调查 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试时间 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 8 页。 祝各位考生考试顺利! 第 Ⅰ 卷 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上; 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号; 3.本卷共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分。 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)设全集为  7U x x  N ,集合 A={1,3,6 },集合 B={2,3,4,5},则 集合 UA B ð ( ). (A) 3 (B) 1,3,6 (C) 2,4,5 (D) 1,6 (2)设 x∈R,则“ 3x≤ ”是“ 2 3 0x x ≤ ”的( ). (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件 (3)函数    3 e 1 e 1 x xf x x   (其中 e 为自然对数的底数)的图象大致为( ). (A) (B) (C) (D) (4)设 0.2 2 1 1 3log lg3 3 2a b c       , , ,则 a,b,c 的大小关系是( ). (A)a>c>b (B)b>c>a (C)c>a>b (D)c>b>a (5)已知函数     sin 0, 0f x A x         的 部分图象如图所示,则  f x 的解析式为( ). (A)   2sin 12f x x      (B)   2sin 2 3f x x      (C)   2sin 2 6f x x      (D)   32sin 3 4f x x      (6)设数列 na 的前 n 项和 2 1nS n  ,则 8a 的值为( ). (A)65 (B)16 (C)15 (D)14 (7)已知函数  f x 是定义在 R 上的奇函数,且当 0x≥ 时,    2log 2 1f x x   , 则  6f  等于( ). (A)2 (B)4 (C) 2 (D) 4 (8)若将函数     sin 2 0f x x      的图象向左平移 3  个单位长度后,得到的 函数图象关于 ,02      对称,则函数    cosg x x  在 ,2 6      上的最小值是 ( ). (A) 1 (B) 3 2  (C) 1 2  (D)0 ( 9 ) 已 知 函 数   2 1+ log 4 0 1 0a x a, x >f x x x     . , , ≤ 在 R 上 单 调 递 增 , 且 关 于 x 的 方 程   3f x x  恰有两个不相等的实数解,则实数 a 的取值范围是( ). (A) 1 3 13,4 4 16          ∪ (B) 1 3 13,4 4 16         ∪ (C) 1 13,4 16      (D) 3 130, 4 16          ∪ x y 3  5 12 O 2 高三年级数学试卷 第 3页(共 4 页) 高三年级数学试卷 第 4页(共 4 页) 第 Ⅱ 卷 注意事项: 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔答题; 2.本卷共 12 小题,共 105 分。 二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分。 (10)设 i 是虚数单位,复数  2 3 1 i   _______. (11) 2 2 0x ax ax    R, 都成立,则 a 的取值范围是 . (12)在 ABC△ 中, 7 2 60AC BC B   , , ,则 ABC△ 的面积等于 . (13)已知 na 为等差数列, nS 为其前 n 项和,n N ,若 3 2011 80a S  , ,则 10S 的值为 . (14)已知 x y, 均为正实数, 1x y  ,则 1y x y  的最小值为 . (15)若函数    2log 4af x ax  在 0,1 上为减函数,则实数 a 的取值范围 是 . 三、解答题:本大题共 5 题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (16)(本小题满分 14 分) 已知函数  f x 为二次函数,  f x 的图象过点 0,2 ,对称轴为 1x   ,函数  f x 在 R 上的最小值为 1 . (Ⅰ)求  f x 的解析式; (Ⅱ)当  2,x a a a   R, 时,求函数  f x 的最小值(用 a 表示). (17)(本小题满分 15 分) 在 ABC△ 中,内角 , ,A B C 所对的边分别为 , , .a b c 已知 sin sin 3a C c A      . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设 6 4b c , ,求 a 和  cos 2A C 的值. (18)(本小题满分 15 分) 已知函数     1cos sin cos 2f x x x x   . (Ⅰ)若 0 ,2   且 1sin 3  ,求  f  ; (Ⅱ)求函数  f x 的最小正周期及单调递增区间. (19)(本小题满分 15 分) 已知函数    2e ,xf x x ax a   其中 a 是常数. (Ⅰ)当 1a  时,求曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线方程; (Ⅱ)若存在实数 k ,使得关于 x 的方程  f x k 在 0, 上有两个不相等的实数根, 求 k 的取值范围. . (20)(本小题满分 16 分) 已知数列 na 的前 n 项和 2 .2n n nS  数列 nb 满足:  1 1 2 12 2 .n n nb b b b n      N, (Ⅰ)求数列   ,n na b 的通项公式; (Ⅱ)求  2 1 1 2 1 . n i i i i a b nb           N 高三年级数学答案 第 1页(共 4 页) 高三年级数学答案 第 2页(共 4 页) 高三数学试卷参考答案及评分标准 一、选择题:(本题共 9 小题,每题 5 分,共 45 分) 题 号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 答 案 D B D A B C C D A 二、填空题:(本题共 6 小题,每题 5 分,共 30 分) (10) 3i2 (11)  8,0 (12) 3 3 2 (13)60 (14)3 (15)  1,4 三、解答题.共 75 分. (16)本小题满分 14 分. (Ⅰ)解:设二次函数  f x 的解析式为   2f x ax bx c   ,其中 0a  . ……1 分 由题意可知,  0 2 12 12 f b a bf a               , , , ………………4 分 解得 3 6 2a b c  , , . ………………5 分 所以  f x 的解析式为   23 6 2f x x x   . ………………6 分 (Ⅱ)解:当 1a ≤ 时,函数  f x 在 2,a a 上单调递减,此时  f x 的最小值为   23 6 2f a a a   ; ………………8 分 当 2 1a a    ,即 1 1a   时,函数  f x 在 2, 1a   上单调递减,在 1,a 上 单调递增,此时  f x 的最小值为  1 1f    ; ………………11 分 当 2 1a  ≥ ,即 1a≥ 时,函数  f x 在 2,a a 上单调递增,此时  f x 的最小值为   22 3 6 2f a a a    . ………………13 分 综上所述,当 1a ≤ 时,  f x 的最小值为 23 6 2a a  ;当 1 1a   时,函数  f x 的最小值为 1 ;当 1a≥ 时,  f x 的最小值为 23 6 2a a  . ………………14 分 (17)本小题满分 15 分. (Ⅰ)解:由已知及正弦定理可得 πsin sin sin sin 3A C C A     . 因为  0, πC  ,所以sin 0C  ,故 πsin sin 3A A     ,………………2 分 即 π πsin sin cos cos sin3 3A A A  . 整理得 sin 3 cosA A ,所以 tan 3A  .………………………………4 分 因为  0, πA ,所以 π 3A  . ………………………………5 分 (Ⅱ)解:根据余弦定理, 2 2 2 2 cosa b c bc A   ,解得 2 28a  . 因为 0a  ,所以 2 7a  . ………………………………7 分 根据正弦定理, sin sin a c A C  ,解得 21sin 7C  . ……………………9 分 又因为 c a ,所以 π 3C  ,则 2 2 7cos 1 sin 7C C   .………………10 分 可求得 4 3sin 2 2sin cos 7C C C  , 2 2 1cos 2 cos sin 7C C C   . ……14 分 则   13cos 2 cos cos 2 sin sin 2 14A C A C A C    .…………………………15 分 (18)本小题满分 15 分. (Ⅰ)解:因为 π0 2   ,且 1sin 3   ,所以 2 2 2cos 1 sin 3     .…2 分 故     1 4 2 7cos sin cos 2 18f         . ………………………………5 分 (Ⅱ)解:因为   2 1sin cos cos 2f x x x x   1 1 cos 2 1sin 22 2 2 xx    ……9 分 1 1 2 πsin 2 cos 2 sin 22 2 2 4x x x       ,………………11 分 所以函数  f x 的最小正周期为 π . ………………………………12 分 设 π2 4t x  ,由 2 sin2y t 的单调递增区间是 π π2 π 2 π2 2k k     , , k Z , 令 π π π2 π 2 2 π2 4 2k x k  ≤ ≤ ,解得 3π ππ π8 8k x k ≤ ≤ , k Z .…………14 分 故函数  f x 的单调递增区间为 3π ππ π8 8k k     , , k Z . …………15 分 (19)本小题满分 15 分. 高三年级数学答案 第 3页(共 4 页) 高三年级数学答案 第 4页(共 4 页) (Ⅰ)解:        2e e 2 e 2x x xf x x ax a x a x x a         , xR . 当 1a  时,  1 ef  ,  1 4ef   .………………………………3 分 设曲线  y f x 在点  1, e 处的切线方程为  e 4e 1y x   , 所以直线 4e 3e 0x y   即为所求. ………………………………5 分 (Ⅱ)解:令   0f x  ,解得 0x  ,或 2x a   . ………………6 分 当 2 0a  ≤ ,即 2a ≥ 时,对于任意  0,x  都有   0f x ≥ ,所以函数  f x 在 单调递增,不存在符合题意的实数 k. ………………………………8 分 当 2 0a   ,即 2a   时,  f x ,  f x 随 x 的变化情况如下表: x 0  0, 2 a  2 a   2 ,a    f x 0  0   f x a ↘ 极小值 ↗ 所以函数  f x 在 0, 上的最小值为   2 42 e a af a     ,且当 x   时, 有  f x   . ………………………………12 分 因此,若存在实数 k ,使得关于 x 的方程  f x k 在 0, 上有两个不相等的实数 根,只需曲线  y f x 与直线 y k 的图象在区间 0, 有两个不同的交点, 故 2 4 e a a k a   ≤ . 综上所述, k 的取值范围是 2 4 ,e a a a     .……………………………15 分 (20)本小题满分 16 分. (Ⅰ)解:由已知,当 1n  时, 1 1 1a S  ; ……………………………2 分 当 2n≥ 时, 1n n na S S n   ,且该式也适用于 1n  的情况. 所以数列 na 的通项公式为 na n , *nN . ………………………5 分 由 1 1 2n n nb b    ( *nN ),可知当 2n≥ 时, 1 2n n nb b   ,因此 1 12n nb b  . 可知当 2 1n k  ( *k N )时, 1 2 2 1 2 2 n k n kb b     ; …………………7 分 当 2n k ( *k N )时, 2 2 2 2 n k n kb b   .…………………………9 分 所以, nb 的通项公式为 1 2 2 2 , 2 , n n n nb n     为奇数, 为偶数. ………………10 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 2 1 1 1 1 12 1 12 22 2 n n n n i i i i i i i i i ii ia b i ib                       . 记 1 2 n i i M i    , 1 2 n i i iN    .则 ………………………………11 分  2 3 11 2 2 2 3 2 1 2 2n nM n n            ,  2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 1 2 2n nM n n             , 上述两式相减,得  2 3 1 1 12 1 2 2 2 2 2 2 2 21 2 n n n n nM n n               , 整理得   12 1 2nM n    . ………………………………13 分 又有   2 3 11 1 1 1 11 2 3 12 2 2 2 2 n n N n n                                  ,   2 3 4 11 1 1 1 1 11 2 3 12 2 2 2 2 2 n n N n n                                        , 上述两式相减,得 2 3 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 1 12 2 12 2 2 2 2 2 2 21 2 n n n nn N n n                                                    , 整理得 22 2n nN   . ……………………………15 分 所以   1 2 1 1 2 1 21 2 2 n n i i n i i na b M N nb                .……………………………16 分
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