天津市耀华中学2021届高三第一学期期中质量调查数学试卷

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高三年级数学试卷 第 1页（共 4 页） 高三年级数学试卷 第 2页（共 4 页） 天津市耀华中学 2021 届高三第一学期期中质量调查 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 150 分，考试时间 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 8 页。 祝各位考生考试顺利！ 第 Ⅰ 卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号； 3．本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设全集为  7U x x  N ，集合 A={1，3，6 }，集合 B={2，3，4，5}，则 集合 UA B ð （ ）． （A） 3 （B） 1,3,6 （C） 2,4,5 （D） 1,6 （2）设 x∈R，则“ 3x≤ ”是“ 2 3 0x x ≤ ”的（ ）． （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件 （3）函数    3 e 1 e 1 x xf x x   （其中 e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）. （A） （B） （C） （D） （4）设 0.2 2 1 1 3log lg3 3 2a b c       ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）． （A）a＞c＞b （B）b＞c＞a （C）c＞a＞b （D）c＞b＞a （5）已知函数     sin 0, 0f x A x         的 部分图象如图所示，则  f x 的解析式为（ ）． （A）   2sin 12f x x      （B）   2sin 2 3f x x      （C）   2sin 2 6f x x      （D）   32sin 3 4f x x      （6）设数列 na 的前 n 项和 2 1nS n  ，则 8a 的值为（ ）． （A）65 （B）16 （C）15 （D）14 （7）已知函数  f x 是定义在 R 上的奇函数，且当 0x≥ 时，    2log 2 1f x x   ， 则  6f  等于（ ）． （A）2 （B）4 （C） 2 （D） 4 （8）若将函数     sin 2 0f x x      的图象向左平移 3  个单位长度后，得到的 函数图象关于 ,02      对称，则函数    cosg x x  在 ,2 6      上的最小值是 （ ）． （A） 1 （B） 3 2  （C） 1 2  （D）0 （ 9 ） 已 知 函 数   2 1+ log 4 0 1 0a x a, x >f x x x     . ， , ≤ 在 R 上 单 调 递 增 ， 且 关 于 x 的 方 程   3f x x  恰有两个不相等的实数解，则实数 a 的取值范围是（ ）． （A） 1 3 13,4 4 16          ∪ （B） 1 3 13,4 4 16         ∪ （C） 1 13,4 16      （D） 3 130, 4 16          ∪ x y 3  5 12 O 2 高三年级数学试卷 第 3页（共 4 页） 高三年级数学试卷 第 4页（共 4 页） 第 Ⅱ 卷 注意事项： 1． 用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共 12 小题，共 105 分。 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分。 （10）设 i 是虚数单位，复数  2 3 1 i   _______． （11） 2 2 0x ax ax    R， 都成立，则 a 的取值范围是 ． （12）在 ABC△ 中， 7 2 60AC BC B   ， ， ，则 ABC△ 的面积等于 ． （13）已知 na 为等差数列， nS 为其前 n 项和，n N ，若 3 2011 80a S  ， ，则 10S 的值为 ． （14）已知 x y， 均为正实数， 1x y  ，则 1y x y  的最小值为 ． （15）若函数    2log 4af x ax  在 0,1 上为减函数，则实数 a 的取值范围 是 ． 三、解答题：本大题共 5 题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （16）（本小题满分 14 分） 已知函数  f x 为二次函数，  f x 的图象过点 0,2 ，对称轴为 1x   ，函数  f x 在 R 上的最小值为 1 . （Ⅰ）求  f x 的解析式； （Ⅱ）当  2,x a a a   R， 时，求函数  f x 的最小值（用 a 表示）. （17）（本小题满分 15 分） 在 ABC△ 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , , .a b c 已知 sin sin 3a C c A      . （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）设 6 4b c ， ，求 a 和  cos 2A C 的值. （18）（本小题满分 15 分） 已知函数     1cos sin cos 2f x x x x   ． （Ⅰ）若 0 ,2   且 1sin 3  ，求  f  ； （Ⅱ）求函数  f x 的最小正周期及单调递增区间. （19）（本小题满分 15 分） 已知函数    2e ,xf x x ax a   其中 a 是常数. （Ⅰ）当 1a  时，求曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线方程； （Ⅱ）若存在实数 k ，使得关于 x 的方程  f x k 在 0, 上有两个不相等的实数根， 求 k 的取值范围. ． （20）（本小题满分 16 分） 已知数列 na 的前 n 项和 2 .2n n nS  数列 nb 满足：  1 1 2 12 2 .n n nb b b b n      N， （Ⅰ）求数列   ,n na b 的通项公式； （Ⅱ）求  2 1 1 2 1 . n i i i i a b nb           N 高三年级数学答案 第 1页（共 4 页） 高三年级数学答案 第 2页（共 4 页） 高三数学试卷参考答案及评分标准 一、选择题：（本题共 9 小题，每题 5 分，共 45 分） 题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 答 案 D B D A B C C D A 二、填空题：（本题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分） （10） 3i2 （11）  8,0 （12） 3 3 2 （13）60 （14）3 （15）  1,4 三、解答题．共 75 分． （16）本小题满分 14 分． （Ⅰ）解：设二次函数  f x 的解析式为   2f x ax bx c   ，其中 0a  ． ……1 分 由题意可知，  0 2 12 12 f b a bf a               ， ， ， ………………4 分 解得 3 6 2a b c  ， ， ． ………………5 分 所以  f x 的解析式为   23 6 2f x x x   ． ………………6 分 （Ⅱ）解：当 1a ≤ 时，函数  f x 在 2,a a 上单调递减，此时  f x 的最小值为   23 6 2f a a a   ； ………………8 分 当 2 1a a    ，即 1 1a   时，函数  f x 在 2, 1a   上单调递减，在 1,a 上 单调递增，此时  f x 的最小值为  1 1f    ； ………………11 分 当 2 1a  ≥ ，即 1a≥ 时，函数  f x 在 2,a a 上单调递增，此时  f x 的最小值为   22 3 6 2f a a a    ． ………………13 分 综上所述，当 1a ≤ 时，  f x 的最小值为 23 6 2a a  ；当 1 1a   时，函数  f x 的最小值为 1 ；当 1a≥ 时，  f x 的最小值为 23 6 2a a  ． ………………14 分 （17）本小题满分 15 分． （Ⅰ）解：由已知及正弦定理可得 πsin sin sin sin 3A C C A     ． 因为  0, πC  ，所以sin 0C  ，故 πsin sin 3A A     ，………………2 分 即 π πsin sin cos cos sin3 3A A A  ． 整理得 sin 3 cosA A ，所以 tan 3A  ．………………………………4 分 因为  0, πA ，所以 π 3A  ． ………………………………5 分 （Ⅱ）解：根据余弦定理， 2 2 2 2 cosa b c bc A   ，解得 2 28a  ． 因为 0a  ，所以 2 7a  ． ………………………………7 分 根据正弦定理， sin sin a c A C  ，解得 21sin 7C  ． ……………………9 分 又因为 c a ，所以 π 3C  ，则 2 2 7cos 1 sin 7C C   ．………………10 分 可求得 4 3sin 2 2sin cos 7C C C  ， 2 2 1cos 2 cos sin 7C C C   ． ……14 分 则   13cos 2 cos cos 2 sin sin 2 14A C A C A C    ．…………………………15 分 （18）本小题满分 15 分． （Ⅰ）解：因为 π0 2   ，且 1sin 3   ，所以 2 2 2cos 1 sin 3     ．…2 分 故     1 4 2 7cos sin cos 2 18f         ． ………………………………5 分 （Ⅱ）解：因为   2 1sin cos cos 2f x x x x   1 1 cos 2 1sin 22 2 2 xx    ……9 分 1 1 2 πsin 2 cos 2 sin 22 2 2 4x x x       ，………………11 分 所以函数  f x 的最小正周期为 π ． ………………………………12 分 设 π2 4t x  ，由 2 sin2y t 的单调递增区间是 π π2 π 2 π2 2k k     ， ， k Z ， 令 π π π2 π 2 2 π2 4 2k x k  ≤ ≤ ，解得 3π ππ π8 8k x k ≤ ≤ ， k Z ．…………14 分 故函数  f x 的单调递增区间为 3π ππ π8 8k k     ， ， k Z ． …………15 分 （19）本小题满分 15 分． 高三年级数学答案 第 3页（共 4 页） 高三年级数学答案 第 4页（共 4 页） （Ⅰ）解：        2e e 2 e 2x x xf x x ax a x a x x a         ， xR ． 当 1a  时，  1 ef  ，  1 4ef   ．………………………………3 分 设曲线  y f x 在点  1, e 处的切线方程为  e 4e 1y x   ， 所以直线 4e 3e 0x y   即为所求． ………………………………5 分 （Ⅱ）解：令   0f x  ，解得 0x  ，或 2x a   ． ………………6 分 当 2 0a  ≤ ，即 2a ≥ 时，对于任意  0,x  都有   0f x ≥ ，所以函数  f x 在 单调递增，不存在符合题意的实数 k． ………………………………8 分 当 2 0a   ，即 2a   时，  f x ，  f x 随 x 的变化情况如下表： x 0  0, 2 a  2 a   2 ,a    f x 0  0   f x a ↘ 极小值 ↗ 所以函数  f x 在 0, 上的最小值为   2 42 e a af a     ，且当 x   时， 有  f x   ． ………………………………12 分 因此，若存在实数 k ，使得关于 x 的方程  f x k 在 0, 上有两个不相等的实数 根，只需曲线  y f x 与直线 y k 的图象在区间 0, 有两个不同的交点， 故 2 4 e a a k a   ≤ ． 综上所述， k 的取值范围是 2 4 ,e a a a     ．……………………………15 分 （20）本小题满分 16 分． （Ⅰ）解：由已知，当 1n  时， 1 1 1a S  ； ……………………………2 分 当 2n≥ 时， 1n n na S S n   ，且该式也适用于 1n  的情况． 所以数列 na 的通项公式为 na n ， *nN ． ………………………5 分 由 1 1 2n n nb b    （ *nN ），可知当 2n≥ 时， 1 2n n nb b   ，因此 1 12n nb b  ． 可知当 2 1n k  （ *k N ）时， 1 2 2 1 2 2 n k n kb b     ； …………………7 分 当 2n k （ *k N ）时， 2 2 2 2 n k n kb b   ．…………………………9 分 所以， nb 的通项公式为 1 2 2 2 , 2 , n n n nb n     为奇数， 为偶数. ………………10 分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知 2 1 1 1 1 12 1 12 22 2 n n n n i i i i i i i i i ii ia b i ib                       ． 记 1 2 n i i M i    ， 1 2 n i i iN    ．则 ………………………………11 分  2 3 11 2 2 2 3 2 1 2 2n nM n n            ，  2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 1 2 2n nM n n             ， 上述两式相减，得  2 3 1 1 12 1 2 2 2 2 2 2 2 21 2 n n n n nM n n               ， 整理得   12 1 2nM n    ． ………………………………13 分 又有   2 3 11 1 1 1 11 2 3 12 2 2 2 2 n n N n n                                  ，   2 3 4 11 1 1 1 1 11 2 3 12 2 2 2 2 2 n n N n n                                        ， 上述两式相减，得 2 3 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 1 12 2 12 2 2 2 2 2 2 21 2 n n n nn N n n                                                    ， 整理得 22 2n nN   ． ……………………………15 分 所以   1 2 1 1 2 1 21 2 2 n n i i n i i na b M N nb                ．……………………………16 分