2015年上海市高考数学试卷(文科)

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文档介绍

2015年上海市高考数学试卷(文科)

‎2015年上海市高考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、填空题(本大题共14小题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律零分)‎ ‎1.(4分)函数f(x)=1﹣3sin2x的最小正周期为  .‎ ‎2.(4分)设全集U=R.若集合A={1,2,3,4},B={x|2≤x<3},则A∩(CUB)=  .‎ ‎3.(4分)若复数z满足3z+=1+i,其中i是虚数单位,则z=  .‎ ‎4.(4分)设f﹣1(x)为f(x)=的反函数,则f﹣1(2)=  .‎ ‎5.(4分)若线性方程组的增广矩阵为解为,则c1﹣c2=  .‎ ‎6.(4分)若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16,则a=  .‎ ‎7.(4分)抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=  .‎ ‎8.(4分)方程log2(9x﹣1﹣5)=log2(3x﹣1﹣2)+2的解为  .‎ ‎9.(4分)若x,y满足,则目标函数z=x+2y的最大值为  .‎ ‎10.(4分)在报名的3名男老师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为  (结果用数值表示).‎ ‎11.(4分)在(2x+)6的二项式中,常数项等于  (结果用数值表示).‎ ‎12.(4分)已知双曲线C1、C2的顶点重合,C1的方程为﹣y2=1,若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍,则C2的方程为  .‎ ‎13.(4分)已知平面向量、、满足⊥,且{||,||,||}={1,2,3},则|++|的最大值是  .‎ ‎14.(4分)已知函数f(x)=sinx.若存在x1,x2,…,xm满足0≤x1<x2<…<xm≤6π,且|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(xm﹣1)﹣f(xm)|‎ ‎=12(m≥2,m∈N*),则m的最小值为  .‎ ‎ ‎ 二、选择题(本大题共4小题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律零分.‎ ‎15.(5分)设z1、z2∈C,则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的(  )‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 ‎16.(5分)下列不等式中,与不等式<2解集相同的是(  )‎ A.(x+8)(x2+2x+3)<2 B.x+8<2(x2+2x+3)‎ C.< D.>‎ ‎17.(5分)已知点A的坐标为(4,1),将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则点B的纵坐标为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎18.(5分)设 Pn(xn,yn)是直线2x﹣y=(n∈N*)与圆x2+y2=2在第一象限的交点,则极限=(  )‎ A.﹣1 B.﹣ C.1 D.2‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎19.(12分)如图,圆锥的顶点为P,底面圆为O,底面的一条直径为AB,C为半圆弧的中点,E为劣弧的中点,已知PO=2,OA=1,求三棱锥P﹣AOC的体积,并求异面直线PA和OE所成角的大小.‎ ‎20.(14分)已知函数f(x)=ax2+,其中a为常数 ‎(1)根据a的不同取值,判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;‎ ‎(2)若a∈(1,3),判断函数f(x)在[1,2]上的单调性,并说明理由.‎ ‎21.(14分)如图,O,P,Q三地有直道相通,OP=3千米,PQ=4千米,OQ=5千米,现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地,经过t小时,他们之间的距离为f(t)(单位:千米).甲的路线是OQ,速度为5千米/小时,乙的路线是OPQ,速度为8千米/小时,乙到达Q地后在原地等待.设t=t1时乙到达P地,t=t2时乙到达Q地.‎ ‎(1)求t1与f(t1)的值;‎ ‎(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米,当t1≤t≤t2时,求f(t)的表达式,并判断f(t)在[t1,t2]上的最大值是否超过3?说明理由.‎ ‎22.(16分)已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D,记△AOC的面积为S.‎ ‎(1)设A(x1,y1),C(x2,y2),用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离,并证明S=|;‎ ‎(2)设l1:y=kx,,S=,求k的值;‎ ‎(3)设l1与l2的斜率之积为m,求m的值,使得无论l1和l2如何变动,面积S保持不变.‎ ‎23.(18分)已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2(bn+1﹣bn),n∈N*.‎ ‎(1)若bn=3n+5,且a1=1,求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设{an}的第n0项是最大项,即an0≥an(n∈N*),求证:{bn}的第n0项是最大项;‎ ‎(3)设a1=3λ<0,bn=λn(n∈N*),求λ的取值范围,使得对任意m,n∈N*,an≠0,且.‎ ‎ ‎ ‎2015年上海市高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题(本大题共14小题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律零分)‎ ‎1.(4分)(2015•上海)函数f(x)=1﹣3sin2x的最小正周期为 π .‎ ‎【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式,再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期.‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x,‎ ‎∴函数的最小正周期为=π,‎ 故答案为:π.‎ ‎ ‎ ‎2.(4分)(2015•上海)设全集U=R.若集合A={1,2,3,4},B={x|2≤x<3},则A∩(CUB)= {1,3,4} .‎ ‎【分析】本题考查集合的运算,由于两个集合已经化简,故直接运算得出答案即可.‎ ‎【解答】解:∵全集U=R,集合Α={1,2,3,4},Β={x|2≤x<3},‎ ‎∴(∁UB)={x|x≥3或x<2},‎ ‎∴A∩(∁UB)={1,3,4},‎ 故答案为:{1,3,4}.‎ ‎ ‎ ‎3.(4分)(2015•上海)若复数z满足3z+=1+i,其中i是虚数单位,则z=  .‎ ‎【分析】设z=a+bi,则=a﹣bi(a,b∈R),利用复数的运算法则、复数相等即可得出.‎ ‎【解答】解:设z=a+bi,则=a﹣bi(a,b∈R),‎ 又3z+=1+i,‎ ‎∴3(a+bi)+(a﹣bi)=1+i,‎ 化为4a+2bi=1+i,‎ ‎∴4a=1,2b=1,‎ 解得a=,b=.‎ ‎∴z=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎4.(4分)(2015•上海)设f﹣1(x)为f(x)=的反函数,则f﹣1(2)= ﹣ .‎ ‎【分析】由原函数解析式把x用含有y的代数式表示,x,y互换求出原函数的反函数,则f﹣1(2)可求.‎ ‎【解答】解:由y=f(x)=,得,‎ x,y互换可得,,即f﹣1(x)=.‎ ‎∴.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎5.(4分)(2015•上海)若线性方程组的增广矩阵为解为,则c1﹣c2= 16 .‎ ‎【分析】根据增广矩阵的定义得到,是方程组的解,解方程组即可.‎ ‎【解答】解:由题意知,是方程组的解,‎ 即,‎ 则c1﹣c2=21﹣5=16,‎ 故答案为:16.‎ ‎ ‎ ‎6.(4分)(2015•上海)若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16,则a= 4 .‎ ‎【分析】由题意可得(•a•a•sin60°)•a=16,由此求得a的值.‎ ‎【解答】解:由题意可得,正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形,面积为•a•a•sin60°,正棱柱的高为a,‎ ‎∴(•a•a•sin60°)•a=16,∴a=4,‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎7.(4分)(2015•上海)抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p= 2 .‎ ‎【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:因为抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,‎ 所以=1,‎ 所以p=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎8.(4分)(2015•上海)方程log2(9x﹣1﹣5)=log2(3x﹣1﹣2)+2的解为 2 .‎ ‎【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程,解出并验证即可.‎ ‎【解答】解:∵log2(9x﹣1﹣5)=log2(3x﹣1﹣2)+2,∴log2(9x﹣1﹣5)=log2[4×(3x﹣1﹣2)],‎ ‎∴9x﹣1﹣5=4(3x﹣1﹣2),‎ 化为(3x)2﹣12•3x+27=0,‎ 因式分解为:(3x﹣3)(3x﹣9)=0,‎ ‎∴3x=3,3x=9,‎ 解得x=1或2.‎ 经过验证:x=1不满足条件,舍去.‎ ‎∴x=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎9.(4分)(2015•上海)若x,y满足,则目标函数z=x+2y的最大值为 3 .‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.‎ ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).‎ 由z=x+2y得y=﹣x+z,‎ 平移直线y=﹣x+z,‎ 由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时,直线y=﹣x+z的截距最大,‎ 此时z最大.‎ 由,解得,即B(1,1),‎ 代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎10.(4分)(2015•上海)在报名的3名男老师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为 120 (结果用数值表示).‎ ‎【分析】根据题意,运用排除法分析,先在9名老师中选取5人,参加义务献血,由组合数公式可得其选法数目,再排除其中只有女教师的情况;即可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,报名的有3名男老师和6名女教师,共9名老师,‎ 在9名老师中选取5人,参加义务献血,有C95=126种;‎ 其中只有女教师的有C65=6种情况;‎ 则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种;‎ 故答案为:120.‎ ‎ ‎ ‎11.(4分)(2015•上海)在(2x+)6的二项式中,常数项等于 240 (结果用数值表示).‎ ‎【分析】写出二项展开式的通项,由x的指数为0求得r值,则答案可求.‎ ‎【解答】解:由(2x+)6,得 ‎=.‎ 由6﹣3r=0,得r=2.‎ ‎∴常数项等于.‎ 故答案为:240.‎ ‎ ‎ ‎12.(4分)(2015•上海)已知双曲线C1、C2的顶点重合,C1的方程为 ‎﹣y2=1,若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍,则C2的方程为  .‎ ‎【分析】求出C1的一条渐近线的斜率,可得C2的一条渐近线的斜率,利用双曲线C1、C2的顶点重合,可得C2的方程.‎ ‎【解答】解:C1的方程为﹣y2=1,一条渐近线的方程为y=,‎ 因为C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍,‎ 所以C2的一条渐近线的方程为y=x,‎ 因为双曲线C1、C2的顶点重合,‎ 所以C2的方程为.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎13.(4分)(2015•上海)已知平面向量、、满足⊥,且{||,||,||}={1,2,3},则|++|的最大值是 3+ .‎ ‎【分析】分别以所在的直线为x,y轴建立直角坐标系,分类讨论:当{||,||}={1,2},||=3,设,则x2+y2=9,则++=(1+x,2+y),有||=的最大值,其几何意义是圆x2+y2=9上点(x,y)与定点(﹣1,﹣2)的距离的最大值;其他情况同理,然后求出各种情况的最大值进行比较即可.‎ ‎【解答】解:分别以所在的直线为x,y轴建立直角坐标系,‎ ‎①当{||,||}={1,2},||=3,则,‎ 设,则x2+y2=9,‎ ‎∴++=(1+x,2+y),‎ ‎∴||=的最大值,其几何意义是圆x2+y2=9上点(x,y)与定点(﹣1,﹣2)的距离的最大值为=3+;‎ ‎②且{||,||}={1,3},||=2,则,x2+y2=4,‎ ‎∴++=(1+x,3+y)‎ ‎∴||=的最大值,其几何意义是圆x2+y2=4上点(x,y)与定点(﹣1,﹣3)的距离的最大值为2+=2+,‎ ‎③{||,||}={2,3},||=1,则,‎ 设,则x2+y2=1‎ ‎∴++=(2+x,3+y)‎ ‎∴||=的最大值,其几何意义是在圆x2+y2=1‎ 上取点(x,y)与定点(﹣2,﹣3)的距离的最大值为1+=1+‎ ‎∵,‎ 故|++|的最大值为3+.‎ 故答案为:3+‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)(2015•上海)已知函数f(x)=sinx.若存在x1,x2,…,xm满足0≤x1<x2<…<xm≤6π,且|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(xm﹣1)﹣f(xm)|=12(m≥2,m∈N*),则m的最小值为 8 .‎ ‎【分析】由正弦函数的有界性可得,对任意xi,xj(i,j=1,2,3,…,m),都有|f(xi)﹣f(xj)|≤f(x)max﹣f(x)min=2,要使m取得最小值,尽可能多让xi(i=1,2,3,…,m)取得最高点,然后作图可得满足条件的最小m值.‎ ‎【解答】解:∵y=sinx对任意xi,xj(i,j=1,2,3,…,m),都有|f(xi)﹣f(xj)|≤f(x)max﹣f(x)min=2,‎ 要使m取得最小值,尽可能多让xi(i=1,2,3,…,m)取得最高点,‎ 考虑0≤x1<x2<…<xm≤6π,|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(xm﹣1)﹣f(xm)|=12,‎ 按下图取值即可满足条件,‎ ‎∴m的最小值为8.‎ 故答案为:8.‎ ‎ ‎ 二、选择题(本大题共4小题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律零分.‎ ‎15.(5分)(2015•上海)设z1、z2∈C,则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的(  )‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可.‎ ‎【解答】解:若z1、z2均为实数,则z1﹣z2是实数,即充分性成立,‎ 当z1=i,z2=i,满足z1﹣z2=0是实数,但z1、z2均为实数不成立,即必要性不成立,‎ 故“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的充分不必要条件,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)(2015•上海)下列不等式中,与不等式<‎ ‎2解集相同的是(  )‎ A.(x+8)(x2+2x+3)<2 B.x+8<2(x2+2x+3)‎ C.< D.>‎ ‎【分析】根据x2+2x+3=(x+1)2+2>0,可得不等式<2,等价于x+8<2(x2+2x+3),从而得出结论.‎ ‎【解答】解:由于x2+2x+3=(x+1)2+2>0,不等式<2,等价于x+8<2(x2+2x+3),‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎17.(5分)(2015•上海)已知点A的坐标为(4,1),将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则点B的纵坐标为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据三角函数的定义,求出∠xOA的三角函数值,利用两角和差的正弦公式进行求解即可.‎ ‎【解答】解:∵点 A的坐标为(4,1),‎ ‎∴设∠xOA=θ,则sinθ==,cosθ==,‎ 将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,‎ 则OB的倾斜角为θ+,则|OB|=|OA|=,‎ 则点B的纵坐标为y=|OB|sin(θ+)=7(sinθcos+cosθsin)=7(×+)=+6=,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎18.(5分)(2015•上海)设 Pn(xn,yn)是直线2x﹣y=(n∈N*)与圆x2+y2=2在第一象限的交点,则极限=(  )‎ A.﹣1 B.﹣ C.1 D.2‎ ‎【分析】当n→+∞时,直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1,与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近(1,1),利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出.‎ ‎【解答】解:当n→+∞时,直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1,与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近(1,1),而可看作点 Pn(xn,yn)与(1,1)连线的斜率,其值会无限接近圆x2+y2=2在点(1,1)处的切线的斜率,其斜率为﹣1.‎ ‎∴=﹣1.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎19.(12分)(2015•上海)如图,圆锥的顶点为P,底面圆为O,底面的一条直径为AB,C为半圆弧的中点,E为劣弧的中点,已知PO=2,OA=1,求三棱锥P﹣AOC的体积,并求异面直线PA和OE所成角的大小.‎ ‎【分析】由条件便知PO为三棱锥P﹣AOC的高,底面积S△AOC又容易得到,从而带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积.根据条件能够得到OE∥AC,从而找到异面直线PA,OE所成角为∠PAC,可取AC中点H,连接PH,便得到PH ‎⊥AC,从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC,从而得到∠PAC.‎ ‎【解答】解:∵PO=2,OA=1,OC⊥AB;‎ ‎∴;‎ E为劣弧的中点;‎ ‎∴∠BOE=45°,又∠ACO=45°;‎ ‎∴OE∥AC;‎ ‎∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角;‎ 在△ACP中,AC=,;‎ 如图,取AC中点H,连接PH,则PH⊥AC,AH=;‎ ‎∴在Rt△PAH中,cos∠PAH=;‎ ‎∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos.‎ ‎ ‎ ‎20.(14分)(2015•上海)已知函数f(x)=ax2+,其中a为常数 ‎(1)根据a的不同取值,判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;‎ ‎(2)若a∈(1,3),判断函数f(x)在[1,2]上的单调性,并说明理由.‎ ‎【分析】(1)根据函数的奇偶性的定义即可判断,需要分类讨论;‎ ‎(2)根据导数和函数的单调性的关系即可判断.‎ ‎【解答】解:(1)当a=0时,f(x)=,显然为奇函数,‎ 当a≠0时,f(1)=a+1,f(﹣1)=a﹣1,f(1)≠f(﹣1),且f(1)+f(﹣1)≠0,‎ 所以此时f(x)为非奇非偶函数.‎ ‎(2)∵a∈(1,3),f(x)=ax2+,‎ ‎∴f′(x)=2ax﹣=,‎ ‎∵a∈(1,3),x∈[1,2],‎ ‎∴ax>1,‎ ‎∴ax3>1,‎ ‎∴2ax3﹣1>0,‎ ‎∴f′(x)>0,‎ ‎∴函数f(x)在[1,2]上的单调递增.‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)(2015•上海)如图,O,P,Q三地有直道相通,OP=3千米,PQ=4千米,OQ=5千米,现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地,经过t小时,他们之间的距离为f(t)(单位:千米).甲的路线是OQ,速度为5千米/小时,乙的路线是OPQ,速度为8千米/小时,乙到达Q地后在原地等待.设t=t1时乙到达P地,t=t2时乙到达Q地.‎ ‎(1)求t1与f(t1)的值;‎ ‎(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米,当t1≤t≤t2时,求f(t)的表达式,并判断f(t)在[t1,t2]上的最大值是否超过3?说明理由.‎ ‎【分析】(1)用OP长度除以乙的速度即可求得t1=,当乙到达P点时,可设甲到达A点,连接AP,放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP,也就得出f(t1);‎ ‎(2)求出t2=,设t ‎,且t小时后甲到达B地,而乙到达C地,并连接BC,能够用t表示出BQ,CQ,并且知道cos,这样根据余弦定理即可求出BC,即f(t),然后求该函数的最大值,看是否超过3即可.‎ ‎【解答】解:(1)根据条件知,设此时甲到达A点,并连接AP,如图所示,则OA=;‎ ‎∴在△OAP中由余弦定理得,f(t1)=AP==(千米);‎ ‎(2)可以求得,设t小时后,且,甲到达了B点,乙到达了C点,如图所示:‎ 则BQ=5﹣5t,CQ=7﹣8t;‎ ‎∴在△BCQ中由余弦定理得,f(t)=BC==;‎ 即f(t)=,;‎ 设g(t)=25t2﹣42t+18,,g(t)的对称轴为t=;‎ 且;‎ 即g(t)的最大值为,则此时f(t)取最大值;‎ 即f(t)在[t1,t2]上的最大值不超过3.‎ ‎ ‎ ‎22.(16分)(2015•上海)已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D,记△AOC的面积为S.‎ ‎(1)设A(x1,y1),C(x2,y2),用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离,并证明S=|;‎ ‎(2)设l1:y=kx,,S=,求k的值;‎ ‎(3)设l1与l2的斜率之积为m,求m的值,使得无论l1和l2如何变动,面积S保持不变.‎ ‎【分析】(1)依题意,直线l1的方程为y=x,利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=,再利用|AB|=2|AO|=2,可证得S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|;‎ ‎(2)由(1)得:S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=,进而得到答案;‎ ‎(3)方法一:设直线l1的斜率为k,则直线l1的方程为y=kx,联立方程组,消去y解得x=±,可求得x1、x2、y1、y2,利用S=|x1y2﹣x2y1|=•,设=c(常数),整理得:k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+(1+4m2)k2+2m2],由于左右两边恒成立,可得,此时S=;‎ 方法二:设直线l1、l2的斜率分别为、,则=m,则mx1x2=﹣y1y2,变形整理,利用A(x1,y1)、C(x2,y2)在椭圆x2+2y2=1上,可求得面积S的值.‎ ‎【解答】解:(1)依题意,直线l1的方程为y=x,由点到直线间的距离公式得:点C到直线l1的距离d==,‎ 因为|AB|=2|AO|=2,所以S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|;‎ ‎(2)由(1)A(x1,y1),C(x2,y2),‎ S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=.‎ 所以|x1﹣y1|=,由x12+2y12=1,‎ 解得A(,﹣)或(,﹣)‎ 或(﹣,)或(﹣,),‎ 由k=,得k=﹣1或﹣;‎ ‎(3)方法一:设直线l1的斜率为k,则直线l2的斜率为,直线l1的方程为y=kx,‎ 联立方程组,消去y解得x=±,‎ 根据对称性,设x1=,则y1=,‎ 同理可得x2=,y2=,‎ 所以S=|x1y2﹣x2y1|=•,设=c(常数),‎ 所以(m﹣k2)2=c2(1+2k2)(k2+2m2),‎ 整理得:k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+(1+4m2)k2+2m2],‎ 由于左右两边恒成立,所以只能是,所以,此时S=,‎ 综上所述,m=﹣,S=.‎ 方法二:设直线l1、l2的斜率分别为、,则=m,‎ 所以mx1x2=y1y2,‎ ‎∴m2==mx1x2y1y2,‎ ‎∵A(x1,y1)、C(x2,y2)在椭圆x2+2y2=1上,‎ ‎∴()()=+4+2(+)=1,‎ 即(+4m)x1x2y1y2+2(+)=1,‎ 所以+﹣2x1x2y1y2=(x1y2﹣x2y1)2=[1﹣(4m+)x1x2y1y2]﹣2x1x2y1y2‎ ‎=﹣(2m++2)x1x2y1y2,是常数,所以|x1y2﹣x2y1|是常数,‎ 所以令2m++2=0即可,‎ 所以,m=﹣,S=.‎ 综上所述,m=﹣,S=.‎ ‎ ‎ ‎23.(18分)(2015•上海)已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2(bn+1﹣bn),n∈N*.‎ ‎(1)若bn=3n+5,且a1=1,求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设{an}的第n0项是最大项,即an0≥an(n∈N*),求证:{bn}的第n0项是最大项;‎ ‎(3)设a1=3λ<0,bn=λn(n∈N*),求λ的取值范围,使得对任意m,n∈N*,an≠0,且.‎ ‎【分析】(1)把bn=3n+5代入已知递推式可得an+1﹣an=6,由此得到{an}是等差数列,则an可求;‎ ‎(2)由an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1,结合递推式累加得到an=2bn+a1﹣2b1,求得,进一步得到 得答案;‎ ‎(3)由(2)可得,然后分﹣1<λ<0,λ=﹣1,λ<﹣1三种情况求得an的最大值M和最小值m,再由∈()列式求得λ的范围.‎ ‎【解答】(1)解:∵an+1﹣an=2(bn+1﹣bn),bn=3n+5,‎ ‎∴an+1﹣an=2(bn+1﹣bn)=2(3n+8﹣3n﹣5)=6,‎ ‎∴{an}是等差数列,首项为a1=1,公差为6,‎ 则an=1+(n﹣1)×6=6n﹣5;‎ ‎(2)∵an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1‎ ‎=2(bn﹣bn﹣1)+2(bn﹣1﹣bn﹣2)+…+2(b2﹣b1)+a1‎ ‎=2bn+a1﹣2b1,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴数列{bn}的第n0项是最大项;‎ ‎(3)由(2)可得,‎ ‎①当﹣1<λ<0时,单调递减,有最大值;‎ 单调递增,有最小值m=a1=3λ<0,‎ ‎∴的最小值为,最大值为,‎ 则,解得.‎ ‎∴λ∈().‎ ‎②当λ=﹣1时,a2n=1,a2n﹣1=﹣3,‎ ‎∴M=3,m=﹣1,不满足条件.‎ ‎③当λ<﹣1时,当n→+∞时,a2n→+∞,无最大值;‎ 当n→+∞时,a2n﹣1→﹣∞,无最小值.‎ 综上所述,λ∈(﹣,0)时满足条件.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:caoqz;whgcn;沂蒙松;sxs123;maths;刘长柏;danbo7801;吕静;wkl197822;wfy814(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日
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