2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第十章　第3讲　二项式定理

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第十章　第3讲　二项式定理

‎ [基础题组练]‎ ‎1.的展开式中的常数项为(　　)‎ A．－3 B．3 C．6 D．－6‎ 解析：选D.通项Tr＋1＝C(－x4)r＝C()3－r·(－1)rx－6＋6r，当－6＋6r＝0，即r＝1时为常数项，T2＝－6，故选D.‎ ‎2．(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数为(　　)‎ A．50 B．55‎ C．45 D．60‎ 解析：选B.(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数是C＋C＋C＝55.故选B.‎ ‎3．(2020·四川成都实验外国语学校二诊)已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n＝(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ 解析：选C.二项式的各项系数的和为(1＋3)n＝4n，二项式的各项二项式系数的和为2n，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，所以＝2n＝64，n＝6.故选C.‎ ‎4．在(1－x)5(2x＋1)的展开式中，含x4项的系数为(　　)‎ A．－5 B．－15‎ C．－25 D．25‎ 解析：选B.因为(1－x)5＝(－x)5＋5x4＋C(－x)3＋…，所以在(1－x)5·(2x＋1)的展开式中，含x4项的系数为5－2C＝－15.故选B.‎ ‎5．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为(　　)‎ A．2n－1 B．2n－1‎ C．2n＋1－1 D．2n 解析：选C.令x＝1，得1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1.‎ ‎6．(2020·湖南岳阳二模)将多项式a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0分解因式得(x－2)(x＋2)5，则a5＝(　　)‎ A．8 B．10‎ C．12 D．1‎ 解析：选A.(x－2)(x＋2)5＝(x2－4)·(x＋2)4，所以(x＋2)4的展开式中x3的系数为C·21＝8，所以a5＝8.故选A.‎ ‎7．(x2＋2)展开式中的常数项是(　　)‎ A．12 B．－12‎ C．8 D．－8‎ 解析：选B.展开式的通项公式为Tr＋1＝C(－1)r＝(－1)rCxr－5，当r－5＝－2或r－5＝0，即r＝3或r＝5时，展开式的常数项是(－1)3C＋2(－1)5C＝－12.故选B.‎ ‎8.展开式中的常数项为(　　)‎ A．1 B．21‎ C．31 D．51‎ 解析：选D.因为＝ ‎＝C(x＋1)5＋C(x＋1)4·＋C(x＋1)3·＋C(x＋1)2·＋C(x＋1)1·＋C.‎ 所以展开式中的常数项为C·C·15＋C·C·13＋C·C·12＝51.故选D.‎ ‎9．已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝(　　)‎ A．1 B．243‎ C．121 D．122‎ 解析：选B.令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①‎ 令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②‎ ‎①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，‎ 即a4＋a2＋a0＝－121.‎ ‎①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，‎ 即a5＋a3＋a1＝122.‎ 所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.故选B.‎ ‎10．(2020·海口调研)若(x2－a)的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　)‎ A. B． C．1 D．2‎ 解析：选D.由题意得的展开式的通项公式是Tk＋1＝C·x10－k·＝Cx10－2k，的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D.‎ ‎11．若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于(　　)‎ A．2n B． C．2n＋1 D． 解析：选D.设f(x)＝(1＋x＋x2)n，‎ 则f(1)＝3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，①‎ f(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，②‎ 由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝f(1)＋f(－1)，‎ 所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝＝.‎ ‎12．已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值为(　　)‎ A．39 B．310‎ C．311 D．312‎ 解析：选D.对(x＋2)9＝ a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9两边同时求导，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝312，故选D.‎ ‎13．(x－y)4的展开式中，x3y3项的系数为________．‎ 解析：二项展开式的通项是Tk＋1＝C(x)4－k·(－y)k＝(－1)kCx4－y2＋，令4－＝2＋＝3，解得k＝2，故展开式中x3y3的系数为(－1)2C＝6.‎ 答案：6‎ ‎14.(x>0)的展开式中的常数项为________．‎ 解析：(x>0)可化为，因而Tr＋1＝C()10－2r，令10－2r＝0，则r＝5，‎ 故展开式中的常数项为C·＝.‎ 答案： ‎15．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝________．‎ 解析：(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C，所以a＝C.‎ 同理，b＝C.‎ 因为13a＝7b，所以13·C＝7·C.‎ 所以13·＝7·.‎ 所以m＝6.‎ 答案：6‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．已知C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，则C＋C＋…＋C的值等于(　　)‎ A．64 B．32‎ C．63 D．31‎ 解析：选C.因为C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，所以(1－4)n＝36，所以n＝6，因此C＋C＋…＋C＝2n－1＝26－1＝63，故选C.‎ ‎2．设a∈Z，且0≤a<13，若512 018＋a能被13整除，则a＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C．11 D．12‎ 解析：选D.512 018＋a＝(52－1)2 018＋a＝C522 018－C522 017＋…＋C×52×(－1)2 017＋C×(－1)2 018＋a.因为52能被13整除，所以只需C×(－1)2 018＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，所以a＝12.‎ ‎3．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N+)是一个单调递增数列，则k的最大值是________．‎ 解析：由二项式定理知，an＝C(n＝1，2，3，…，11)．又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6＝C，则k的最大值为6.‎ 答案：6‎ ‎4．设a＝2x dx，则二项式的展开式中的常数项为________．‎ 解析：a＝2x dx＝x2＝1，则二项式＝，其展开式的通项公式为Tr＋1＝C ‎(x2)6－r·＝(－1)rCx12－3r，‎ 令12－3r＝0，解得r＝4.‎ 所以常数项为(－1)4C＝15.‎ 答案：15‎ ‎5．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：‎ ‎(1)a1＋a2＋…＋a7；‎ ‎(2)a1＋a3＋a5＋a7；‎ ‎(3)a0＋a2＋a4＋a6；‎ ‎(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.‎ 解：令x＝1，‎ 则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①‎ 令x＝－1，‎ 则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②‎ ‎(1)因为a0＝C＝1，‎ 所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.‎ ‎(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.‎ ‎(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.‎ ‎(4)因为(1－2x)7的展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，‎ 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|‎ ‎＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)‎ ‎＝1 093－(－1 094)＝2 187.‎ ‎6．已知的展开式中，前三项的系数成等差数列．‎ ‎(1)求n；‎ ‎(2)求展开式中的有理项；‎ ‎(3)求展开式中系数最大的项．‎ 解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C，C，C，‎ 由已知得2×C＝C＋C，‎ 解得n＝8(n＝1舍去)．‎ ‎(2)的展开式的通项Tr＋1＝C()8－r·＝2－rCx4－ (r＝0，1，…，8)，‎ 要求有理项，则4－必为整数，即r＝0，4，8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝x，T9＝.‎ ‎(3)设第r＋1项的系数为ar＋1最大，则ar＋1＝2－rC，‎ 则＝＝≥1，‎ ＝＝≥1，‎ 解得2≤r≤3.‎ 当r＝2时，a3＝2－2C＝7，当r＝3时，a4＝2－3C＝7，‎ 因此，第3项和第4项的系数最大，‎ 故系数最大的项为T3＝7x，T4＝7x.‎