2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第四章　第3讲　第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第四章　第3讲　第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

‎ [基础题组练]‎ ‎1．(2020·新余一模)若sin＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　 B． C．－ D．－ 解析：选D.因为sin＝，所以cos 2α＝，因此sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝1－2cos2α＝－cos 2α＝－，选D.‎ ‎2．(2020·湖南长沙长郡中学一模)已知sin(α＋2β)＝，cos β＝，α，β为锐角，则sin(α＋β)的值为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选D.因为cos β＝，0<β<，所以sin β＝，cos 2β＝2cos2β－1＝2×－1＝－<0，‎ 所以<2β<π.‎ 因为sin(α＋2β)＝，α为锐角，所以<α＋2β<π，‎ 所以cos(α＋2β)＝－，‎ 所以sin(α＋β)＝sin[(α＋2β)－β]‎ ‎＝sin(α＋2β)cos β－cos(α＋2β)sin β ‎＝×－×＝.故选D.‎ ‎3．已知tan＝，且－<α<0，则＝(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D． 解析：选A.因为tan＝＝，所以tan α＝－，因为tan α＝，sin2α＋cos2α＝1，α∈，所以sin α＝－.‎ 所以＝＝‎ ＝2sin α＝2×＝－.故选A.‎ ‎4．已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　)‎ A. B．－ C. D．± 解析：选A.因为cos＝，‎ 所以cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x ‎＝＝cos ＝×＝.‎ 故选A.‎ ‎5.的值是(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选C.原式＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎6．sin 10°sin 50°sin 70°＝________．‎ 解析：sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cos 40°cos 20°‎ ‎＝＝＝.‎ 答案： ‎7．(2020·洛阳模拟)已知cos＋sin α＝，则sin＝________．‎ 解析：由cos＋sin α＝，‎ 可得cos α＋sin α＋sin α＝，‎ 即sin α＋cos α＝，‎ 所以sin＝，‎ 即sin＝，‎ 所以sin＝－sin＝－.‎ 答案：－ ‎8．已知tan α＝，tan＝，则m＝________．‎ 解析：由题意，tan α＝，tan＝＝，则＝，所以m＝－6或1.‎ 答案：－6或1‎ ‎9．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.‎ ‎(1)求sin的值；‎ ‎(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．‎ 解：(1)由角α的终边过点P得sin α＝－，‎ 所以sin(α＋π)＝－sin α＝.‎ ‎(2)由角α的终边过点P得cos α＝－，‎ 由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.‎ 由β＝(α＋β)－α得 cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，‎ 所以cos β＝－或cos β＝.‎ ‎10．已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.‎ ‎(1)求cos 2α的值；‎ ‎(2)求tan(α－β)的值．‎ 解：(1)因为tan α＝，tan α＝，‎ 所以sin α＝cos α.‎ 因为sin2 α＋cos2 α＝1，‎ 所以cos2 α＝，‎ 因此cos 2α＝2cos2 α－1＝－.‎ ‎(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．‎ 又因为cos(α＋β)＝－，‎ 所以sin(α＋β)＝＝，‎ 因此tan(α＋β)＝－2.‎ 因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－，‎ 所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·河南九师联盟2月质量检测)若α∈，且cos 2α＝sin，则tan α＝(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选A.因为α∈，所以sin α＋cos α>0.‎ 因为cos 2α＝sin，‎ 所以(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(sin α＋cos α)，‎ 所以cos α－sin α＝.‎ 将cos α－sin α＝两边平方可得1－2sin αcos α＝，‎ 所以sin αcos α＝.所以＝.‎ 分子、分母同除以cos2 α可得＝，‎ 解得tan α＝或(舍)，即tan α＝.‎ ‎2．(创新型)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝(　　)‎ A．8 B．4‎ C．2 D．1‎ 解析：选C.因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.‎ 所以＝＝＝＝＝2.故选C.‎ ‎3．已知0<α<，且sin α＝，则tan＝________；＝________．‎ 解析：因为0<α<，且sin α＝，‎ 所以cos α＝＝，‎ 所以tan α＝＝，‎ 则tan＝tan(α＋)＝＝7.‎ ＝＝＝＝.‎ 答案：7　 ‎4．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．‎ 解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1，‎ 得sin(α－β)＝1，‎ 又α，β∈[0，π]，所以α－β＝，‎ 所以即≤α≤π，‎ 所以sin(2α－β)＋sin(α－2β)‎ ‎＝sin＋sin(α－2α＋π)‎ ‎＝cos α＋sin α＝sin.‎ 因为≤α≤π，‎ 所以≤α＋≤，‎ 所以－1≤sin≤1，‎ 即取值范围为[－1，1]．‎ 答案：[－1，1]‎ ‎5．已知coscos＝－，α∈.‎ ‎(1)求sin 2α的值；‎ ‎(2)求tan α－的值．‎ 解：(1)coscos ‎＝cossin＝sin＝－，即sin＝－.‎ 因为α∈，‎ 所以2α＋∈，‎ 所以cos＝－，‎ 所以sin 2α＝sin ‎＝sincos －cossin ＝－×－×＝.‎ ‎(2)因为α∈，所以2α∈，‎ 又由(1)知sin 2α＝，所以cos 2α＝－.‎ 所以tan α－＝－＝ ‎＝＝－2×＝2.‎ ‎6.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是.‎ ‎(1)求cos(α－β)的值；‎ ‎(2)求2α－β的值．‎ 解：(1)由题意，OA＝OM＝1，‎ 因为S△OAM＝，α为锐角，‎ 所以sin α＝，cos α＝.‎ 又点B的纵坐标是.‎ 所以sin β＝，cos β＝－，‎ 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.‎ ‎(2)因为cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－，‎ sin 2α＝2sin α·cos α＝2××＝，‎ 所以2α∈.‎ 因为β∈，‎ 所以2α－β∈.‎ 因为sin(2α－β)＝sin 2α·cos β－cos 2α·sin β＝－，‎ 所以2α－β＝－.‎