2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破:第八章 7 第7讲 1 第1课时 空间角

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破:第八章 7 第7讲 1 第1课时 空间角

‎[基础题组练]‎ ‎1.在直三棱柱ABCA1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于(  )‎ A.30°           B.45°‎ C.60° D.90°‎ 解析:选C.不妨设AB=AC=AA1=1,建立空间直角坐标系如图所示,则B(0,-1,0),A1(0,0,1),A(0,0,0),C1(-1,0,1),‎ 所以=(0,1,1),‎ =(-1,0,1),‎ 所以cos〈,〉‎ ‎===,‎ 所以〈,〉=60°,‎ 所以异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.‎ ‎2.在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,点D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为(  )‎ A.    B. C.    D. 解析:选C.以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,E,‎ F.‎ 所以=(0,0,-2),=,‎ =.‎ 设平面DFE的法向量为n=(x,y,z),‎ 则由得 取z=1,则n=(2,0,1),设直线PA与平面DEF所成的角为θ,则sin θ=|cos〈,n〉|==,所以直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.‎ ‎3.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________.‎ 解析:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设棱长为1,‎ 则A1(0,0,1),E,‎ D(0,1,0),‎ 所以=(0,1,-1),‎ =,‎ 设平面A1ED的一个法向量为n1=(1,y,z),‎ 则所以所以n1=(1,2,2).‎ 因为平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),‎ 所以cos〈n1,n2〉==.‎ 即所成的锐二面角的余弦值为.‎ 答案: ‎4.在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=1,点D在棱BB1上,若BD=1,则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为________.‎ 解析:如图,设AD与平面AA1C1C所成的角为α,点E为AC的中点,连接BE,则BE⊥AC,所以BE⊥平面AA1C1C,可得·=(+)·=·=1××==××cos θ(θ为与的夹角),所以cos θ==sin α,所以所求角的正切值为tan α==.‎ 答案: ‎5.已知单位正方体ABCDA1B1C1D1,E,F分别是棱B1C1,C1D1的中点.试求:‎ ‎(1)AD1与EF所成角的大小;‎ ‎(2)AF与平面BEB1所成角的余弦值.‎ 解:建立如图所示的空间直角坐标系B1xyz,得A(1,0,1),‎ B(0,0,1),D1(1,1,0),‎ E,F.‎ ‎(1)因为=(0,1,-1),‎ =,‎ 所以cos〈,〉==,‎ 即AD1与EF所成的角为60°.‎ ‎(2)=,由图可得,=(1,0,0)为平面BEB1的一个法向量,设AF与平面BEB1所成的角为θ,则sin θ=|cos〈,〉|==,所以cos θ=.‎ 即AF与平面BEB1所成角的余弦值为.‎ ‎6.(2020·宁波市余姚中学高三期中)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,点Q为AD的中点.‎ ‎(1)若PA=PD,求证:平面PQB⊥平面PAD;‎ ‎(2)设点M是线段PC上的一点,PM=tPC,且PA∥平面MQB.‎ ‎①求实数t的值;‎ ‎②若PA=PD=AD=2,且平面PAD⊥平面ABCD,求二面角MBQC的大小.‎ 解:(1)证明:连接BD,因为四边形ABCD为菱形,‎ ‎∠BAD=60°,‎ 所以△ABD是正三角形,又Q为AD中点,‎ 所以AD⊥BQ.‎ 因为PA=PD,Q为AD中点,所以AD⊥PQ.‎ 又BQ∩PQ=Q,所以AD⊥平面PQB,AD⊂平面PAD,‎ 所以平面PQB⊥平面PAD.‎ ‎(2)①当t=时,使得PA∥平面MQB.‎ 连接AC交BQ于N,交BD于O,‎ 则O为BD的中点,又因为BQ为△ABD边AD上的中线,所以N为正三角形ABD的重心,‎ 令菱形ABCD的边长为a,则AN=a,AC=a.‎ 因为PA∥平面MQB,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面MQB=MN,所以PA∥MN,‎ ===,即PM=PC,t=.‎ ‎②因为PQ⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,所以QA,QB,QP两两垂直,‎ 以Q为坐标原点,分别以QA,QB,QP所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Qxyz,‎ 由PA=PD=AD=2,则B(0,,0),C(-2,,0),‎ P(0,0,),设M(a,b,c),‎ 则=(a,b,c-),=(-2,,-),‎ 因为PM=PC,所以=,‎ 所以a=-,b=,c=,所以M,‎ 设平面MQB的法向量n=(x,y,z),‎ 由=,=(0,,0),‎ 且n⊥,n⊥,得,‎ 取z=1,得n=(,0,1),‎ 又平面ABCD的法向量m=(0,0,1),‎ 所以cos〈m,n〉==,‎ 由图知二面角MBQC的平面角为锐角,‎ 所以二面角MBQC的大小为60°.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.(2020·杭州中学高三月考)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA⊥底面ABCD,点M是棱PD的中点,且PA=AB=AC=2,BC=2.‎ ‎(1)求证:CD⊥平面PAC;‎ ‎(2)求二面角MABC的大小;‎ ‎(3)如果N是棱AB上一点,且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为,求的值.‎ 解:(1)证明:因为在△ABC中,AB=AC=2,BC=2,‎ 所以BC2=AB2+AC2,所以AB⊥AC,‎ 因为AB∥CD,所以AC⊥CD,‎ 又因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,‎ 因为AC∩PA=A,所以CD⊥平面PAC.‎ ‎(2)如图,建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),D(-2,2,0),‎ 因为点M是棱PD的中点,所以M(-1,1,1),‎ 所以=(-1,1,1),=(2,0,0),‎ 设n=(x,y,z)为平面MAB的法向量,‎ 所以,即.‎ 令y=1,则,‎ 所以平面MAB的法向量n=(0,1,-1).‎ 因为PA⊥平面ABCD,‎ 所以=(0,0,2)是平面ABC的一个法向量.‎ 所以cos〈n,〉===-.‎ 因为二面角MABC为锐二面角,‎ 所以二面角MABC的大小为.‎ ‎(3)因为N是棱AB上一点,‎ 所以设N(x,0,0),=(-x,2,0),‎ 设直线CN与平面MAB所成角为α,‎ 因为平面MAB的法向量n=(0,1,-1),‎ 所以sin α=|cos〈,n〉|==,‎ 解得x=1,即AN=1,NB=1,所以=1.‎ ‎2.(2020·惠州市第三次调研考试)如图,四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面,点P在圆柱OQ的底面圆周上,点G是DP的中点,圆柱OQ的底面圆的半径OA=2,侧面积为8π,∠AOP=120°.‎ ‎(1)求证:AG⊥BD;‎ ‎(2)求二面角PAGB的平面角的余弦值.‎ 解:建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,‎ 由题意可知8π=2×2π×AD,解得AD=2.‎ 则A(0,0,0),B(0,4,0),D(0,0,2),P(,3,0),‎ 因为G是DP的中点,所以可求得G.‎ ‎(1)证明:=(0,-4,2),=.‎ 所以·=·(0,-4,2)=0,‎ 所以AG⊥BD.‎ ‎(2)=(,-1,0),=,=,=,‎ 因为·=0,·=0,所以是平面APG的法向量.‎ 设n=(x,y,1)是平面ABG的法向量,由n·=0,n·=0.解得n=(-2,0,1),‎ cos〈,n〉===-.‎ 结合图形得,二面角PAGB的平面角的余弦值为.‎ ‎3.(2020·温州十五校联考)已知菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于一点O,∠BAD=60°,将△BDC沿着BD折起得△BDC′,连接AC′.‎ ‎(1)求证:平面AOC′⊥平面ABD;‎ ‎(2)若点C′在平面ABD上的投影恰好是△ABD的重心,求直线CD与底面ADC′所成角的正弦值.‎ 解:(1)证明:因为C′O⊥BD,AO⊥BD,C′O∩AO=O,所以BD⊥平面C′OA,又因为BD⊂平面ABD,所以平面AOC′⊥平面ABD.‎ ‎(2)如图建系Oxyz,令AB=a,则A,‎ B,D,C′,‎ 所以==,平面ADC′的法向量为m=,设直线CD与底面ADC′所成角为θ,则sin θ=|cos〈,m〉|===,‎ 故直线CD与底面ADC′所成角的正弦值为.‎ ‎4.如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD的中点.‎ ‎(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值;‎ ‎(2)求B点到平面PCD的距离;‎ ‎(3)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角QACD的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)在△PAD中,PA=PD,O为AD中点,所以PO⊥AD,又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD.‎ 在直角梯形ABCD中,连接OC,易得OC⊥AD,所以以O为坐标原点,直线OC为x轴,直线OD为y轴,直线OP为z轴可建立空间直角坐标系Qxyz(、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向),则P(0,0,1),A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),所以=(1,-1,-1).‎ 易证OA⊥平面POC,‎ 所以=(0,-1,0)是平面POC的一个法向量,‎ 又cos〈,〉==,‎ 所以直线PB与平面POC所成角的余弦值为.‎ ‎(2)=(0,1,-1),=(-1,0,1),‎ 设平面PCD的法向量为u=(x,y,z),‎ 则取z=1,得u=(1,1,1).‎ 所以B点到平面PCD的距离为d==.‎ ‎(3)存在.设=λ(0≤λ<1),‎ 因为=(0,1,-1),所以=(0,λ,-λ)=-,‎ 所以=(0,λ,1-λ),所以Q(0,λ,1-λ).‎ 设平面CAQ的法向量为m=(x′,y′,z′),‎ 则 取z′=λ+1,得m=(1-λ,λ-1,λ+1),‎ 易知平面CAD的一个法向量为n=(0,0,1),‎ 因为二面角QACD的余弦值为,‎ 所以|cos〈m,n〉|==,‎ 得3λ2-10λ+3=0,‎ 解得λ=或λ=3(舍去),‎ 所以存在点Q,使得二面角QACD的余弦值为,且=.‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档