2020年高中数学新教材同步必修第二册 第8章 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

2020年高中数学新教材同步必修第二册 第8章 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 学习目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展 开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积. 知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积 图形 表面积公式 旋转体 圆柱 底面积：S 底＝2πr2 侧面积：S 侧＝2πrl 表面积：S＝2πr(r＋l) 圆锥 底面积：S 底＝πr2 侧面积：S 侧＝πrl 表面积：S＝πr(r＋l) 圆台 上底面面积：S 上底＝πr′2 下底面面积：S 下底＝πr2 侧面积：S 侧＝π(r′l＋rl) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 知识点二 圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V 圆柱＝Sh＝πr2h 圆柱底面圆的半径为 r，面积 为 S，高为 h 圆锥 V 圆锥＝1 3Sh＝1 3πr2h 圆锥底面圆的半径为 r，面积 为 S，高为 h 圆台 V 圆台＝1 3(S＋ SS′＋ S′)h ＝1 3π(r2＋rr′＋r′2)h 圆台上底面圆的半径为 r′， 面积为 S′，下底面圆的半径 为 r，面积为 S，高为 h 知识点三 球的表面积和体积公式 1.球的表面积公式 S＝4πR2(R 为球的半径). 2.球的体积公式 V＝4 3πR3. 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.( × ) 2.圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关.( √ ) 3.球的体积是关于球半径的一个函数.( √ ) 4.球的表面积是球的体积的 6 倍.( × ) 一、圆柱、圆锥、圆台的表面积 例 1 (1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A.1∶2 B.1∶ 3 C.1∶ 5 D. 3∶2 答案 C 解析 设圆锥底面半径为 r，则高 h＝2r，∴其母线长 l＝ 5r，∴S 侧＝πrl＝ 5πr2，S 底＝πr2， S 底∶S 侧＝1∶ 5. (2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台的侧面积为 84π， 则该圆台较小底面的半径为( ) A.7 B.6 C.5 D.3 答案 A 解析 设圆台较小底面的半径为 r，则另一底面的半径为 3r. 由 S 侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得 r＝7. 反思感悟 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形 计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. 跟踪训练 1 圆柱的一个底面积是 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 ( ) A.4πS B.2πS C.πS D.2 3 3 πS 答案 A 解析 设底面半径为 r，则πr2＝S， ∴r＝ S π ， ∴底面周长为 2πr＝2π S π ， 又侧面展开图为一个正方形， ∴侧面积是 2π S π 2＝4πS. 二、圆柱、圆锥、圆台的体积 例 2 (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长 12 cm，宽 8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积可能是 ( ) A.288 π cm3 B.192 π cm3 C.288π cm3 D.192π cm3 答案 AB 解析 当圆柱的高为 8 cm 时，V＝π× 12 2π 2×8＝288 π (cm3)，当圆柱的高为 12 cm 时，V＝ π× 8 2π 2×12＝192 π (cm3). (2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16 2π，则圆锥的体积是( ) A.64π 3 B.128π 3 C.64π D.128 2π 答案 A 解析 作圆锥的轴截面，如图所示： 由题意知，在△PAB 中，∠APB＝90°，PA＝PB. 设圆锥的高为 h，底面半径为 r，则 h＝r，PB＝ 2r. 由 S 侧＝π·r·PB＝16 2π，得 2πr2＝16 2π，所以 r＝4.则 h＝4. 故圆锥的体积 V 圆锥＝1 3πr2h＝64 3 π. 反思感悟 求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面，准确求出几何体的高和底面 积. 跟踪训练 2 已知圆台的上、下底面半径和高的比为 1∶4∶4，母线长为 10，则圆台的体积 为________. 答案 224π 解析 设上底面半径为 r，则下底面半径为 4r，高为 4r，如图. ∵母线长为 10，∴102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得 r＝2. ∴下底面半径 R＝8，高 h＝8， ∴V 圆台＝1 3π(r2＋rR＋R2)h＝224π. 三、球的表面积和体积 例 3 (1)已知球的表面积为 64π，求它的体积； (2)已知球的体积为500 3 π，求它的表面积. 解 (1)设球的半径为 R，则 4πR2＝64π，解得 R＝4， 所以球的体积 V＝4 3πR3＝4 3π·43＝256 3 π. (2)设球的半径为 R，则4 3πR3＝500 3 π，解得 R＝5， 所以球的表面积 S＝4πR2＝4π×52＝100π. 反思感悟 计算球的表面积和体积的关键是确定球的半径. 跟踪训练 3 一个球的表面积是 16π，则它的体积是( ) A.64π B.64π 3 C.32π D.32π 3 答案 D 解析 设球的半径为 R，则由题意可知 4πR2＝16π，故 R＝2.所以球的半径为 2，体积 V＝4 3πR3 ＝32 3 π. 1.直径为 6 的球的表面积和体积分别是( ) A.36π，144π B.36π，36π C.144π，36π D.144π，144π 答案 B 2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( ) A.1＋2π 2π B.1＋2π 4π C.1＋2π π D.1＋4π 2π 答案 A 解析 设圆柱的底面圆半径为r，高为h，由题意得h＝2πr，∴圆柱的表面积S 表＝2πr2＋2πr×h ＝2πr2＋2πr×2πr＝2πr2·(1＋2π)，圆柱的侧面积 S 侧＝2πr×h＝2πr×2πr＝4π2r2，故S 表 S 侧 ＝ 2πr21＋2π 4π2r2 ＝1＋2π 2π . 3.圆锥的表面积是底面积的 3 倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A.120° B.150° C.180° D.240° 答案 C 解析 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l， S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧， 即 2πr2＝πrl，得 2r＝l. 设侧面展开图的圆心角为θ，则 θπl 180° ＝2πr，∴θ＝180°. 4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为 a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比 为________. 答案 2∶1 解析 S 圆柱＝2·π a 2 2＋2π·a 2·a＝3 2πa2. S 圆锥＝π a 2 2＋π·a 2·a＝3 4πa2. ∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1. 5.圆台的体积为 7π，上、下底面的半径分别为 1 和 2，则圆台的高为________. 答案 3 解析 设圆台的高为 h， 由题意知，V＝1 3(π＋2π＋4π)h＝7π， 所以 h＝3. 1.知识清单： (1)圆柱、圆锥、圆台的表面积. (2)圆柱、圆锥、圆台的体积. (3)球的表面积和体积. 2.方法归纳：公式法. 3.常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚. 1.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A.3 B.2 C.1 D.1 2 答案 A 解析 设球的半径为 R，则 4πR2＝4 3πR3，所以 R＝3. 2.两个球的体积之比为 8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A.2∶3 B.4∶9 C. 2∶ 3 D. 8∶ 27 答案 B 解析 由两球的体积之比为 8∶27， 可得半径之比为 2∶3， 故表面积之比是 4∶9. 3.将边长为 4 cm 和 8 cm 的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为( ) A.32 π cm2 B.32π cm2 C.32 cm2 D.16 π cm2 答案 A 解析 当以 4 cm 为母线长时，设圆柱底面半径为 r， 则 2πr＝8，∴2r＝8 π ， ∴S 轴截面＝4×8 π ＝32 π (cm2). 当以 8 cm 为母线长时，设圆柱底面半径为 R， 则 2πR＝4,2R＝4 π ， ∴S 轴截面＝8×4 π ＝32 π (cm2). 综上，圆锥的轴截面的面积为32 π cm2. 4.已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成 的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2 2π 3 B.4 2π 3 C.2 2π D.4 2π 答案 B 解析 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面 重合，等体积的圆锥，如图所示.每一个圆锥的底面半径和高都为 2，故所求几何体的体积 V＝2×1 3 ×2π× 2＝4 2π 3 . 5.如图，圆柱形容器内盛有高度为 6 cm 的水，若放入 3 个相同的铁球(球的半径与圆柱的底 面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为( ) A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm 答案 B 解析 由题意可得，设球的半径为 r，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的 体积， ∴3×4 3πr3＝πr2(6r－6)，解得 r＝3，故选 B. 6.一个平面截一球得到直径为 6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为 4 cm，则球的体积为 ________cm3. 答案 500π 3 解析 如图所示， 由已知得 O1A＝3 cm，OO1＝4 cm，从而 R＝OA＝5 cm. 所以 V 球＝4π 3 ×53＝500π 3 (cm3). 7.若圆锥的侧面展开图为一个半径为 2 的半圆，则圆锥的体积是________. 答案 3 3 π 解析 圆锥的母线长 l＝2，设圆锥的底面半径为 r， 则 2πr＝1 2 ×2π×2，∴r＝1， ∴圆锥的高 h＝ l2－r2＝ 3， 则圆锥的体积 V＝1 3πr2h＝ 3 3 π. 8.现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个.若 将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新 的底面半径为________. 答案 7 解析 设新的底面半径为 r，则有1 3 ×πr2×4＋πr2×8＝1 3 ×π×52×4＋π×22×8，解得 r＝ 7. 9.如图在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3的圆柱，求圆柱的表面积. 解 设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，表面积为 S. 则 R＝OC＝2，AC＝4，AO＝ 42－22＝2 3. 如图所示，易知△AEB∽△AOC，∴AE AO ＝EB OC ， 即 3 2 3 ＝r 2 ，∴r＝1， S 底＝2πr2＝2π，S 侧＝2πr·h＝2 3π. ∴S＝S 底＋S 侧＝2π＋2 3π＝(2＋2 3)π. 10.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中 r＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积. 解 该组合体的表面积 S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π. 该组合体的体积 V＝4 3πr3＋πr2l ＝4 3π×13＋π×12×3＝13π 3 . 11.已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面 是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A.12 2π B.12π C.8 2π D.10π 答案 B 解析 ∵过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形， ∴圆柱的高为 2 2，底面圆的直径为 2 2， ∴该圆柱的表面积为 2×π×( 2)2＋2π× 2×2 2＝12π. 12.若一个球的外切正方体的表面积等于 6 cm2，则此球的体积为( ) A.π 6 cm3 B. 6π 8 cm3 C.4π 3 cm3 D. 6π 6 cm3 答案 A 解析 设球的半径为 R cm，正方体棱长为 a cm， ∴6a2＝6，∴a＝1 cm，即 2R＝1，∴R＝1 2 cm， ∴球的体积 V＝4 3πR3＝4 3π× 1 2 3＝π 6 cm3. 13.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A.1∶ 3 B.1∶3 C.1∶3 3 D.1∶9 答案 C 解析 设正方体的棱长为 a，则其内切球的半径为a 2 ， ∴V 内＝4 3π a 2 3＝πa3 6 ， 正方体的外接球的半径为 3 2 a， ∴V 外＝4 3π 3 2 a 3＝3 3πa3 6 ， ∴V 内∶V 外＝1∶3 3. 14.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、 圆锥、球的体积之比为________. 答案 3∶1∶2 解析 设球的半径为 R，则 V 圆柱＝πR2·2R＝2πR3， V 圆锥＝1 3πR2·2R＝2 3πR3， V 球＝4 3πR3， 故 V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝2πR3∶2 3πR3∶4 3πR3 ＝3∶1∶2. 15.已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥 O－ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为________. 答案 144π 解析 如图所示，设球的半径为 R， ∵∠AOB＝90°， ∴S△AOB＝1 2R2. ∵V 三棱锥 O－ABC＝V 三棱锥 C－AOB， 而△AOB 的面积为定值， ∴当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，三棱锥 O－ABC 的体积最大， ∴当动点 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，三棱锥 O－ABC 的体积最大， 此时 V 三棱锥 O－ABC＝V 三棱锥 C－AOB＝1 3 ×1 2R2×R＝1 6R3＝36， 解得 R＝6， 则球 O 的表面积为 S＝4πR2＝144π. 16.已知四面体的各面都是棱长为 a 的正三角形，求它外接球的体积. 解 如图，设 SO1 是四面体 S－ABC 的高，则外接球的球心 O 在 SO1 上. 设外接球半径为 R. ∵四面体的棱长为 a，O1 为正△ABC 的中心， ∴AO1＝2 3 × 3 2 a＝ 3 3 a， SO1＝ SA2－AO21＝ a2－1 3a2＝ 6 3 a， 在 Rt△OO1A 中， R2＝AO21＋OO21＝AO21＋(SO1－R)2， 即 R2＝ 3 3 a 2＋ 6 3 a－R 2，解得 R＝ 6 4 a， ∴所求外接球的体积 V 球＝4 3πR3＝ 6 8 πa3.