高中数学人教a版选修1-2课时跟踪检测（三）合情推理与演绎推理word版含解析

高中数学人教a版选修1-2课时跟踪检测（三）合情推理与演绎推理word版含解析

课时跟踪检测(三) 合情推理与演绎推理 一、选择题 1．下列类比推理恰当的是( ) A．把 a(b＋c)与 loga(x＋y)类比，则有 loga(x＋y)＝logax＋logay B．把 a(b＋c)与 sin(x＋y)类比，则有 sin(x＋y)＝sin x＋sin y C．把(ab)n 与(a＋b)n 类比，则有(a＋b)n＝an＋bn D．把 a(b＋c)与 a·(b＋c)类比，则有 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 答案：D 2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则 b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类 似结论为( ) A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29 C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9 解析：选 D 等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有 a1＋a2＋…＋a9＝2 ＋2＋…＋ 29 个 ＝2×9. 3．观察式子： 1＋ 1 22<3 2 ， 1＋ 1 22 ＋ 1 32<5 3 ， 1＋ 1 22 ＋ 1 32 ＋ 1 42<7 4 ，…， 则可归纳出第 n－1 个式子为( ) A．1＋ 1 22 ＋ 1 32 ＋…＋ 1 n2< 1 2n－1 B．1＋ 1 22 ＋ 1 32 ＋…＋ 1 n2< 1 2n＋1 C．1＋ 1 22 ＋ 1 32 ＋…＋ 1 n2<2n－1 n D．1＋ 1 22 ＋ 1 32 ＋…＋ 1 n2< 2n 2n＋1 解析：选 C 观察可得第 n－1 个式子为： 不等式的左边为 1 i2 的前 n 项的和， 右边为分式2n－1 n . 4．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如： 他们研究过图(1)中的 1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数； 类似地，称图(2)中的 1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数 的是( ) A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378 解析：选 C 记三角形数构成的数列为{an}， 则 a1＝1，a2＝3＝1＋2， a3＝6＝1＋2＋3， a4＝10＝1＋2＋3＋4， 可得通项公式为 an＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋1 2 . 同理可得正方形数构成的数列的通项公式为 bn＝n2. 将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得 n 都为正整数的只有 1 225. 5．将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 … … 则在表中数字 2 013 出现在( ) A．第 44 行第 78 列 B．第 45 行第 78 列 C．第 44 行第 77 列 D．第 45 行第 77 列 解析：选 D 第 n 行有 2n－1 个数字， 前 n 行的数字个数为 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2. ∵442＝1 936,452＝2 025， 且 1 936＜2 013＜2 025， ∴2 013 在第 45 行． 又 2 025－2 013＝12， 且第 45 行有 2×45－1＝89 个数字， ∴2 013 在第 89－12＝77 列． 二、填空题 6．设函数 f(x)＝ x x＋2(x＞0)，观察： f1(x)＝f(x)＝ x x＋2 ， f2(x)＝f(f1(x))＝ x 3x＋4 ， f3(x)＝f(f2(x))＝ x 7x＋8 ， f4(x)＝f(f3(x))＝ x 15x＋16 ， … 根据以上事实，由归纳推理可得： 当 n∈N*且 n≥2 时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________________________. 解析：由已知可归纳如下： f1(x)＝ x 21－1x＋21 ， f2(x)＝ x 22－1x＋22 ， f3(x)＝ x 23－1x＋23 ， f4(x)＝ x 24－1x＋24 ， …， fn(x)＝ x 2n－1x＋2n. 答案： x 2n－1x＋2n 7．在平面直角坐标系 xOy 中，二元一次方程 Ax＋By＝0(A，B 不同时为 0)表示过原点的 直线．类似地：在空间直角坐标系 Oxyz 中，三元一次方程 Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C 不同时 为 0)表示_________________． 解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点” 类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系 Oxyz 中，三元一次方程 Ax＋By＋Cz ＝0(A，B，C 不同时为 0)表示过原点的平面． 答案：过原点的平面 8．观察下列等式： 23＝3＋5， 33＝7＋9＋11， 43＝13＋15＋17＋19， 53＝21＋23＋25＋27＋29，…， 若类似上面各式方法将 m3 分拆得到的等式右边最后一个数是 109，则正整数 m 等于 ________． 解析：经观察，等式右边的数组成数列：3,5,7,9,11，…，所以由 3＋(n－1)×2＝109 得 n ＝54，再由等式右边的数的个数为 2,3,4，…，且分别等于左边数的底数， 可得 2＋3＋4＋…＋m＝54， 即m－1m＋2 2 ＝54，解得 m＝10. 答案：10 三、解答题 9．如图所示为 m 行 m＋1 列的士兵方阵(m∈N*，m≥2)． (1)写出一个数列，用它表示当 m 分别是 2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数； (2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式； (3)求 a10，并说明 a10 表示的实际意义； (4)已知 an＝9 900，an 是数列第几项？ 解：(1)当 m＝2 时，表示一个 2 行 3 列的士兵方阵，共有 6 人，依次可以得到当 m＝3,4,5，… 时的士兵人数分别为 12,20,30，….故所求数列为 6,12,20,30，…. (2)因为 a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…， 所以猜想 an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*. (3)a10＝11×12＝132. a10 表示 11 行 12 列的士兵方阵的人数为 132. (4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900， 所以 n＝98， 即 an 是数列的第 98 项，此时方阵为 99 行 100 列． 10．已知椭圆具有以下性质：已知 M，N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭 圆上任意一点，若直线 PM，PN 的斜率都存在，并记为 kPM，kPN，那么 kPM 与 kPN 之积是与 点 P 的位置无关的定值．试对双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)写出类似的性质，并加以证明． 解：类似的性质为： 已知 M，N 是双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点， 点 P 是双曲线上任意一点， 若直线 PM，PN 的斜率都存在， 并记为 kPM，kPN， 那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 的位置无关的定值． 证明如下：设点 M，P 的坐标为(m，n)，(x，y)， 则 N 点的坐标为(－m，－n)． ∵点 M(m，n)在已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 上， ∴m2 a2 －n2 b2 ＝1，得 n2＝b2 a2m2－b2. 同理 y2＝b2 a2x2－b2. ∴y2－n2＝b2 a2(x2－m2)． 则 kPM·kPN＝y－n x－m ·y＋n x＋m ＝y2－n2 x2－m2 ＝b2 a2·x2－m2 x2－m2 ＝b2 a2(定值)． ∴kPM 与 kPN 之积是与点 P 的位置无关的定值．