2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案:第11章 11

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2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案:第11章 11

www.ks5u.com ‎11.4 空间中的垂直关系 ‎11.4.1 ‎直线与平面垂直 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.了解直线与直线所成角及直线与平面垂直的定义.(重点)‎ ‎2.理解直线与平面垂直的判定定理,并会用其判断直线与平面垂直.(重点)‎ ‎3.掌握线面垂直的性质定理,并能应用.(重点)‎ ‎4.会求直线与平面所成角及空间中的距离.(难点)‎ ‎1.通过直线与平面垂直的定义学习,培养直观想象的数学核心素养.‎ ‎2.借助线面垂直的判定定理与性质定理,提升逻辑推理、数学抽象的数学核心素养.‎ ‎ ‎ ‎2020年6月17日‎15时19分,我国在酒泉卫星发射中心用长征二号丁运载火箭,搭载高分九号03星成功送入预定轨道,发射取得圆满成功.若将火箭视为直线,搭载在发射塔上的火箭跟地面就是垂直关系.‎ 思考:(1)空间中如何判定两条直线是否垂直?‎ ‎(2)能否根据直线与直线的垂直,判定直线与平面的垂直?‎ ‎1.直线与直线所成角 一般地,如果a,b是空间中的两条异面直线,过空间中任意一点,分别作与a,b平行或重合的直线a′,b′,则a′与b′所成角的大小,称为异面直线a与b所成角的大小.‎ 规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°,两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角.特别地,空间中两条直线l,m所成角的大小为90°时,称l与m垂直,记作l⊥m.‎ 思考1:空间中两直线所成角θ的范围是什么?‎ ‎[提示] 0°≤θ≤90°.‎ ‎2.直线与平面垂直的定义 文字语言 图形语言 符号语言 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,它们唯一的公共点P叫做垂足 l⊥α⇔‎ ‎∀m⊂α,‎ l⊥m ‎3.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直 ⇒l⊥α 思考2:一条直线与一个平面内两条平行直线垂直,那么这条直线与这个平面是什么位置关系?‎ ‎[提示] 相交或平行或直线在平面内.‎ ‎4.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行 符号语言 ⇒l∥m 图形语言 ‎[拓展] ‎ 直线与平面垂直的其他性质和结论 ‎(1)一条直线与一个平面垂直,这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线.‎ ‎(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行.‎ ‎(3)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.‎ ‎(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也和另一个平面垂直.‎ ‎(5)如果一条直线和一个平面垂直,那么它与这个平面的平行线垂直.‎ ‎(6)如果平面外一条直线垂直于该平面的一条垂线,那么这条直线平行于这个平面.‎ ‎5.直线与平面所成的角 ‎(1)斜线:与平面α相交,但不和平面α垂直,图中直线PA.‎ ‎(2)斜足:斜线和平面的交点,图中点A.‎ ‎(3)射影:过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影,图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO.‎ ‎(4)直线与平面所成的角:‎ ‎①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.‎ ‎②规定:一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0°的角.‎ ‎(5)取值范围:0°≤θ≤90°.‎ ‎6.空间中的距离 空间中点面距离、线面距离、面面距离的关系:‎ 注:教材例4的结论称为三垂线定理,这是证明线线异面垂直的重要方法,除此之外有逆定理可证线线的相交垂直.‎ ‎[拓展]‎ 三垂线逆定理 如果一个平面内一条直线和这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.‎ ‎1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行. (  )‎ ‎(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行. (  )‎ ‎(3)一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线互相垂直. (  )‎ ‎[提示] 由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确.‎ ‎[答案] (1)√ (2)√ (3)√‎ ‎2.直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能(  )‎ A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 A [由直线与平面垂直的定义可知,l⊥m,l与m可能相交或异面,但不可能平行.]‎ ‎3.如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则AB与平面α所成的角是(  )‎ A.60° B.45°‎ C.30° D.120°‎ A [由题意知,在Rt△ABO中,∠AOB=90°,‎ BO=AB,所以∠ABO=60°.]‎ ‎4.如图,设O为平行四边形ABCD对角线的交点,P为平面ABCD外一点,且有PA=PC,PB=PD,则PO与平面ABCD的关系是________.‎ 垂直 [因为PA=PC,所以PO⊥AC,又PB=PD,‎ 所以PO⊥BD.所以PO⊥平面ABCD.]‎ 线面垂直的定义及线线角、线面角的求解 ‎【例1】 (1)下列说法中正确的个数是(  )‎ ‎①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直,则l⊥α;‎ ‎②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直,则l⊥α;‎ ‎③如果直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直的直线;‎ ‎④如果直线l不垂直于α,则α内也可以有无数条直线与l垂直.‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ ‎(2)在正方体ABCDA1B‎1C1D1中,异面直线A1B与AD1所成角的大小为(  )‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.90°‎ ‎(3)如图所示,在正方体ABCDA1B‎1C1D1中,直线BC1与平面A1B‎1C1D1所成的角为(  )‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.135°‎ ‎(1)D (2)C (3)B [(1)由直线和平面垂直的判定定理知①正确;由直线与平面垂直的定义知,②正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条直线垂直,故③不对;④正确.‎ ‎(2)因为A1B∥D‎1C,所以异面直线A1B与AD1所成的角为 ‎∠AD‎1C,‎ 因为△AD‎1C为等边三角形,‎ 所以∠AD‎1C=60°.‎ ‎(3)在正方体ABCDA1B‎1C1D1中,BB1⊥平面A1B‎1C1D1,BC1在平面A1B‎1C1D1中的射影为B‎1C1,所以∠BC1B1即为直线BC1与平面A1B‎1C1D1所成的角,在等腰直角三角形BB‎1C1中∠BC1B1=45°.]‎ ‎1.理解线面垂直判定定理要注意的两个问题 ‎(1)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直,只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.‎ ‎(2)空间直线与直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况,所以在平面内的这两条直线是否与已知直线有交点,是无关紧要的.‎ ‎2.求异面直线所成角的步骤 ‎(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.‎ ‎(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.‎ ‎(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.‎ ‎3.求斜线与平面所成角的步骤 ‎(1)作图:作(或找)出斜线在平面内的射影,作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,才能便于计算.‎ ‎(2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角.‎ ‎(3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.‎ ‎(1)下列说法中错误的个数是(  )‎ ‎①若直线m∥平面α,直线l⊥m,则l⊥α;‎ ‎②若直线l和平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α必相交;‎ ‎③过平面α外一点有且只有一条直线和平面α垂直;‎ ‎④过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直.‎ A.0   B.‎1 ‎   C.2    D.3‎ ‎(2)如图,在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于________.‎ ‎(1)C  (2)45° [(1)①错误.若直线m∥平面α,直线l⊥m,则l与α平行、相交或l在α内都有可能;‎ ‎②错误.若直线l和平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α平行、相交或l在α内都有可能;③④正确.‎ ‎(2)因为PA⊥平面ABC,所以∠PBA为PB与平面ABC所成的角,又PA=AB,所以∠PBA=45°.]‎ 线面垂直判定定理的应用 ‎【例2】 如图,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.‎ ‎(1)求证:PC⊥平面AEF;‎ ‎(2)设平面AEF交PD于G,求证:AG⊥PD.‎ ‎[思路探究] PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,AE⊥PB,AF⊥PC,利用直线与平面垂直的判定定理;若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的所有直线.‎ ‎[证明] (1)因为PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,‎ 所以PA⊥BC.‎ 又AB⊥BC,PA∩AB=A,‎ 所以BC⊥平面PAB,AE⊂平面PAB,‎ 所以AE⊥BC.‎ 又AE⊥PB,PB∩BC=B,‎ 所以AE⊥平面PBC,PC⊂平面PBC,‎ 所以AE⊥PC.‎ 又因为PC⊥AF,AE∩AF=A,‎ 所以PC⊥平面AEF.‎ ‎(2)由(1)知PC⊥平面AEF,‎ 所以PC⊥AG,‎ 同理CD⊥平面PAD,AG⊂平面PAD,‎ 所以CD⊥AG,PC∩CD=C,‎ 所以AG⊥平面PCD,‎ 因为PD⊂平面PCD,所以AG⊥PD.‎ ‎1.若本例中,底面ABCD是菱形,H是线段AC上任意一点,其他条件不变,求证:BD⊥FH.‎ ‎[证明] 因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC,又PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PA,‎ 因为PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,且PA∩AC=A,‎ 所以BD⊥平面PAC,FH⊂平面PAC,‎ 所以BD⊥FH.‎ ‎2.若本例中若PA=AD,G是PD的中点,其他条件不变,求证:PC⊥平面AFG.‎ ‎[证明] 因为PA⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,‎ 所以DC⊥PA, ‎ 又因为ABCD是矩形,所以DC⊥AD,又PA∩AD=A,‎ 所以DC⊥平面PAD,又AG⊂平面PAD,‎ 所以AG⊥DC,‎ 因为PA=AD,G是PD的中点,‎ 所以AG⊥PD,又DC∩PD=D,‎ 所以AG⊥平面PCD,所以PC⊥AG,‎ 又因为PC⊥AF,AG∩AF=A,‎ 所以PC⊥平面AFG.‎ 证明线面垂直的方法 ‎(1)线线垂直证明线面垂直 ‎①定义法(不常用).‎ ‎②判定定理最常用(有时作辅助线).‎ ‎(2)平行转化法(利用推论)‎ ‎①a∥b,a⊥α⇒b⊥α.‎ ‎②α∥β,a⊥α⇒a⊥β.‎ 线面垂直性质定理的应用 ‎[探究问题]‎ 将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系.‎ ‎1.折痕AD与桌面一定垂直吗?‎ ‎[提示] 不一定.‎ ‎2.当折痕AD满足什么条件时,AD与桌面垂直?‎ ‎[提示] 当AD⊥BD且AD⊥CD时,折痕AD与桌面垂直.‎ ‎【例3】 如图所示,在正方体ABCDA1B‎1C1D1中,M是AB上一点,N是A‎1C的中点,MN⊥平面A1DC,求证:MN∥AD1.‎ ‎[思路探究] 两直线垂直于同一平面⇒两直线平行. ‎ ‎[证明] 因为四边形ADD‎1A1为正方形,所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD‎1A1,所以CD⊥AD1.‎ 因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.‎ 本例中条件不变,求证:M是AB中点.‎ ‎[证明] 连接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC.‎ 所以ONCDAB,‎ 所以ON∥AM.‎ 又因为由本例可知MN∥OA,‎ 所以四边形AMNO为平行四边形,‎ 所以ON=AM.因为ON=AB,‎ 所以AM=AB,‎ 所以M是AB的中点.‎ 平行关系与垂直关系之间的相互转化 知识:‎ 重视线线垂直和线面垂直的互相转化 在解决直线与平面垂直问题的过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.‎ 方法:‎ ‎1.直线和平面垂直的判定方法 ‎(1)利用线面垂直的定义.‎ ‎(2)利用线面垂直的判定定理.‎ ‎(3)利用下面两个结论.‎ ‎①若a∥b,a⊥α,则b⊥α.②若α∥β,a⊥α,则a⊥β.‎ ‎2.研究两条异面直线所成角的几种常用方法 ‎(1)过一条直线上的点,作另一条直线的平行线.‎ ‎(2)当异面直线依附于某几何体,且直接过一条直线上的点作另一条直线的平行线有困难时,可利用该几何体中的特殊点,将两条异面直线分别平移,使它们相交于该特殊点.‎ ‎(3)通过构造辅助平面、辅助几何体(补形平移法——利用已知的图形,补作一个特殊的几何体,以便找到平行线)来平移直线.‎ ‎3.求线面角的常用方法 ‎(1)直接法(一作(或找)二证三计算).‎ ‎(2)转移法(找过点与面平行的线或面).‎ ‎1.下列条件中,能使直线m⊥α的是(  )‎ A.m⊥b,m⊥c,b⊂α,c⊂α ‎ B.m⊥b,b∥α C.m∩b=A,b⊥α ‎ D.m∥b,b⊥α D [对于A,缺b与c相交;对于B,还可能得出m∥α,m与α相交或m⊂α;对于C,可能有m∥α或m⊂α或m与α相交.]‎ ‎2.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(  )‎ A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或平行 B [圆柱的母线垂直于圆柱的底面,由线面垂直的性质知B正确.]‎ ‎3.(一题两空)如图,在正方体ABCDA1B‎1C1D1中AB1与平面ADD‎1A1所成的角等于________,AB1与平面DCC1D1所成的角等于________.‎ ‎45° 0° [∠B1AA1为AB1与平面ADD‎1A1所成的角,‎ 即45°;AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0°.]‎ ‎4.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,E,F分别是AD,PC的中点.证明:PC⊥平面BEF.‎ ‎[证明] 如图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,∴PE=CE,‎ 即△PEC是等腰三角形.‎ 又F是PC的中点,‎ ‎∴EF⊥PC.‎ 又BP==2=BC,F是PC的中点,‎ ‎∴BF⊥PC.又BF∩EF=F,‎ ‎∴PC⊥平面BEF.‎
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