高中数学必修2教案：4_2_3直线与圆的方程的应用

高中数学必修2教案：4_2_3直线与圆的方程的应用

‎4.2.3 直线与圆的方程的应用 ‎（一）教学目标 ‎1．知识与技能 ‎（1）理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用.‎ ‎（2）会用“数形结合”的数学思想解决问题.‎ ‎2．过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤：‎ 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；‎ 第二步：通过代数运算，解决代数问题；‎ 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.‎ ‎3．情态与价值观 让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力.‎ ‎（二）教学重点、难点 重点与难点：直线与圆的方程的应用.‎ 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习引入 你能说出两点间的距离公式直线方程的四种形式及圆的方程的两种形式吗？‎ 学生思考后作答 教师再引入课题 现在我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.‎ 启发并引导学生回顾，从而引入新课.‎ 应用举例 ‎3．阅读并思考教科书上的例4，你将选择什么方法解决例4的问题？‎ 例4 图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB = 20m，拱高OP = 4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).‎ 解析：建立图所示的直角坐标系，使圆心在y轴上.设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是 x2 + (y – b)2 = r2.‎ 下面确定b和r的值.‎ 师：指导学生观察教科书上的图形特征，利用平面坐标系求解.‎ 生：自学例4，并完成练习题1、2.‎ 师：分析例4并展示解题过程，启发学生利用坐标法求，注意给学生留有总结思考的时间.‎ 指导学生从直观认识过渡到数学思想方法的选择.‎ 因为P、B都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都满足方程x2 + (y – b)2 = r2.于是，得到方程组 解得 b = –10.5，r2 = 14.52‎ 所以，圆的方程是 x2 + (y + 10.5)2 = 14.52.‎ 把点P2的横坐标x = –2代入圆的方程，得 ‎(–2)2 + (y + 10.5)2 = 14.52，‎ 取(P2的纵坐标y＞0平方根取正值).所以 ‎≈14.36 – 10.5‎ ‎=3.86(m)‎ ‎4．你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？‎ 教师引导学生分析圆的方程中，若横坐标确定，如何求出纵坐标的值.‎ 使学生加深对圆的方程的认识.‎ ‎5．你能利用“坐标法”解决例5吗？‎ 例5 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.‎ 师：引导学生建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题.‎ 生：建立适当的直角坐标系，探求解决问题的方法.‎ 证明：如图，以四边形ABCD互直垂直的对角线CA，DB所在直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系.设A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(0，d).‎ 过四边形ABCD外接圆的圆心O′分别作AC、BD、AD的垂线，垂足分别为M、N、E分别是线段AC、BD、AD的中点.由线段的中点坐标公式，得 巩固“坐标法”，培养学生分析问题与解决问题的能力.‎ 所以 又 所以.‎ ‎6．完成教科书第140页的练习题2、3、4.‎ 练习2 赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程.‎ ‎ 练习3 某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m.现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？‎ ‎ 练习4 等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且，|CE| = |CA|，AD、BE相交于点P.求证AP⊥CP.‎ 教师指导学生阅读教材，并解决课本第140页的练习题2、3、4，教师要注意引导学生思考平面几何问题与代数问题相互转化的依据.‎ 练习2解：建立如图所示的直角坐标系.|OP| = 7.2m，|AB| = 37.4m.即有 A(–18.7，0)，B (18.7，0)，C(0，7.2) .‎ 设所求圆的方程是(x – a)2 + (y – b)2 = r2.‎ 于是有 解此方程组，得 a = 0，b = –20.7，r = 27.9.‎ 所以这这圆拱桥的拱圆的方程是 x2 + (y + 20.7)2 = 27.92 (0≤y≤7.2)‎ 练习3解：建立如图所示的坐标系.依题意，有 A(–10，0)，B (10，0)，P 使学生熟悉平面几何问题与代数问题的转化，加深“坐标法”的解题步骤.‎ ‎(0，4)，D(–5，0)，E(5，0).‎ 设所求圆的方程是(x – a)2 + (y – b)2 = r2.于是有 解此方程组，得 a = 0，b = –10.5，r = 14.5.‎ 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2 + (y + 10.5)2 = 14.52 (0≤y≤4).‎ 把点D的横坐标x = –5代入上式，得y = 3.1.‎ 由于船在水面以上高3m，3＜3.1，所以该船可以从桥下穿过.‎ 练习4解： 以B为原点，BC边所在直线为x轴，线段BC长的为单位长，建立如图所示的坐标系.则 ‎.‎ 由已知，得D(2,0)，.‎ 直线AD的方程为.‎ 直线BE的方程为 ‎.‎ 解以上两方程联立成的方程组，得 ‎.‎ 所以，点P的坐标是.‎ 直线PC的斜率.‎ 因为，‎ 所以，AP⊥CP.‎ 练习题 直角△ABC的斜边为定长m，以斜边的中点O 学生独立解决练 反馈学生掌握 为圆心作半径为长定长n的圆，BC的延长线交此圆于P、Q两点，求证|AP|2 + |AQ|2 + |PQ|2为定值.‎ ‎7．你能说出练习题蕴含了什么思想方法吗？‎ 习题，教师组织学生讨论交流.‎ 证明：如图， 以O为原点，分别以直线PQ为x轴，建立直角坐标系.‎ 于是有，‎ ‎，‎ 设A(x，y)，由已知，点A在圆上.‎ AP2 + AQ2 + PQ2‎ ‎= ‎ ‎=(定值)‎ ‎“坐标法”解决问题的情况，巩固所学知识.‎ 归纳总结 ‎8．小结：‎ ‎（1）利用“坐标法”解决问题的需要准备什么工作？‎ ‎（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？‎ ‎（3）你认为学好“坐标法”解决问题的关键是什么？‎ ‎（4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响呢？‎ 师：指导学生完成练习题.‎ 生：阅读教科书的例3，并完成.‎ 教师引导学生自己归纳总结所学过的知识，组织学生讨论、交流、探究.‎ 对知识进行归纳概括，体会利用“坐标法”解决实际问题的作用.‎ 课后作业 布置作业习案4.2第2课时 学生独立完成 巩固所学知识 备选例题 例1 一圆形拱桥，现时的水面宽为22米，拱高为9米，一艘船高7.5米，船顶宽4米的船，能从桥下通过吗？‎ ‎【解析】建立坐标系如图所示：‎ C(–11，0 )，D(11，0)，M(0，9)‎ 可求得过C、D、M三点的圆的方程是 故A点坐标是(2，y1)，则 得y1≈8.82，(取y1＞0)‎ ‎∴y1＞7.5，因此船不能从桥下通过.‎ 例2 设半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A 出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为3:1，问A、B两人在何处相遇.‎ ‎【解析】由题意以村中心为原点，正东方向为x轴的正方向，正北为y轴的正方向，建立直角坐标系，设A、B两人的速度分别的为3vkm/h，vkm/h，设A出发ah，在P处改变方向，又经过bh到达相遇点Q，则P(3av，0)Q (0，(a + b)v)，则 ‎|PQ| = 3bv，|OP| = 3av，|OQ| = （a + b）v 在Rt△OPQ中|PQ|2 = |OP|2 + |OQ|2 得5a = 4b ‎∴‎ 设直线PQ方程为 由PQ与圆x2 + y2 = 9相切，‎ 解得 故A、B两人相遇在正北方离村落中心km.‎ 例3 有一种商品，A、B两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地运费的3倍.已知A、B相距10km，问这个居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)‎ ‎【解析】以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系.‎ ‎|AB| = 10，所以A(–5，0)，B(5，0)‎ 设P(x，y)是区域分界线上的任一点，并设从B地运往P地的单位距离运费为a，即从B地运往P地的运费为|PB|·a，则运住A地的运费|PA|·3a 当运费相等时，就是|PB|·a = 3a·|PA| ，‎ 即 整理得 ①‎ 所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A或B地购买，在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买.‎