江苏省基地学校2021届高三上学期第一次大联考数学试题(12月)

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江苏省基地学校2021届高三上学期第一次大联考数学试题(12月)

1 2021 届江苏基地学校高三第一次大联考 数 学 (考试时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知U  R , { || | 2}A x x  , { | 1 4}B x x    ,则 ( )U A B ð A. ( 1 2) , B. ( 2] , C. (2 4), D.[2 4), 2. 已知复数 z 的共轭复数为 z ,若 2i ( > 0)z a a  ,且 4z z  ,则 a A.1 B. 2 C.2 D. 6 3. 已知 1 3 2 12 log 3 ba b c a  , , ,则 a b c, , 的大小关系是 A. c a b  B. c b a  C. a c b  D. a b c  4. 命题“  1 2x  , , 2 2 0x a ≤ ”为真命题的一个充分不必要条件是 A. 2a≤ B. 2a≥ C. 4a≤ D. 4a≥ 5. 有 5 名学生志愿者到 2 个小区参加疫情防控常态化宣传活动,每名学生只去 1 个小区, 每个小区至少安排 1 名学生,则不同的安排方法为 A.10 种 B.20 种 C.30 种 D.40 种 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答 题卡和试卷的指定位置上。 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,用 0.5 毫米黑 色墨水的签字笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 2 6. 函数 1 2 sin( ) log | 2 2 |x x xf x   的部分图象可能是 7. 若双曲线 2 2 1 : 13 y xC a  与双曲线 22 2 : 16 9 yxC   的渐近线相同,则双曲线 1C 的离心率 为 A. 10 2 B. 15 3 C. 5 2 D. 3 3 8. 2013 年 9 月 7 日,习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生 们提出的问题,在谈到环境保护问题时他指出:“我们既要绿水青山,也要金山银山。 宁要绿水青山,不要金山银山,而且绿水青山就是金山银山。”“绿水青山就是金山银 山”这一科学论断,成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基。某 市为了改善当地生态环境,2014 年投入资金 160 万元,以后每年投入资金比上一年增加 20 万元,从 2020 年开始每年投入资金比上一年增加 10%,到 2024 年底该市生态环境建 设投资总额大约为 A.2655 万元 B.2970 万元 C.3005 万元 D.3040 万元 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中,有多项符 合题目要求,全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分。 A xO y π π π B xO y π C xO y π π π D x y Oπ 3 9. 2019 年 1 月到 2019 年 12 月某地新能源汽车配套公共充电桩保有量如下: 则下列说法正确的是 A.2019 年各月公共充电桩保有量一直保持增长态势 B.2019 年 12 月较 2019 年 11 月公共充电桩保有量增加超过 2 万台 C.2019 年 6 月到 2019 年 7 月,公共充电桩保有量增幅最大 D.2019 年下半年各月公共充电桩保有量均突破 45 万台 10.设 a bR, ,则下列结论正确的是 A.若 0a b  ,则 2 2 1 1 a b  B.若 0a b  ,则 2 2( 1) ( 1)a b   C.若 2a b  ,则 2 2 4a b ≥ D.若 2 1 1+2ba b a  ,则 a b 11.如图,在半圆柱中, AB 为上底面直径, DC 为下底面直径, AD BC, 为母线, AB 2AD ,点 F 在 AB 上,点G 在 DC 上, 1BF DG  , P 为 DC 的中点.则 A. BF ∥ PG B.异面直线 AF 与CG 所成角为 60 C.三棱锥 P ACG 的体积为 3 2 D.直线 AP 与平面 ADG 所成角的正弦值为 15 10 BA CD F P G (第 11 题) 4 12.已知函数 ( ) 3 2sin sin 2f x x x   ,则下列结论正确的是 A.函数 ( )f x 是周期函数 B.函数 ( )f x 在  , 上有 4 个零点 C.函数 ( )f x 的图象关于 ( 3), 对称 D.函数 ( )f x 的最大值为 5 3 2 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分。 13.已知向量 ( 1 )t  ,a , (3 1) ,b ,且 (2 ) a b b ,则t  . 14.设函数 21 2 ( ) 1 ( 2) 22      x x f x f x x , ≤ , , ,则 ( (6)) f f . 15.已知抛物线 2:C y x ,斜率为 3 2 的直线 l 经过点 (1 0), ,且与C 交于 A B, 两点(其中 A 点在 x 轴上方).若 B 点关于 x 轴的对称点为 P ,则 APB△ 外接圆的方程为 . 16.某公司周年庆典活动中,制作的“水晶球”工艺品如图所示,底座是用一边长为 2 m 的 正方形钢板,按各边中点连线垂直折起四个小三角形制成,再将一个水晶玻璃球放入 其中.若水晶球最高点到底座底面的距离为 ( 2 1) m, 则水晶球的表面积为 m2. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 在① 3 sin cosc A a C ,② πtan( ) 2 34C    ,③ 2 2 2 3a b c ab   这三个条件中任选 一个,补充在下面问题中,并加以解答. 已知△ABC 中的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为 S .若 4c  , 105B   , ,求 a 和 S . 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 18.(本小题满分 12 分) (第 16 题) 5 已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ,且 1n na S  , 2 1 log n n n ab a    , *nN . (1)求数列{ }na ,{ }nb 的通项公式; (2)设 1 1 2 ( 2)n n n n nc b b    ,数列{ }nc 的前 n 项和为 nT ,求证: 3 1 16 4nT ≤ . 19.(本小题满分 12 分) 近年来,我国肥胖人群的规模不断扩大,肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前, 国际上常用身体质量指数(Body Mass Index,缩写 BMI)来衡量人体胖瘦程度以及 是否健康,其计算公式是 2 2 kgBMI= m 体重(单位: ) 身高(单位: ).中国成人的 BMI 数值标准为: BMI<18.5 为偏瘦;18.5≤BMI<24 为正常;24≤BMI<28 为偏胖;BMI≥28 为肥胖. 某单位随机调查了 100 名员工,测量身高、体重并计算出 BMI 值. (1)根据调查结果制作了如下 2 2 列联表,请将 2 2 列联表补充完整,并判断是否 有 99%的把握认为肥胖与不经常运动有关; 肥胖 不肥胖 合计 经常运动员工 40 60 不经常运动员工 24 40 合计 100 (2)若把上表中的频率作为概率,现随机抽取 3 人进行座谈,记抽取的 3 人中 “经常运动且不肥胖”的人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 附: 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ,其中 n a b c d    . 20.(本小题满分 12 分) 2 0( )P K K≥ 0.10 0.05 0.01 0.005 0K 2.706 3.811 6.635 7.879 6 如图,已知多面体 ABCDEF 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, FA  底面 ABCD , 2AF  ,且 = (0 1)DE AF    . (1)求证: CE ∥平面 ABF ; (2)若二面角 B CF E  的大小为 5π 6 ,求  的值. 21.(本小题满分 12 分) 已知 O 为坐标原点,椭圆 2 2: 14 xC y  ,点 D M N, , 为C 上的动点,O M N, , 三点 共线,直线 DM DN, 的斜率分别为 1 2 1 2( 0)k k k k , . (1)证明: 1 2 1 4k k   ; (2)当直线 DM 过点 (1 0), 时,求 2 2 1 19 | | 2 1DN k   的最小值; (3)若 1 2 0k k  ,证明: 2 2| | | |OD OM 为定值. 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 ( ) ln( 1)f x a x  , ( ) exg x x ( 1x   ). (1)当 1a  时,证明: ( ) ( )f x x g x≤ ≤ ; (2)设函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x  ,若 ( )F x 有极值,且极值为正数,求实数 a 的取值范围. 2021 届江苏基地学校高三第一次大联考 A B C D E F (第 20 题) 7 数学参考答案及评分建议 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 1~4 D B C D 5~8 C B B C 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 9.A B 10.A C 11.A B D 12.A C D 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分。 13.8 14. 7 16 15. 2 213 133( )6 36x y   16. 4π 8.【解析】设 2014 年到 2024 年每年的投入资金分别为 1 2 6 1 2 5 a a a b b b, , , , , , .由已知, 1 2 6a a a, , , 为等差数列, 1 6160 260 a a, ,其和为 1 1260S 万元; 1 2 5b b b, , 为等 比数列, 1 260 1.1 b ,公比为 1.1q ,其和为 5 5 2 1.1(1 1.1 )260 2860 (1.1 1)1 1.1     S . 又 5 5 1 2 2 3 3 5 5 51.1 (1 0.1) 1 0.1 0.1 0.1 1.61         C C C ,所以 2 1744.8S 万元,所以 投资总额大约为 3005 万元.选 C. 12.【解析】对于 A,函数 ( )f x 的最小正周期为 2π ,所以 A 正确; 对于 B,令 ( ) 0f x ,得 2sin 3 sin 2 x x ,函数 ( )f x 的零点个数可转化为两函数 2sin 3 sin 2  y x y x, 图象交点个数,画图可知,图象在  , 上有只有 2 个交点, 所以 B 错误; 对于 C,由 (2π ) 3+2sin sin 2  f x x x ,所以 (2π ) ( ) 2 3  f x f x ,所以函数 ( )f x 的 图象关于 ( 3), 对称,C 正确; 对于 D,由 ( ) 2cos 2cos2 2(cos 1)(2cos 1)      f x x x x x ,取一个周期  , , 令 ( ) 0 f x ,得 03 3   x , , ,且当 3      x , 时, ( ) 0 f x ,当 3 3      x , 时, ( ) 0 f x ,当 3     x , 时, ( ) 0 f x ,所以函数 ( )f x 在 3  x 时取极大值. 由于 5 3( ) (π) 33 2    f f ,所以函数 ( )f x 的最大值为 5 3 2 ,D 正确. 所以本题选 ACD. 8 16.【解析】四个小三角形的顶点所在平面截球面得小圆的的半径 为 2 2 ,小圆面到底座的距离为 2 2 .设球的半径为 R , 由条件,得 2 21 2 12 2    R R ,解得 1R , 所以水晶球的表面积为 4π m2. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。 17.(本小题满分 10 分) 【解】若选①,由 3 sin cosc A a C 及正弦定理 sin sin a c A C , 得 3sin sin sin cosC A A C ,所以 3tan 3C  . …… 3 分 因为 0 πC  ,所以 30C   . …… 5 分 又 105B   ,所以 45A   , …… 6 分 结合 4c  ,可得 sin 4 2sin c Aa C  . …… 8 分 所以△ABC 中的面积 1 1sin 4 4 2 sin1052 2S ac B      8 2 (sin 45 cos60 cos45 sin60 )       4 3 4  . …… 10 分 若选②,由 πtan tanπ tan 14tan( ) 2 34 π 1 tan1 tan tan 4 C CC CC       , 可得 3tan 3C  .下同① …… 3 分 若选③,由 2 2 2 3a b c ab   ,得 2 2 2 3cos 2 2 a b cC ab    , …… 3 分 因为 0 πC  ,所以 30C   .下同① …… 5 分 18.(本小题满分 12 分) 【解】(1)因为 1n na S  ,所以当 1n  时, 12 1a  ,即 1 1 2a  . …… 1 分 当 2n≥ 时,有 1 1 1n na S   ,所以 1 1 0n n n na a S S     , 即 1 1 2n na a  ,即 1 1 2 n n a a   ( 2n≥ ), 9 所以{ }na 是首项为 1 1 2a  ,公比为 1 2 的等比数列, …… 4 分 所以 11 1 1( ) ( )2 2 2 n n na    . 所以 12 1 log 2nn n n ab na       . …… 6 分 (2) 1 1 11 2 1 2 ( 2) 2 ( 2) 1 1 1 2 2 ( 1) 2( 2 ) ( 1) 2 n n n n nn n n n n nc b b n nn n                      .…… 8 分 所以 1 2 3n nT c c c c     1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )2 2 21 2 2 2 2 2 3 2 2 ( 1) 2n nn n                   1 1 2 1 1 1 1 1 2 41 2 ( 1)2 ( 1) 2n nn n            , …… 10 分 可知{ }nT 为递增数列,所以 1 1 2 1 1 1 1 3 4 4 16 16(1 1) 2nT T       ≥ . 又 2 1 0( 1) 2nn    ,所以 1 4nT  ,所以 3 1 16 4nT ≤ . …… 12 分 19.(本小题满分 12 分) 【解】(1)填表如下: 肥胖 不肥胖 合计 经常运动员工 20 40 60 不经常运动员工 24 16 40 合计 44 56 100 …… 2 分 所以 2 2 100(20 16 24 40) 6.92660 40 44 56K       . …… 5 分 因为 6.926 6.635 ,所以有 99%的把握认为肥胖与不经常运动有关.…… 6 分 (2)“经常运动且不肥胖”的频率为 40 2 100 5 . …… 8 分 现随机抽取 3 人,“经常运动且不肥胖”的人数为 X 可能的取值为 0,1,2,3. 0 3 0 3 2 2 27( 0) (1 ) ( )5 5 125P X C    , 1 2 1 3 2 2 54( 1) (1 ) ( )5 5 125P X C    , 10 2 1 2 3 2 2 36( 2) (1 ) ( )5 5 125P X C    , 3 0 3 3 2 2 8( 3) (1 ) ( )5 5 125P X C    . …… 10 分 所以随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 所以 X 的数学期望 27 54 36 8 8 6( ) 0 1 2 3125 125 125 125 125 5E X           .… 12 分 20.(本小题满分 12 分) 【证】(1)因为 =DE AF  ,所以 //DE AF , 又因为 DE  平面 ABF , AF  平面 ABF , 所以 //DE 平面 ABF . …… 2 分 因为底面 ABCD 是正方形,所以 //CD AB , 又因为 CD  平面 ABF , AB  平面 ABF , 所以 //CD 平面 ABF . …… 4 分 因为 CD  平面 CDE , DE  平面 CDE , CD DE D , 所以平面 CDE ∥平面 ABF . 因为 CE  平面 CDE , 所以 CE ∥平面 ABF . …… 6 分 【解】(2)以 A 为坐标原点,分别以 AB , AD , AF 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴, 建立如图空间直角坐标系. 由 2AB AD AF   得, (0 0 0)A ,, , (2 0 0)B ,, , (2 2 0)C ,, , (0 0 2)F ,, , (0 2 0)D , , , (0 2 2 )E ,, . 设平面 BCF 的法向量为 1 1 1 1( )x y z , ,n , 由已知得, (2 0 2)FB   ,, , (2 2 2)FC  ,,- , 由 1 1 0 0 FB FC        , , n n 得 1 1 1 1 1 2 2 0 2 2 2 0. x z x y z       , 不妨取 1 1x  ,则 1 10 1y z , , 从而平面 BCF 的一个法向量为 1 (1 0 1) ,,n . …… 8 分 z x A B C F 11 设平面 ECF 的法向量为 2 2 2 2( )x y z , ,n , 又 ( 2 0 2 )CE   ,, ,由 2 2 0 0 FC CE        , , n n 得 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0. x z x y z        , 不妨取 2 1z  ,则 2 2 1x y   , , 所以平面 ECF 的一个法向量为 2 ( 1 1)  , ,n . …… 10 分 所以 1 2 2 +1cos , 2 1        n n . 因为二面角 B EC F  的大小为 5π 6 , 所以 2 3+1 = 22 1     ,化简得 22 5 2 0    , 解得 1 2  或 2  (舍去). …… 12 分 21.(本小题满分 12 分) 【解】(1)由题知 M N, 关于原点对称,则可设 1 1 2 2 2 2( ) ( ) ( )D x y M x y N x y , , , , , . 因为点 D M, 在椭圆 C 上,所以 2 2 2 21 2 1 21 14 4 x xy y   , , 所以 2 2 2 21 2 1 21 14 4 x xy y   , , 所以 2 2 1 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (1 ) (1 ) 14 4 4 x x y y y y y yk k x x x x x x x x              . …… 2 分 (2)设直线 1: ( 1)DM y k x  ,代入 2 2 14 x y  可得, 2 2 2 2 1 1 1(1 4 ) 8 4 4 0k x k x k     ,所以 2 1 1 2 2 1 8 1 4 kx x k    , 因此 2 2 1 22 2 2 1 2 2 1 2 2 1 8 11 ( ) 1 1 4 k kDN k x x k x x k          , …… 4 分 因为 1 2 1 4k k   ,所以 2 2 2 2 2 1 1 4 kDN k   . 设 2 21 (1 )t k    , ,则 2 2 2 1 19 4 16 82 8| | 22 1 t tDN t tk      ≥ , 12 等号当仅当 2t  时取,即 2 3k   时取等号. 所以 2 2 1 19 | | 2 1DN k   的最小值为 8. …… 7 分 (3)不妨设 1 20 0k k , ,由 1 2 1 4k k   , 1 2 0k k  , 所以 1 2 1 1 2 2k k  , . 8 分 将直线 DM 的方程为 1 1 1 ( )2y y x x   代入 2 2 14 x y  可得, 2 2 1 1 1+4 ( ) 42x x x y      ,即 2 2 2 1 1 1 1 1 12 2(2 ) 4 4 4 0x y x x x y x y       . 因为 2 2 1 14 4x y  ,所以方程可化为 2 1 1 1 1(2 ) 2 0x y x x x y    . 所以 1 2 1 12x x x y  ,即 2 12x y  ,所以 2 1 1 2y x  ,即 1 1 1( 2 )2M y x , .10 分 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 5| | | | ( ) ( 2 ) ( ) +5 52 4OD OM x y y x x y            .… 12 分 22.(本小题满分 12 分) 【解】(1)当 1a  时,设 ( ) ln( 1)h x x x   ,所以 1( ) 1 1 1 xh x x x      , 令 ( ) 0h x  ,得 0x  . 当 0x  时, ( ) 0h x  , ( )h x 单调递增; 当 1 0x   时, ( ) 0h x  , ( )h x 单调递减, 所以 ( ) (0) 0h x h ≥ ,即 ( )f x x≤ . …… 2 分 又 ( ) (e 1)xg x x x   ,因为 e 1x  与 x 同号(当 0x  时, e 1 0x x   ) 所以 ( ) 0g x x ≥ ,即 ( )x g x≤ . 综上可知, ( ) ( )f x x g x≤ ≤ . …… 4 分 (2) ( ) ln( 1) exF x a x x   ( 1x   ),所以 ( ) ( 1)e1 xaF x xx     . 当 0a≤ 时, ( ) 0F x  , ( )F x 在 ( 1 )  , 上单调递减,所以 ( )F x 无极值.5 分 当 0a  时,记 ( ) ( )F x x  ,所以 2( ) ( 2)e 0( 1) xax xx       , 所以 ( )x 即 ( )F x 在 ( 1 )  , 上单调递减. 13 又 (0) 1F a   , 1( 1) 1 eaF a a     . …… 7 分 ①当 0 1a  时, (0) 0F  , ( 1) 0F a   , 所以在 ( 1 )  , 上存在唯一的 ( 1 0)a   , ,使得 ( ) 0F   . 当 1 x    , ( ) 0F x  ,所以 ( )F x 单调递增; 当 x  , ( ) 0F x  ,所以 ( )F x 单调递减, 所以 ( )F x 的极大值为 ( ) (0) 0F F   ,符合题意. …… 10 分 ②当 1a  时, (0) 0F  , ( 1) 0F a   ,同理符合题意. ③当 1a  时,由(1)知 ( ) 0F x ≤ ,不合题意. 综上,实数 a 的取值范围是 0a  且 1a  . …… 12 分
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