北京市西城区2019-2020学年度第一学期期末 高二数学

北京市西城区2019-2020学年度第一学期期末 高二数学

北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷 ‎ 高二数学 2020.1‎ 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.‎ ‎1．已知椭圆的一个焦点为,则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知数列满足，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知命题:,,则为（ ）‎ A．, B．,‎ C．, D．,‎ ‎4．已知,若,则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．已知向量,且,那么（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知直线,分别在两个不同的平面内，则“直线和直线相交”是“平面和 平面相交”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7. 已知向量，，，若共面，则等于 ‎ ‎（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎ ‎·10·‎ ‎8. 德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时，定义了一 个函数，其中表示不超过的最大整数，比如. 根据以上定义，当 时，数列，，（ ）‎ A．是等差数列，也是等比数列 B．是等差数列，不是等比数列 C．是等比数列，不是等差数列 D．不是等差数列，也不是等比数列 ‎9．设有四个数的数列，该数列前项成等比数列，其和为m，后项成等差数列，‎ 其和为. 则实数m的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 曲线.给出下列结论：‎ ①曲线关于原点对称；‎ ②曲线上任意一点到原点的距离不小于1；‎ ③曲线只经过个整点（即横、纵坐标均为整数的点）.‎ 其中，所有正确结论的序号是（ ）‎ A. ①② B. ② C. ②③ D. ③‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎11.设是椭圆上的点,到该椭圆左焦点的距离为，则到右焦点的距离 为__________.‎ ‎12. 不等式的解集为_________. ‎ ‎13. 能说明“若，则”为假命题的一组、值是 ， . ‎ ‎14．若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,则其离心 率的值是__________.‎ ‎15．某渔业公司今年初用万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用万元，从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加万元.‎ ‎·10·‎ 若该渔船预计使用年，其总花费（含购买费用）为________ 万元； ‎ 当______时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）.‎ ‎16. 若 表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：‎ ‎（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；‎ ‎ （2）灯在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的，要求灯 的左边有且只有灯是开灯状态时才可以对灯进行一次操作.‎ 如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯关闭最少需要 次操作；‎ 如果除灯外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要 次操作.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 已知等比数列的公比为，且，，成等差数列.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设的前项和为，且，求的值.‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）若，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）求关于的不等式的解集.‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ 已知椭圆的右焦点为，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎·10·‎ ‎（Ⅱ）设点为椭圆的上顶点，点在椭圆上且位于第一象限，且，求的面积.‎ D A B C P E ‎20．（本小题满分14分）‎ 如图，四棱锥中，平面，， .，，，是的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）若二面角的余弦值是，求的值；‎ ‎（Ⅲ）若，在线段上是否存在一点，使得⊥. 若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知抛物线，抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；‎ ‎（Ⅱ）过的直线交抛物线于不同的两点，交直线于点，直线交直线于点. 是否存在这样的直线，使得? 若不存在，请说明理由；若存在，求出直线的方程.‎ ‎22．（本小题满分13分）‎ 若无穷数列满足：对任意两个正整数，与至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列”.‎ ‎（Ⅰ）求证：若数列为等差数列，则为“和谐数列”；‎ ‎（Ⅱ）求证：若数列为“和谐数列”，则数列从第项起为等差数列；‎ ‎（Ⅲ）若是各项均为整数的“和谐数列”，满足，且存在使得，‎ ‎，求p的所有可能值. ‎ ‎·10·‎ 北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷 ‎ 高二数学参考答案 2020.1‎ 一、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.‎ ‎1. A 2. B 3.C 4. D 5. A 6. A 7. B 8. D 9. B 10. C ‎ 二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎11. 12. 13. （答案不唯一） 14. ‎ ‎15.； 16. 3；21‎ 注：13、15、16题第一个空2分，第二个空3分.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）因为为公比为的等比数列，‎ 所以，，， ………………3分 依题意得 ， ………………5分 即， ………………6分 整理得， 解得. ………………7分 所以数列的通项公式为. ………………8分 ‎（Ⅱ）依题意 ， ………………10分 ‎. ………………11分 所以，整理得， ………………12分 解得 所以的值是. ………………13分 ‎·10·‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）由得，‎ 整理得， ………………2分 解得或. ………………4分 ‎（Ⅱ）对恒成立，则， ………………6分 所以， ………………7分 整理得，‎ 解得. ………………8分 ‎（Ⅲ）解，得，‎ ①当时，即时,或 ； ………………10分 ②当时，即时,或 ； ………………12分 ③当时，即时, . ………………13分 综上，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为.‎ 19． ‎（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）依题意 ，， ………………2分 解得，， ………………4分 所以椭圆的方程为. ………………5分 ‎（Ⅱ）设点，因为点在椭圆上，所以…①， ………………7分 因为，所以，得…②， ………………8分 由①②消去得，，‎ 解得（舍），， ………………10分 代入方程②得，所以， ………………11分 ‎·10·‎ 所以，又， ………………12分 所以的面积. ………………13分 ‎20. （本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：因为 平面，，‎ 所以 平面. ………………1分 又因为 平面，所以 . ………………2分 在中，，是的中点，‎ 所以 . ………………3分 又因为 ，所以 平面. ………………4分 D A B C P E y z x ‎（Ⅱ）解：因为 平面，‎ 所以，. ………………5分 又因为 ，‎ 所以 如图建立空间直角坐标系.‎ 则，，，，‎ ‎，，‎ ‎，. ………6分 设平面的法向量为.‎ 则 ………………7分 ‎ 即 令，则，，‎ 于是. ………………8分 因为平面，所以. 又，‎ 所以平面.‎ 又因为， ‎ 所以 取平面的法向量为. ………………9分 所以 ， ………………10分 ‎·10·‎ 即，解得.‎ 又因为，所以. ………………11分 ‎（Ⅲ）结论：不存在.理由如下：‎ 证明：设.‎ 当时，.‎ ‎，. ………………12分 由知，，，.这与矛盾. ………13分 所以，在线段上不存在点，使得. ………………14分 ‎21. （本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）因为横坐标为的点到焦点的距离为，所以，解得， ………2分 所以， ………………3分 所以准线方程为. ………………4分 ‎（Ⅱ）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，.‎ 联立得 消去得. ………………5分 由，解得. 所以且.‎ 由韦达定理得，. ………………7分 方法一：‎ 直线的方程为，‎ 又，所以，所以， ………………8分 因为，所以直线与直线的斜率相等. ………………9分 又，所以. ………………10分 整理得，即， ………………11分 化简得，，即. ………………12分 ‎·10·‎ 所以，整理得， ………………13分 解得. 经检验，符合题意.‎ 所以存在这样的直线，直线的方程为或.………14分 方法二：‎ 因为，所以，所以. ………………10分 整理得，即， ………………12分 整理得. ………………13分 解得，经检验，符合题意.‎ 所以存在这样的直线，直线的方程为或.………14分 ‎22.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）证明：因为数列为等差数列，‎ 所以 对任意两个正整数，有 ， ………………2分 所以 .‎ 所以 数列为“和谐数列”. ………………4分 ‎（Ⅱ）证明：因为数列为“和谐数列”，‎ ‎ 所以 当,时，只能成立, 不成立.‎ 所以 ，即. ………………6分 ‎ 当，时，也只能成立，不成立.‎ 所以 ，,,‎ 即 ，‎ ‎ 所以 . ………………7分 令，则数列满足.‎ ‎ 所以，数列从第3项起为等差数列. ………………8分 ‎（Ⅲ）解：①若，则，与矛盾，不合题意. ‎ ‎②若，则，，但，不合题意. ………………9分 ‎③若，则，，由，得， ‎ ‎·10·‎ 此时数列为：，符合题意. ………………10分 ‎④若，设，‎ 则.‎ 所以，‎ 即 .‎ ‎ 因为 ，所以. ………………11分 ‎ 所以 不合题意.‎ 所以 . ………………12分 因为p为整数，所以为整数，所以.‎ 综上所述，p的所有可能值为. ………………13分 ‎·10·‎