辽宁省大连市第二十四中学2020届高三数学(文)6月最后一模试卷(Word版附答案)

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辽宁省大连市第二十四中学2020届高三数学(文)6月最后一模试卷(Word版附答案)

2020 届大连市第二十四中学高三最后一次 文科数学 命题人 校对人:大连市第二十四中学高三备课组 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴 区。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、 笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、 试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.若集合 ,则满足 的集合 可以是( ) A. B. C. D. 2.设复数 z 满足 ,z 在复平面内对应的点为(x,y),则( ) A. B. C. D. 3.等差数列 , , , 的第四项等于( ) A. B. C. D. 4.2019 年 10 月 1 日上午,庆祝中华人民共和国成立 70 周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅 兵不仅展示了我国的科技军事力量,更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很 抢眼,他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建.若已知甲、 乙、丙三人来自上述三所学校,学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道:①甲不是军事科学院的; ②来自军事科学院的不是博士;③乙不是军事科学院的;④乙不是博士学位;⑤国防科技大学的 是研究生.则丙是来自哪个院校的,学位是什么( ) A.国防大学,研究生 B.国防大学,博士 C.军事科学院,学士 D.国防科技大学,研究生 { }| 1A x x= ≤ A B A= B { }| 0x x ≤ { }2|x x ≤ { }| 0x x ≥ { }| 2x x ≥ =1iz − 2 2+1 1( )x y+ = 2 2( 1) 1x y− + = 22 ( 1) 1yx + − = 22 ( +1) 1yx + = x 3 3x + 6 6x + ⋅⋅⋅ 0 9 12 18 5.下列说法正确的是( ) A. ,“ ”是“ ”的必要不充分条件 B.“ 为真命题”是“ 为真命题”的必要不充分条件 C.命题“ ,使得 ”的否定是:“ , ” D.命题 “ , ”,则 是真命题 6.已知平面向量 , ,则 与 的夹角等于( ) A. B. C. D. 7.某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示,在这一年中的水、电、交通开支(单位:万元)如 图 2 所示,则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为( ) A. B. C. D. 8. 为两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A . 若 , , ,则 B.若 , , ,则 C.若 ,则 D.若 ,则 9.我们把离心率互为倒数且焦点相同的椭圆和双曲线称为一对“优美曲线”。已知 是一对“优 美曲线”的焦点, 是它们在第一象限的交点,当时 时,这一对“优美曲线”中双曲 线的离心率是 ( ) A.2 B. C. D. 10.已知 ,若对于 且 都 ,则 的取值 a R∈ 1 1a < 1a > p q∧ p q∨ x R∃ ∈ 2 2 3 0x x+ − < x R∀ ∈ 2 2 3 0x x+ − > :p x R∀ ∈ sin cos 2x x+ ≤ p¬ (3,0)=a 2 (1,2 3)+ =a b a b 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π 6.25% 7.5% 10.25% 31.25% nm, ,α β α β⊥ m α⊂ n β⊂ m n⊥ //α β m α⊂ n β⊂ //m n βα ⊂⊂⊥ nmnm ,, βα ⊥ βα ⊥⊥⊥ nmnm ,, βα ⊥ 1 2,F F M 1 2 3F MF π∠ = 2 3 3 2 3 2ln2)( xxaxf += ),0(, 21 +∞∈∀ xx 21 xx ≠ 4)()( 21 21 >− − xx xfxf a 范围是( ) A . B. C. D. 11.在平面直角坐标系中, 分别是 轴和 轴上的动点,若以 为直径的圆 与直线 相切,则圆 面积的最小值为( ) A. B. C. D. 12.定义在 上的函数 满足下列两个条 件:(1)对任意的 恒有 成 立;(2)当 时, .记函数 ,若函数 恰有两个零点, 则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设 且 f(2)=4,则 f(-2)=________. 14.若点 在直线 上,则 的值等于________ 15. 已知数列 为等比数列,首项 ,数列 满足 ,且 ,则 16.如图是某机械零件的几何结构,该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的,且前后、左右、 上下均对称,每个四棱柱的底面都是边长为 2 的正方形,高为 4,且两个四棱柱的侧棱互相垂直.则 这个几何体有______个面,其体积为______. 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个 试题考生都必须作答.第 22、23 为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分。 17.(本小题满分 12 分) △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 (1)求角 B 的大小; ),1( +∞ [ )+∞,1 )1,0( ( ]1,0 BA, x y AB C 033 =−+ yx C π 5 4 π 9 10 π 4 3 π 40 9 ),1( +∞ )(xf ),1( +∞∈x )(2)2( xfxf = ( ]2,1∈x xxf −= 2)( ( )g x = ( ) ( 1)f x k x− − )(xg k [ )1,2     2,3 4      2,3 4      2,3 4    <+ ≥= 0),(log 0,)( 22 2 xax xaxf x (cos ,sin )P α α 2y x= cos(2 )2 πα + }{ na 41 =a { }nb nn ab 2log= 12321 =++ bbb 4a C c B b BC a cossinsincos += (2)若 b= 2,求△ABC 的面积的最大值. 18. (本小题满分 12 分) 如图,已知平面多边形 PABCD 中,AP=PD,AD=2DC=2CB=4,AD∥BC,AP⊥PD, AD⊥DC,E 为 PD 的中点,现将三角形 APD 沿 AD 折起,使 PC=2 2. (1)证明:CE∥平面 PAB; (2)求三棱锥 P­BCE 的体积. 19(本小题满分 12 分) 某高校在 2019 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩共分五组,得 到如下的频率分布表: 组号 分组 频数 频率 第一组 [145,155) 5 0.05 第二组 [155,165) 35 0.35 第三组 [165,175) 30 a 第四组 [175,185) b c 第五组 [185,195) 10 0.1 (1)请写出频率分布表中 a,b,c 的值,若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替,请估计 全体考生的平均成绩; (2)为了能选出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名考生进入第二轮面试,求第 3、4、5 组中每组各抽取多少名考生进入第二轮的面试; (3)在(2)的 前提下,学校要求每个学生需从 A、B 两个问题中任选一题作为面试题目,求第三组 和第五组中恰好有 2 个学生选到问题 B 的概率. 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=xln x-1,g(x)=(k-1)x-k(k∈R). (1)若直线 y=g(x)是曲线 y=f(x)的一条切线,求 k 的值; (2)当 x>1 时,直线 y=g(x)与曲线 y=f(x)+1 无交点,求整数 k 的最大值. 21. (本小题满分 12 分) 已知动直线 与椭圆 C: 交于 , 两个不同点,且 的面积 = ,其中 为坐标原点. (Ⅰ)证明 和 均为定值; (Ⅱ)设线段 的中点为 ,求 的最大值; (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计 分. 22.(本小题满分 10 分) 已知在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数).以原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 . (1)求曲线 和直线 的普通方程; (2)若直线 交曲线 于 两点,交 轴于点 ,求 的值. 23.(本小题满分 10 分) 已知函数 . (Ⅰ)当 ,求 的取值范围; (Ⅱ)若 ,对 ,都有不等式 恒成立,求 的取值范围. l 146 22 =+ yx ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y OPQ∆ OPQS∆ 6 O 2 2 1 2x x+ 2 2 1 2y y+ PQ M OM PQ⋅ xoy C 2 2 2 1 1 1 tx t ty t  += −  = − t O x l 5cos( )3 4 πρ θ + = C l l C ,A B x P 1 1 PA PB + ( ) ,f x x x a a R= − ∈ ( ) ( )1 1 1f f+ − > a 0a > ( ], ,x y a∀ ∈ −∞ ( ) 5 4f x y y a≤ + + − a 高三最后一次 文科数学答案 一.选择题: BCBCA CADDB DD 一. 填空题: 13. 3 14. 15.256 16. 20, 三.解答题: 17.(1)利用正弦定理,得 sin A cos Csin B=cos C+sin C cos C ,即sin(B+C) sin B =cos C+sin C, 则 sin Bcos C+cos Bsin C=sin Bcos C+sin Bsin C,又 sin C≠0, 所以 tan B=1,又 0<B<π,∴B=π 4. ………………………6 分 (2)△ABC 的面积 S=1 2acsin B= 2 4 ac, 所以当 ac 最大时,S 最大. 由已知及余弦定理,得 2=a2+c2-2accosπ 4=a2+c2- 2ac≥2ac- 2ac, 所以 ac≤ 2 2- 2 =2+ 2,当且仅当 a=c 时取等号,所以△ABC 的面积的最大值为 2 4 ×(2+ 2)= 2+1 2 . ………………………12 分 18.解:(1)证明:如图,取 PA 的中点 H,连接 HE,HB, ∵E 为 PD 的中点,∴HE 为△PAD 的中位线, ∴HE 綊 1 2AD, 又 BC 綊 1 2AD,∴HE 綊 BC, ∴四边形 BCEH 为平行四边形,∴CE∥BH, ∵BH⊂平面 ABP,CE⊄平面 ABP, ∴CE∥平面 ABP. ………………………5 分 4 5 − (2)由题意知△PAD 为等腰直角三角形,四 边形 ABCD 为直角梯形, 取 AD 的中点 F,连接 BF,PF,∵AD=2BC=4,∴PF=BF=2, ∵PF⊥AD,BF⊥AD,PF∩BF=F,∴DF⊥平面 PBF, ∴BC⊥平面 PBF,∵PB⊂平面 PBF,∴BC⊥PB. ∵在直角三角形 PBC 中,PC=2 2,BC=2,∴PB=2, ∴△PBF 为等边三角形. 取 BF 的中点 O,连接 PO,则 PO⊥BF,由 DF ⊥平面 PBF 知 PO⊥DF,又 DF∩BF=F, ∴PO⊥平面 ABCD,PO= 3, ∵E 为 PD 的中点, ∴E 到平面 PBC 的距离等于 D 到平面 PBC 的距离的一半, 连 接 BD , 则 VP - BC E = VE - PBC = 1 2VD - PBC = 1 2VP - BCD = 1 2×1 3·S △ BCD · PO = 1 2×1 3×1 2×2×2× 3= 3 3 . ………………………12 分 19 解:解:(1)由题意知,a=0.3,b=20,c=0.2. x - =150×0.05+160×0.35+170×0.3+180×0.2+ 190×0.1=169.5. ………………………4 分 (2)第 3、4、5 组共 60 名学生,现抽取 6 名,因此第 3 组抽取的人数为30 60×6=3 人,第 4 组抽取的人 数为20 60×6=2 人,第 5 组抽取的人数为10 60×6=1 人.………………………7 分 (3)所有的基本事件如下:(A,A,A,A),(A,A,A,B),(A,A,B,A),(A,B,A,A),(B, A,A,A),(A,A,B,B),(A,B,A,B),(B,A,A,B),(A,B,B,A),(B,A,B,A),(B, B,A,A),(B,B,B,A),(B,B,A,B),(B,A,B,B),(A,B,B,B),(B,B,B,B),所以, 基本事件总数为 16 种. 第三组和第五组中恰好有 2 个学生选到问题 B 的基本事件如下:(A,A,B,B),(A,B,A,B), (B,A,A,B),(A,B,B,A),(B,A,B,A),(B,B,A,A),共包含 6 个基本事件. 故第三组和第五组中恰好有 2 个学生选到问题 B 的概率 P= 6 16=3 8. ………………………12 分 20.解(1)由题意知 f′(x)=ln x+1,设切点为 P(x0,x0ln x0-1), 在点 P 处的切线方程为 y-(x0ln x0-1)=(1+ln x0)(x-x0). 整理得 y=(1+ln x0)x-(x0+1). 由{1+ln x0=k-1, k=x0+1 ⇒{ln x0=k-2, x0=k-1 ⇒ln x0=x0-1. 令 h(x)=ln x-x+1,h′(x)=1 x-1=1-x x . 当 00,h(x)在(0,1)上单调递增;当 x>1,h′(x)<0,h(x)在(1,+∞)上单调递减. 所以 h(x)的最大值为 h(1)=0,即 x0=1,故 k=2. ………………………5 分 (2)令 F(x)=xln x-(k-1)x+k,F′(x)=ln x+2-k=ln x-(k-2).(x>1) ①当 k-2≤0 时,F′(x)>0,所以 f(x)在(1,+∞)上单调递增. 所以 F(x)>F(1)=1,即 F(x)在(1,+∞)上无零点. ②当 k-2>0 时,由 F′(x)=0,得 x=ek-2. 当 1ek-2,F′(x)>0,所以 F(x)在(ek-2,+∞)上单调递增. F(x)的最小值为 F(ek-2)=(k-1)ek-2-k(ek-2-1)=k-ek-2. 令 m(k)=k-ek-2,则 m′(k)=1-ek-2<0, 所以 m(k)在(2,+∞)上单调递减, 而 m(2)=2-1=1,m(3)=3-e>0,m(4)=4-e2<0,因此 k 的最大值为 3. ………………………12 分 21 解(Ⅰ)(1)当直线 的斜率不存在时,P,Q 两点关于 轴对称,所以 ∵ 在椭圆上,∴ ①又∵ = ,∴ ② 由①②得 , .此时 ; (2)当直线 的斜率存在时,是直线 的方程为 ,将其代入 得 ,即 , 又 , , l x 1 2 1 2x x y y= = −, , 1 1P x y( , ) 146 22 =+ yx OPQS∆ 6 611 =yx 31 =x 21 =y ,62 2 2 1 =+ xx 42 2 2 1 =+ yy l l 0y kx m m= + ≠,( ) 146 22 =+ yx ( ) ( )( ) 04231236,0)4(3623 2222222 >−+−=∆=−+++ mkmkmkmxxk 22 46 mk >+ 1 2 2 6 3 2 kmx x k + = − + 23 )4(3 2 2 21 + −=• k mxx ∴ ∵点 O 到直线 的距离为 , ∴ , 又 = , 整理得 , 此时 , 综上所述 结论成立.··············6 分 (Ⅱ)(1)当直线 的斜率不存在时,由(Ⅰ)知 , ,因此 . (2)当直线 的斜率存在时,由(Ⅰ)知 所以 .当且仅当 ,即 时,等号成立. 综合(1)(2)得 的最大值为 5;················12 分 22.(1)曲线 的参数方程为 (t 为参数), 转化为直角坐标方程为 . 直线 的极坐标方程 . ( ) 23 4662141 2 22 2 21 2 21 2 + −++=−++= k mkkxxxxkPQ l 2 | | 1 md k = + 23 466 123 466212 1 2 22 22 22 2 + −+= + ⋅+ −++=∆ k mmk k m k mkkS OPQ OPQS∆ 6 22 23 mk =+ 2 2 2 1 2 1 2 1 22x x x x x x+ = + −( ) 2 2 6=( ) 23 2 km k − −+ 662436 23 )4(3 2 2 2 2 =−+=+ − m k k m 4)6(3 2)6(3 2 2 2 2 1 2 2 2 1 =−+−=+ xxyy ,62 2 2 1 =+ xx 42 2 2 1 =+ yy l 31 == xOM 222 1 == yPQ 62== PQOM l mmxxkyy m kxx 2 22,3 2 212121 =++=+−=+ 222 2 2212212 2349)2()2( mmm kyyxxOM −=+=+++= )11(824 3 1 )23( )46(24)1( 22 2 22 22 22 mm m k mkkPQ +=⋅+=+ −++= 25)2223()22)(23(4 2 2222 22 =++−≤+−= mmmmPQOM OM PQ⋅ 5≤ 22 2223 mm +=− 2±=m | OM | | PQ |⋅ C 2 2 2 1 1 1 tx t ty t  += −  = − 2 24 1( 1)x y x− = ≠ − l 5 1 3 5cos( ) cos sin3 4 2 2 4 πρ θ ρ θ ρ θ+ = ⇒ − = 转化为普通方程为: .·····5 分 (2)由于直线与 轴的交点坐标为( ), 所以直线的参数方程为 ( 为参数), 代入 得到: , 所以: , , 则: 8.………………………10 分 23.(Ⅰ) , 若 ,则 ,得 ,即 时恒成立; 若 ,则 ,得 ,即 ; 若 ,则 ,得 ,此时不等式无解. 综上所述, 的取值范围是 .………………………5 分 (Ⅱ)由题意知,要使不等式恒成立, 只需 . 当 时, , . 因为 , 所以当 时, . 于是 ,解得 . 结合 ,所以 的取值范围是 .………………………10 分 02 53x y− − = x 5 02 , 5 3 2 2 1 2 x t y t  = +  = t 2 24 1x y− = 2 2 15 1 0t t− − = 1 2 2 15t t+ = 1 2 1t t⋅ = − 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 41 1 t t t t t t PA PB t t t t − + −+ = = = ( ) ( )1 1 1 1 1f f a a+ − = − − + > 1a ≤ − 1 1 1a a− + + > 2 1> 1a ≤ − 1 1a− < < ( )1 1 1a a− − + > 1 2a < − 11 2a− < < − 1a ≥ ( ) ( )1 1 1a a− − − + > 2 1− > a 1, 2  −∞ −   ( ) max min 5 4f x y y a    ≤ + + −     ( ],x a∈ −∞ ( ) 2f x x ax= − + ( ) 2 max 2 4 a af x f    = =     5 5 4 4y y a a+ + − ≥ + 5 ,4y a ∈ −   min 5 5 4 4y y a a  + + − = +   5 4a= + 2 5 4 4 a a≤ + 1 5a− ≤ ≤ 0a > a ( ]0,5
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