天津市五区县2013届高三质量检查试卷（一）理科数学 含答案

天津市五区县2013届高三质量检查试卷（一）理科数学 含答案

天津市五区县201 3年高三质量调查试卷 数 学（理工类）‎ ‎ 本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟，第1卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，‎ ‎ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效，‎ ‎ 祝各位考生考试顺利l 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎(1)是虚数单位，复数等于 ‎ (A) (B)‎ ‎ (C) (D)‎ ‎(2)设x∈R，则“x>0"是“"的 ‎ (A)充分而不必要条件 ‎ (B)必要而不充分条件 ‎ (C)充分必要条件 ‎ (D)既不充分也不必要条件 ‎(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，‎ ‎ 当输入的值为10时，输出S的值为 ‎ (A) 45 (B) 49‎ ‎(C) 52 (D) 54‎ ‎(4)在的二项展开式中，的系数为 ‎ (A) 40 (B) -40‎ ‎ (C) 80 (D) -80‎ ‎(5)在等比数列中，，则 ‎ ‎ (A)±9 (B)9‎ ‎ (C)±3 (D)3‎ ‎(6)设△ABC的内角的对边分别为a，b,c，且,则sinA=‎ ‎ (A) (B)‎ ‎ ( C) (D)‎ ‎ (7)直角三角形ABC中，，点D在斜边AB上，且,‎ ‎,若，则 ‎(A) (B)‎ ‎ (C) (D）‎ ‎ (8)定义在R上奇函数，对任意都有，若，则 ‎ (A) -4026 (B) 4026‎ ‎(C) -4024 (D) 4024‎ 天津市五区县201 3年高三质量调查试卷（一）‎ 数学（理工类）‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎ 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．‎ ‎ 2．本卷共12小题，共110分，‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎(9)某奥运代表团由112名男运动员，84名女运动员和28名教练员组成，现拟采用分层抽样的方法抽出一个容量为32的样本，则女运动员应抽取_______人．‎ ‎(10)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______．‎ ‎(11)已知集合，集合 ‎ ,若 ‎ 则实数a=______.‎ ‎(12)若直线x - y+t=0被曲线（为参数）截得的 ‎ 弦长为，则实数t的值为______。‎ ‎(13)如图，在中，CD垂直于直径AB，垂足为D，‎ ‎ DEBC，垂足为E，若AB =8，，‎ 则AD=____．‎ ‎(14)设函数若，则关于x的方程的解的个数为_______个，‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．‎ ‎(15)（本小题满分13分）‎ ‎ 已知函数，为常数，，且．‎ ‎ (I)求函数的最小正周期。‎ ‎ (Ⅱ)当时，求函数的最大值和最小值，‎ ‎(16)（本小题满分13分）‎ ‎ 一盒中装有9个大小质地相同的小球，其中红球4个，标号分别为0，1，2，3；白球3个，标号分别为0，1，2；黑球2个，标号分别为0，l；现从盒中不放回地摸出2个小球．‎ ‎ (I)求两球颜色不同且标号之和为3的概率；‎ ‎(Ⅱ)记所摸出的两球标号之积为，求的分布列与数学期望．‎ ‎(17)（本小题满分13分）‎ ‎ 在三棱锥S -ABC中，是边长为2的正三角形，平面SAC平面ABC，，E，F分别为AB、SB的中点．‎ ‎ (I)证明：ACSB；‎ ‎ (Ⅱ)求锐二面角F -CE –B的余弦值；‎ ‎ (Ⅲ)求B点到平面CEF的距离．‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ ‎ 已知数列中，数列中。其中．‎ ‎ (I)求证：数列是等差数列：‎ ‎ (Ⅱ)设最是数列的前n项和，求；‎ ‎ (Ⅲ)设是数列的前n 项和，求证：．‎ ‎(19)（本小题满分14分）‎ ‎ 设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为，右焦点F到点的距离为2.‎ ‎ (I)求椭圆的方程；‎ ‎ (Ⅱ)设经过点（0，-3）的直线Z与椭圆相交于不同两点M，N满足，试 ‎ 求直线的方程．‎ ‎(20)（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数在点处的切线方程为6x+3y -10=0，且对任意 的恒成立．‎ ‎ (I)求a,b的值；‎ ‎ (Ⅱ)求实数k的最小值；‎ ‎ (Ⅲ)证明：．‎ 天津市五区县2013年高三质量调查试卷参考答案 数 学（理工类）‎ 一、选择题：每小题5分，满分40分.‎ ‎（1）B （2）C （3）D （4）A （5）C （6）C （7）D （8）A 二、填空题：每小题5分，共30分.‎ ‎（9）12 （10） （11）5 （12）或6 （13）1 （14）3‎ 三、解答题 ‎（15）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由已知得 ‎ 即，………………………………………………………………2分 ‎ 所以 ………………………………………………3分 ‎ 所以 ……………………4分 ‎ …………………………………5分 ‎ 所以函数的最小正周期为 …………………………………6分 ‎（Ⅱ）由，得 …………………………………7分 ‎ 则 ……………………………………………………9分 ‎ 所以 …………………………………11分 ‎ 所以函数的最大值为；最小值为…………………13分 ‎（16）（本小题满分13分）‎ 解：(Ⅰ)从盒中不放回地摸出2个小球的所有可能情况有种 ………… 2分 ‎ 颜色不同且标号之和为3的情况有6种 ………………………………… 4分 ‎ ∴ …………………………………………… 5分 ‎(Ⅱ) 依题意的可取值为0,1,2,3,4,6‎ ‎ ………………………………………………6分 ‎ ………………………………………………7分 ‎ ………………………………………………8分 ‎ ………………………………………………9分 ‎ ………………………………………………10分 ‎ ………………………………………………11分 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎（不列表不扣分）‎ ‎ …………………13分 ‎（17）（本小题满分13分）‎ 证明：（Ⅰ）法一：取中点，连结，．‎ ‎∵ ∴且 ‎∴平面，又平面，∴ …………………………3分 F E B A C S O x y z 法二：取中点，以为原点，‎ 分别以、、为轴、轴、轴，‎ 建立空间直角坐标系，则,‎ ‎，,,‎ ‎，‎ ‎． ……………………………………………………………………3分 ‎ (Ⅱ)由（Ⅰ）得 设为平面的一个法向量，则　 ‎ ‎ 取,．‎ ‎∴ ． …………………………………………………………6分 又为平面的一个法向量， ‎ ‎∴二面角的余弦值为． ………………………………………9分 ‎(Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）得，为平面的一个法向量 ‎∴点到平面的距离 ……………………………13分 ‎（18）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ），　 ………………………………1分 ‎　而　，‎ ‎　　∴　． …………………………3分 ‎　　∴　{}是首项为，公差为1的等差数列． …………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ………………………………………………………5分 ‎, …………………………………6分 于是 =　　 …………………………………………7分 故有 ‎ =6 …………………………………9分 ‎ （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知　, ……………………………10分 ‎ 则 ‎ ． …………11分 ‎ 则 +…+ ，‎ ‎ ∴ ． ………………………13分 ‎（19）（本小题满分14分）‎ 解：(Ⅰ) 依题意,设椭圆方程为,‎ 则其右焦点坐标为, ………………………………1分 由,得,‎ 即,故. …………………………………………2分 又∵, ∴, ……………………………………………………3分 ‎∴所求椭圆方程为. ……………………4分 ‎(Ⅱ)由题意可设直线的方程为, ……………………5分 由，知点在线段的垂直平分线上,‎ 由 得 ‎ 即……（*） ………………………………………6分 即时方程（*）有两个不相等的实数根 …………………………7分 设，，线段的中点 则，是方程（*）的两个不等的实根，故有 …………8分 从而有， ‎ 于是，可得线段的中点的坐标为 ………………9分 又由于，因此直线的斜率为 ………10分 由，得 …………………………11分 即，解得，∴， …………………………12分 ‎∴所求直线的方程为：. …………………………14分 方法二：设直线的方程为， ………………………………5分 则 ‎ ‎　　　　得： ………………………………………6分 由 ‎ 设、 由韦达定理得　， ……………8分 ‎　　 又，则 ……………9分 ‎ 移项得：＝＝－＝－＝－‎ 解得， …………………………………………………………12分 此时△＞0适合题意，‎ ‎∴所求直线的方程为：=±－3 …………………………………14分 ‎（20）（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）， ∴ ① ………………1分 将代入直线方程得，∴ ② ………………2分 ‎ ‎ ①②联立，解得 ……………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ‎，∴在上恒成立；‎ 即在恒成立； ………………………………5分 设，，‎ ‎∴只需证对于任意的有 …………………………6分 设，‎ ‎1）当，即时，，∴‎ 在单调递增，∴ ……………………………………7分 ‎2）当，即时，设是方程的两根且 由，可知，‎ 分析题意可知当时对任意有；‎ ‎∴，∴ …………………………………8分 综上分析，实数的最小值为. …………………………………9分 ‎（Ⅲ）令，有即在恒成立…10分 令，得 ……………………11分 ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴原不等式得证. ……………………………………………………………14分