2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学 （江苏卷） 含答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学 （江苏卷） 含答案

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学Ⅰ试题 参考公式 圆柱的体积公式：=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高。‎ 圆锥的体积公式： Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高。‎ 一、 填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。‎ 1. 已知集合，，则集合中元素的个数为_______.‎ 2. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.‎ 3. 设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_______.‎ 4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________.‎ 5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.‎ 6. 已知向量=（2,1），=（1，-2），若=（9，-8）（m，nR），则m-n的值为______.‎ 7. 不等式的解集为________.‎ ‎8.已知，，则的值为_______.‎ ‎9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 。‎ ‎10.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。‎ ‎11.数列满足，且（），则数列前10项的和为 。‎ ‎12.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线 的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 。‎ ‎13.已知函数，，则方程实根的个数为 。‎ ‎14.设向量，则的值为 。‎ 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ 在中，已知 ‎(1)求BC的长；‎ ‎（2）求的值。‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ 如图，在直三棱柱中，已知.设的中点为D，‎ 求证：（1）‎ ‎(2)‎ 17. ‎（本小题满分14分）‎ 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以 所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.‎ ‎（I）求a，b的值；‎ ‎（II）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.‎ ‎ ①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；‎ ‎ ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.‎ 17. ‎（本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.‎ （1） 求椭圆的标准方程；‎ （2） 过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.‎ ‎19.（本小题满分16分）‎ 已知函数。‎ ‎（1）试讨论的单调性；‎ ‎（2）若（实数c是与a无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值。‎ ‎20.设是各项为正数且公差为d的等差数列 ‎（1）证明：依次构成等比数列；‎ ‎（2）是否存在，使得依次构成等比数列？并说明理由；‎ ‎（3）是否存在及正整数，使得依次构成等比数列？并说明理由。‎ 数学Ⅰ试题参考答案 一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.‎ ‎1.2 2.6 3. 4.7 5. 6.-3 7. 8.3 9. 10. 11. 12. 13.4 14. ‎ 二、解答题 ‎15.本小题主要考查余弦定理、正弦定理，同角三角函数关系与二倍角公式，考查运算求解能力.满分14分。‎ 解：‎ ‎（1）由余弦定理知，，‎ 所以．‎ ‎（2）由正弦定理知，，所以．‎ 因为，所以为锐角，则．‎ 因此.‎ ‎16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分。‎ 证明：（1）由题意知，为的中点，‎ 又为的中点，因此．‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）因为棱柱是直三棱柱，‎ 所以平面．‎ 因为平面，所以．‎ 又因为，平面，平面，，‎ 所以平面．‎ 又因为平面，所以．‎ 因为，所以矩形是正方形，因此．‎ 因为，平面，，所以平面．‎ 又因为平面，所以．‎ ‎17. 本小题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用，考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.‎ 解：（1）由题意知，点，的坐标分别为，．‎ 将其分别代入，得，‎ 解得．‎ ‎（2）①由（1）知，（），则点的坐标为，‎ 设在点处的切线交，轴分别于，点，，‎ 则的方程为，由此得，．‎ 故，．‎ ②设，则．令，解得．‎ 当时，，是减函数；‎ 当时，，是增函数．‎ 从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，‎ 此时．‎ 答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米．‎ ‎18.本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、直线与直线、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查分析问题及运算求解能力.满分16分.‎ ‎（1）由题意，得且，‎ 解得，，则，‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）当轴时，，又，不合题意．‎ 当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，‎ 将的方程代入椭圆方程，得，‎ 则，的坐标为，且 ‎．‎ 若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意．‎ 从而，故直线的方程为，‎ 则点的坐标为，从而．‎ 因为，所以，解得．‎ 此时直线方程为或．‎ ‎19.本小题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分。‎ 解：（1），令，解得，．‎ 当时，因为（），所以函数在上单调递增；‎ 当时，时，，时，，‎ 所以函数在，上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，时，，时，，‎ 所以函数在，上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（2）由（1）知，函数的两个极值为，，则函数有三个 零点等价于，从而或．‎ 又，所以当时，或当时，．‎ 设，因为函数有三个零点时，的取值范围恰好是 ‎，则在上，且在上均恒成立，‎ 从而，且，因此．‎ 此时，，‎ 因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根，‎ 所以，且，‎ 解得．‎ 综上．‎ ‎20.本小题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识研究与解决问题的能力.满分16分.‎ 解：（1）证明：因为（，，）是同一个常数，‎ 所以，，，依次构成等比数列．‎ ‎（2）令，则，，，分别为，，，（，，）．‎ 假设存在，，使得，，，依次构成等比数列，‎ 则，且．‎ 令，则，且（，），‎ 化简得（），且．将代入（）式，‎ ‎，则．‎ 显然不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，‎ 因此不存在，，使得，，，依次构成等比数列．‎ ‎（3）假设存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列，‎ 则，且．‎ 分别在两个等式的两边同除以及，并令（，），‎ 则，且．‎ 将上述两个等式两边取对数，得，‎ 且．‎ 化简得，‎ 且．‎ 再将这两式相除，化简得（）．‎ 令，‎ 则．‎ 令，‎ 则．‎ 令，则．‎ 令，则．‎ 由，，‎ 知，，，在和上均单调．‎ 故只有唯一零点，即方程（）只有唯一解，故假设不成立．‎ 所以不存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列．‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ 21、 ‎（选做题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ A、 选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）‎ 如图，在中，，的外接圆O的弦交于点D 求证：‎ B、选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）‎ 已知，向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量，求矩阵以及它的另一个特征值。‎ C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 已知圆C的极坐标方程为，求圆C的半径.‎ D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 解不等式 ‎22.如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,‎ ‎(1)求平面与平面所成二面角的余弦值；‎ ‎（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长 ‎23.（本小题满分10分）‎ 已知集合，设，令表示集合所含元素的个数.‎ ‎（1）写出的值；‎ ‎（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明。‎ ‎21.[选做题] ‎ A.（选修4—1：几何证明选讲）‎ 本小题主要考查圆的基本性质和相似三角形等基础知识，考查推理论证能力.满分10分。‎ 证明：因为，所以．‎ 又因为，所以，‎ 又为公共角，可知∽．‎ A B C E D O ‎（第21——A题）‎ B[选修4—2：矩阵与变换]‎ 本小题主要考查矩阵的特征值与特征向量的概念等基础知识，考查运算求解能力.满分10分。‎ 解：由已知，得，即，‎ 则，即，所以矩阵．‎ 从而矩阵的特征多项式，所以矩阵的另一个特征值为．‎ C[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 本小题主要考查圆的极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等知识，考查运算求解能力.满分10分。‎ 解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，以极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系．‎ 圆的极坐标方程为，‎ 化简，得．‎ 则圆的直角坐标方程为，‎ 即，所以圆的半径为．‎ D[选修4—5：不等式选讲]‎ 本小题主要考查含绝对值不等式的解法，考查分类讨论的能力。满分10分。‎ 解：原不等式可化为或．‎ 解得或．‎ 综上，原不等式的解集是．‎ ‎22.【必做题】本小题主要考查空间向量、二面角和异面直线所成角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.满分10分。‎ 解：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则各点的坐标为，，，．‎ ‎（1）因为平面，所以是平面的一个法向量，．‎ 因为，．‎ 设平面的法向量为，则，，即．‎ 令，解得，．‎ 所以是平面的一个法向量．‎ 从而，所以平面与平面所成二面角的余弦值为．‎ ‎（2）因为，设（），‎ 又，则，又，‎ 从而．‎ 设，，则．‎ 当且仅当，即时，的最大值为．‎ 因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．‎ 又因为，所以．‎ ‎23.【必做题】本题主要考查计数原理、数学归纳法等基础知识，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力，满分10分。‎ 解：（1）．‎ ‎（2）当时，（）．‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ①当时，，结论成立；‎ ②假设（）时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，，中产生，分以下情形讨论：‎ ‎1）若，则，此时有 ‎，结论成立；‎ ‎2）若，则，此时有 ‎，结论成立；‎ ‎3）若，则，此时有 ‎，结论成立；‎ ‎4）若，则，此时有 ‎，结论成立；‎ ‎5）若，则，此时有 ‎，结论成立；‎ ‎6）若，则，此时有 ‎，结论成立．‎ 综上所述，结论对满足的自然数均成立．‎