2009年重庆市高考数学试卷(文科)【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

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文档介绍

2009年重庆市高考数学试卷(文科)【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

‎2009年重庆市高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1. 圆心在y轴上,半径为‎1‎,且过点‎(1, 2)‎的圆的方程为( )‎ A.x‎2‎‎+(y-2‎)‎‎2‎=1‎ B.‎x‎2‎‎+(y+2‎)‎‎2‎=1‎ C.‎(x-1‎)‎‎2‎+(y-3‎)‎‎2‎=1‎ D.‎x‎2‎‎+(y-3‎)‎‎2‎=1‎ ‎2. 命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是‎(‎        ‎‎)‎ A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”‎ B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”‎ C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”‎ D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”‎ ‎3. ‎(x+2‎‎)‎‎6‎的展开式中x‎3‎的系数是( )‎ A.‎20‎ B.‎40‎ C.‎80‎ D.‎‎160‎ ‎4. 已知向量a‎→‎‎=(1, 1)‎,b‎→‎‎=(2, x)‎,若a‎→‎‎+‎b‎→‎与‎4b‎→‎-2‎a‎→‎平行,则实数x的值是‎(‎        ‎‎)‎ A.‎-2‎ B.‎0‎ C.‎1‎ D.‎‎2‎ ‎5. 设‎{an}‎是公差不为‎0‎的等差数列,a‎1‎‎=2‎且a‎1‎,a‎3‎,a‎6‎成等比数列,则‎{an}‎的前n项和Sn‎=(‎        ‎‎)‎ A.n‎2‎‎4‎‎+‎‎7n‎4‎ B.n‎2‎‎3‎‎+‎‎5n‎3‎ C.n‎2‎‎2‎‎+‎‎3n‎4‎ D.‎n‎2‎‎+n ‎6. 下列关系式中正确的是( )‎ A.sin‎11‎‎∘‎0‎,b>0‎,则‎1‎a‎+‎1‎b+2‎ab的最小值是( )‎ A.‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎4‎ D.‎‎5‎ ‎8. ‎12‎个篮球队中有‎3‎个强队,将这‎12‎个队任意分成‎3‎个组(每组‎4‎个队),则‎3‎个强队恰好被分在同一组的概率为( )‎ A.‎1‎‎55‎ B.‎3‎‎55‎ C.‎1‎‎4‎ D.‎‎1‎‎3‎ ‎9. 在正四棱柱ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,顶点B‎1‎到对角线BD‎1‎和到平面A‎1‎BCD‎1‎的距离分别为h和d,则下列命题中正确的是( )‎ A.若侧棱的长小于底面的边长,则hd的取值范围为‎(0, 1)‎ B.若侧棱的长小于底面的边长,则hd的取值范围为‎(‎2‎‎2‎,‎2‎‎3‎‎3‎)‎ C.若侧棱的长大于底面的边长,则hd的取值范围为‎(‎2‎‎3‎‎3‎,‎2‎)‎ D.若侧棱的长大于底面的边长,则hd的取值范围为‎(‎2‎‎3‎‎3‎,+∞)‎ ‎10. 把函数f(x)=x‎3‎-3x的图象C‎1‎向右平移u个单位长度,再向下平移v个单位长度后得到图象C‎2‎、若对任意的u>0‎,曲线C‎1‎与C‎2‎至多只有一个交点,则v的最小值为( )‎ A.‎2‎ B.‎4‎ C.‎6‎ D.‎‎8‎ 二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)‎ ‎11. 若U={n|n是小于‎9‎的正整数‎}‎,A={n∈U|n是奇数‎}‎,B={n∈U|n是‎3‎的倍数‎}‎,则‎∁‎U‎(A∪B)=‎________.‎ ‎12. 记f(x)=log‎3‎(x+1)‎的反函数为y=f‎-1‎(x)‎,则方程f‎-1‎‎(x)=8‎的解x=‎________.‎ ‎13. ‎5‎个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法有________种(用数字作答).‎ ‎14. 从一堆苹果中任取‎5‎只,称得它们的质量为(单位:克):‎125124121123127‎,则该样本标准差s=‎________(克)(用数字作答).‎ ‎15. 已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左,右焦点分别为F‎1‎‎(-c, 0)‎,F‎2‎‎(c, 0)‎,若椭圆上存在一点P使asin∠PF‎1‎F‎2‎‎=‎csin∠PF‎2‎F‎1‎,则该椭圆的离心率的取值范围为________.‎ 三、解答题(共6小题,满分75分)‎ ‎16. 设函数f(x)‎=‎(sinωx+cosωx‎)‎‎2‎+2cos‎2‎ωx(ω>0)‎的最小正周期为‎2π‎3‎.‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎求ω的值;‎ ‎ 6 / 6‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎若函数y=g(x)‎的图象是由y=f(x)‎的图象向右平移π‎2‎个单位长度得到,求y=g(x)‎的单调增区间.‎ ‎17. 某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各‎2‎株、设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为‎5‎‎6‎和‎4‎‎5‎,且各株大树是否成活互不影响、求移栽的‎4‎株大树中:‎ ‎(1)至少有‎1‎株成活的概率;‎ ‎(2)两种大树各成活‎1‎株的概率.‎ ‎18. 如图,在五面体ABCDEF中,AB // DC,‎∠BAD=‎π‎2‎,CD=AD=2‎,四边形ABFE为平行四边形,FA⊥‎平面ABCD,FC=3,ED=‎‎7‎,求:‎ ‎(1)直线AB到平面EFCD的距离;‎ ‎(2)二面角F-AD-E的平面角的正切值.‎ ‎19. 已知f(x)=x‎2‎+bx+c为偶函数,曲线y=f(x)‎过点‎(2, 5)‎,g(x)=(x+a)f(x)‎.‎ ‎(1)求曲线y=g(x)‎有斜率为‎0‎的切线,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)若当x=-1‎时函数y=g(x)‎取得极值,确定y=g(x)‎的单调区间.‎ ‎ 6 / 6‎ ‎20. 已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x=‎‎5‎‎5‎,离心率e=‎‎5‎.‎ ‎(1)求该双曲线的方程;‎ ‎(2)如图,点A的坐标为‎(-‎5‎,0)‎,B是圆x‎2‎‎+(y-‎5‎‎)‎‎2‎=1‎上的点,点M在双曲线右支上,‎|MA|+|MB|‎的最小值,并求此时M点的坐标.‎ ‎21. 已知a‎1‎‎=1,a‎2‎=4,an+2‎=4an+1‎+an,bn=an+1‎an,n∈‎N‎*‎,‎ ‎(1)求b‎1‎,b‎2‎,b‎3‎的值;‎ ‎(2)设cn‎=‎bnbn+1‎,Sn为数列‎{cn}‎的前n项和,求证:Sn‎≥17n;‎ ‎(3)求证:‎|b‎2n-bn|<‎1‎‎64‎⋅‎‎1‎‎17‎n-2‎.‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2009年重庆市高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1.A ‎2.B ‎3.D ‎4.D ‎5.A ‎6.C ‎7.C ‎8.B ‎9.C ‎10.B 二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)‎ ‎11.‎‎{2, 4, 8}‎ ‎12.‎‎2‎ ‎13.‎‎72‎ ‎14.‎‎2‎ ‎15.‎‎(‎2‎-1,1)‎ 三、解答题(共6小题,满分75分)‎ ‎16.(1)f(x)‎=‎(sinωx+cosωx‎)‎‎2‎+2cos‎2‎ωx=‎sin‎2‎ωx+cos‎2‎ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx ‎=sin2ωx+cos2ωx+2=‎2‎sin(2ωx+π‎4‎)+2‎ 依题意得‎2π‎2ω‎=‎‎2π‎3‎,故ω的值为‎3‎‎2‎.‎ ‎(2)依题意得:‎g(x)=‎2‎sin[3(x-π‎2‎)+π‎4‎]+2=‎2‎sin(3x-‎5π‎4‎)+2‎ 由‎2kπ-π‎2‎≤3x-‎5π‎4‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z)‎ 解得‎2‎‎3‎kπ+π‎4‎≤x≤‎2‎‎3‎kπ+‎7π‎12‎(k∈Z)‎ 故y=g(x)‎的单调增区间为:‎[‎2‎‎3‎kπ+π‎4‎,‎2‎‎3‎kπ+‎7π‎12‎](k∈Z)‎.‎ ‎17.解:设Ak表示第k株甲种大树成活,k=1‎,‎‎2‎ 设Bl表示第l株乙种大树成活,l=1‎,‎‎2‎ 则A‎1‎,A‎2‎,B‎1‎,B‎2‎独立,‎ 且P(A‎1‎)=P(A‎2‎)=‎5‎‎6‎,P(B‎1‎)=P(B‎2‎)=‎4‎‎5‎(I)‎至少有‎1‎株成活的概率为:‎‎1-P(A‎1‎‎¯‎⋅A‎2‎‎¯‎⋅B‎1‎‎¯‎⋅B‎2‎‎¯‎)=1-P(A‎1‎‎¯‎)⋅P(A‎2‎‎¯‎)⋅P(B‎1‎‎¯‎)⋅P(B‎2‎‎¯‎)=1-(‎1‎‎6‎‎)‎‎2‎(‎1‎‎5‎‎)‎‎2‎=‎‎899‎‎900‎ ‎(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知,‎ 两种大树各成活‎1‎株的概率为:‎P=C‎2‎‎1‎‎5‎‎6‎‎1‎‎6‎⋅C‎2‎‎1‎‎4‎‎5‎‎1‎‎5‎=‎10‎‎36‎×‎8‎‎25‎=‎‎4‎‎45‎ ‎18.解:法一:(1)∵ AB // DC,DC⊂‎平面EFCD,‎ ‎∴ AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离,‎ 过点A作AG⊥FD于G,因‎∠BAD=π‎2‎AB // DC,‎ 故CD⊥AD;又∵ FA⊥‎平面ABCD,‎ 由三垂线定理可知,CD⊥FD,‎ 故CD⊥‎面FAD,知CD⊥AG,‎ 所以AG为所求直线AB到面EFCD的距离.‎ 在Rt△FCD中,‎FD=FC‎2‎-CD‎2‎=‎9-4‎=‎‎5‎ 由FA⊥‎平面ABCD,得FA⊥AD,从而在Rt△FAD中 FA=FD‎2‎-AD‎2‎=‎5-4‎=1‎ ‎∴ AG=FA⋅ADFD=‎2‎‎5‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎ 6 / 6‎ 即直线AB到平面EFCD的距离为‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎(2)由己知,FA⊥‎平面ABCD,得FA⊥AD,‎ 又由‎∠BAD=‎π‎2‎,知AD⊥AB,‎ 故AD⊥‎平面ABFE∴ DA⊥AE,‎ 所以,‎∠FAE为二面角F-AD-E的平面角,记为θ.‎ 在Rt△AED中,AE=ED‎2‎-AD‎2‎=‎7-4‎=‎‎3‎,‎ 由平行四边形ABCD得,FE // BA,从而‎∠AFE=‎π‎2‎ 在Rt△AEF中,FE=AE‎2‎-AF‎2‎=‎3-1‎=‎‎2‎,‎ 故tanθ=FEFA=‎‎2‎ 所以二面角F-AD-E的平面角的正切值为‎2‎.‎ 法二:‎ ‎(1)如图以A点为坐标原点,AB‎→‎‎,AD‎→‎,‎AF‎→‎的方向为x,y,z的正方向建立空间直角坐标系数,则A(0, 0, 0)‎ C(2, 2, 0)D(0, 2, 0)‎设F(0, 0, z‎0‎)(z‎0‎>0)‎可得FC‎→‎‎=(2,2,-z‎0‎)‎,‎ 由‎|FC‎→‎|=3‎.即‎2‎‎2‎‎+‎2‎‎2‎+‎z‎0‎‎2‎‎=3‎,‎ 解得F(0, 0, 1)‎ ‎∵ AB // DC,DC⊂‎面EFCD,‎ 所以直线AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离.‎ 设A点在平面EFCD上的射影点为G(x‎1‎, y‎1‎, z‎1‎)‎,‎ 则AG‎→‎‎=(x‎1‎,y‎1‎,z‎1‎)‎因AG‎→‎‎⋅DF‎→‎=0‎且AG‎→‎‎⋅CD‎→‎=0‎,‎ 而DF‎→‎‎=(0,-2,1)CD‎→‎=(-2,0,0)‎,‎ 此即‎-2y‎1‎+z‎1‎=0‎‎-2x‎1‎=0‎解得x‎1‎‎=0‎①,知G点在yoz面上,‎ 故G点在FD上‎.GF‎→‎ // ‎DF‎→‎,‎GF‎→‎‎=(-x‎1‎,-y‎1‎,-z‎1‎+1)‎ 故有y‎1‎‎2‎‎=-z‎1‎+1‎②联立①,②解得,‎G(0,‎2‎‎5‎,‎4‎‎5‎)‎ ‎∴ ‎|AG‎→‎|‎为直线AB到面EFCD的距离.‎ 而AG‎→‎‎=(0,‎2‎‎5‎,‎4‎‎5‎)‎所以‎|AG‎→‎|=‎‎2‎‎5‎‎5‎ ‎(2)因四边形ABFE为平行四边形,‎ 则可设E(x‎0‎, 0, 1)(x‎0‎<0)‎,ED‎→‎‎=(-x‎0‎,2,-1)‎.‎ 由‎|ED‎→‎|=‎‎7‎得x‎0‎‎2‎‎+‎2‎‎2‎+1‎‎=‎‎7‎,‎ 解得x‎0‎‎=-‎‎2‎.即E(-‎2‎,0,1)‎.故AE‎→‎‎=(-‎2‎,0,1)‎ 由AD‎→‎‎=(0,2,0)‎,‎AF‎→‎‎=(0,0,1)‎ 因AD‎→‎‎⋅AE‎→‎=0‎,AD‎→‎‎⋅AF‎→‎=0‎,‎ 故‎∠FAE为二面角F-AD-E的平面角,‎ 又∵ EF‎→‎‎=(‎2‎,0,0)‎,‎|EF‎→‎|=‎‎2‎,‎|AF‎→‎|=1‎,‎ 所以tan∠FAE=‎|EF‎→‎|‎‎|FA‎→‎|‎=‎‎2‎ ‎19.解:(1)∵ f(x)=x‎2‎+bx+c为偶函数,故f(-x)=f(x)‎即有 ‎(-x‎)‎‎2‎+b(-x)+c=x‎2‎+bx+c解得b=0‎ 又曲线y=f(x)‎过点‎(2, 5)‎,得‎2‎‎2‎‎+c=5‎,有c=1‎ ‎∵ g(x)=(x+a)f(x)=x‎3‎+ax‎2‎+x+a从而g'(x)=3x‎2‎+2ax+1‎,‎ ‎∵ 曲线y=g(x)‎有斜率为‎0‎的切线,故有g'(x)=0‎有实数解.即‎3x‎2‎+2ax+1=0‎有实数解.‎ 此时有‎△=4a‎2‎-12≥0‎解得 ‎ 6 / 6‎ a∈(-∞, -‎3‎]∪[‎3‎, +∞)所以实数a的取值范围:a∈(-∞, -‎3‎]∪[‎3‎, +∞)‎‎;‎ ‎(2)因x=-1‎时函数y=g(x)‎取得极值,故有g'(-1)=0‎即‎3-2a+1=0‎,解得a=2‎ 又g'(x)=3x‎2‎+4x+1=(3x+1)(x+1)‎令g'(x)=0‎,得x‎1‎‎=-1‎,‎x‎2‎‎=-‎‎1‎‎3‎ 当x∈(-∞, -1)‎时,g'(x)>0‎,故g(x)‎在‎(-∞, -1)‎上为增函数 当x∈(-1,-‎1‎‎3‎)‎时,g'(x)<0‎,故g(x)‎在‎(-1, -‎1‎‎3‎)‎上为减函数 当x∈(-‎1‎‎3‎,+∝)‎时,g'(x)>0‎,故g(x)‎在‎(-‎1‎‎3‎,+∝)‎上为增函数.‎ ‎20.解:(1)由题意可知,双曲线的焦点在x轴上,‎ 故可设双曲线的方程为x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)‎,‎ 设c=‎a‎2‎‎+‎b‎2‎,‎ 由准线方程为x=‎‎5‎‎5‎得a‎2‎c‎=‎‎5‎‎5‎,由e=‎‎5‎ 得ca‎=‎‎5‎解得a=1,c=‎‎5‎ 从而b=2‎,∴ 该双曲线的方程为x‎2‎‎-y‎2‎‎4‎=1‎;‎ ‎(2)设点D的坐标为‎(‎5‎,0)‎,‎ 则点A、D为双曲线的焦点,‎‎|MA|-|MD|=2a=2‎ 所以‎|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|‎,‎ ‎∵ B是圆x‎2‎‎+(y-‎5‎‎)‎‎2‎=1‎上的点,‎ 其圆心为C(0,‎5‎)‎,半径为‎1‎,‎ 故‎|BD|≥|CD|-1=‎10‎-1‎ 从而‎|MA|+|MB|≥2+|BD|≥‎10‎+1‎ 当M,B在线段CD上时取等号,‎ 此时‎|MA|+|MB|‎的最小值为‎10‎‎+1‎ ‎∵ 直线CD的方程为y=-x+‎‎5‎,‎ 因点M在双曲线右支上,故x>0‎ 由方程组‎4x‎2‎-y‎2‎=4‎y=-x+‎‎5‎ 解得x=‎-‎5‎+4‎‎2‎‎3‎,y=‎‎4‎5‎-4‎‎2‎‎3‎ 所以M点的坐标为‎(‎-‎5‎+4‎‎2‎‎3‎,‎4‎5‎-4‎‎2‎‎3‎)‎ ‎21.解:(1)∵ a‎2‎‎=4‎,a‎3‎‎=17‎,a‎4‎‎=72‎,‎ 所以b‎1‎‎=4.b‎2‎=‎17‎‎4‎,b‎3‎=‎‎72‎‎17‎ ‎(2)由an+2‎‎=4an+1‎+‎an得an+2‎an+1‎‎=4+‎anan+1‎即bn+1‎‎=4+‎‎1‎bn 所以当n≥2‎时,‎bn‎>4‎ 于是c‎1‎‎=‎b‎1‎,b‎2‎‎=17‎,‎cn‎=bnbn+1‎=4bn+1>17(n≥2)‎ 所以Sn‎=c‎1‎+c‎2‎++cn≥17n ‎(3)当n=1‎时,结论‎|b‎2‎-b‎1‎|=‎1‎‎4‎<‎‎17‎‎64‎成立 当n≥2‎时,有‎|bn+1‎-bn|=|4+‎1‎bn-4-‎1‎bn-1‎|=|bn‎-‎bn-1‎bnbn-1‎|≤‎1‎‎17‎|bn-bn-1‎|≤‎1‎‎17‎‎2‎|bn-1‎-bn-2‎|≤‎1‎‎17‎n-1‎|b‎2‎-b‎1‎|<‎1‎‎64‎⋅‎1‎‎17‎n-2‎(n≥2)‎ 所以‎|b‎2n-bn|≤|bn+1‎-bn|+|bn+2‎-bn+1‎|+...+|b‎2n-b‎2n-1‎|‎1‎‎4‎[(‎1‎‎17‎‎)‎n-1‎+(‎1‎‎17‎‎)‎n+(‎1‎‎17‎‎)‎‎2n-2‎]=‎1‎‎4‎⋅‎(‎1‎‎17‎‎)‎n-1‎(1-‎1‎‎17‎n)‎‎1-‎‎1‎‎17‎<‎1‎‎64‎⋅‎1‎‎17‎n-1‎(n∈N‎*‎)‎ ‎ 6 / 6‎
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