2009年辽宁省高考数学试卷(文科)【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

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文档介绍

2009年辽宁省高考数学试卷(文科)【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

‎2009年辽宁省高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1. 已知集合M={x|-25}‎,则M∪N=(‎ ‎‎)‎ A.‎{x|x<-5或x>-2}‎ B.‎‎{x|-55}‎ ‎2. 已知复数z=1-2i,那么‎1‎z‎¯‎‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎5‎‎5‎‎+‎2‎‎5‎‎5‎i B.‎5‎‎5‎‎-‎2‎‎5‎‎5‎i C.‎1‎‎5‎‎+‎2‎‎5‎i D.‎‎1‎‎5‎‎-‎2‎‎5‎i ‎3. 已知‎{an}‎为等差数列,且a‎7‎‎-2a‎4‎=-1‎,a‎3‎‎=0‎,则公差d=(‎ ‎‎)‎ A.‎-2‎ B.‎-‎‎1‎‎2‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎2‎ ‎4. 平面向量a‎→‎与b‎→‎的夹角为‎60‎‎∘‎,a‎→‎‎=(2, 0)‎,‎|b‎→‎|=1‎,则‎|a‎→‎+2b‎→‎|=(‎ ‎‎)‎ A.‎3‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎4‎ D.‎‎12‎ ‎5. 如果把地球看成一个球体,则地球上的北纬‎60‎‎∘‎纬线长和赤道长的比值为( )‎ A.‎0.8‎ B.‎0.75‎ C.‎0.5‎ D.‎‎0.25‎ ‎6. 已知函数f(x)‎满足:x≥4‎,则f(x)=(‎‎1‎‎2‎‎)‎x;当x<4‎时f(x)=f(x+1)‎,则f(2+log‎2‎3)=(‎ ‎‎)‎ A.‎1‎‎24‎ B.‎1‎‎12‎ C.‎1‎‎8‎ D.‎‎3‎‎8‎ ‎7. 已知圆C与直线x-y=‎0‎及x-y-4‎=‎0‎都相切,圆心在直线x+y=‎0‎上,则圆C的方程为( )‎ A.‎(x+1‎)‎‎2‎+(y-1‎‎)‎‎2‎=‎2‎ B.‎(x-1‎)‎‎2‎+(y+1‎‎)‎‎2‎=‎‎2‎ C.‎(x-1‎)‎‎2‎+(y-1‎‎)‎‎2‎=‎2‎ D.‎(x+1‎)‎‎2‎+(y+1‎‎)‎‎2‎=‎‎2‎ ‎8. 已知tanθ=2‎,则sin‎2‎θ+sinθcosθ-2cos‎2‎θ=(‎        ‎‎)‎ A.‎-‎‎4‎‎3‎ B.‎5‎‎4‎ C.‎-‎‎3‎‎4‎ D.‎‎4‎‎5‎ ‎9. ABCD为长方形,AB=‎2‎,BC=‎1‎,O为AB的中点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到O的距离大于‎1‎的概率为( )‎ A.π‎4‎ B.‎1-‎π‎4‎ C.π‎8‎ D.‎‎1-‎π‎8‎ ‎10. 某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a‎1‎,a‎2‎,…aN,其中收入记为正数,支出记为负数.该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V,那么在图中空白的判断框和处理框中,应分别填入下列四个选项中的( )‎ A.A>0‎,V=S-T B.A<0‎,V=S-T C.A>0‎,V=S+T D.A<0‎,V=‎S+T ‎11. 下列‎4‎个命题 p‎1‎‎:∃x∈(0,+∞),(‎1‎‎2‎‎)‎x<(‎‎1‎‎3‎‎)‎x p‎2‎‎:∃x∈(0, 1)‎‎,‎log‎1/2‎x>log‎1/3‎x p‎3‎‎:∀x∈(0,+∞),(‎1‎‎2‎‎)‎x>log‎1/2‎x p‎4‎‎:∀x∈(0,‎1‎‎3‎),(‎1‎‎2‎‎)‎x0)‎的图象如图所示,则ω=‎________.‎ ‎15. 若函数f(x)=‎x‎2‎‎+ax+1‎在x=1‎处取极值,则a=‎________.‎ ‎16. 设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为m)则该几何体的体积为 ‎4‎ m‎3‎.‎ 三、解答题(共6小题,满分70分)‎ ‎17. 等比数列‎{an}‎的前n项和为Sn,已知S‎1‎,S‎3‎,S‎2‎成等差数列.‎ ‎(1)‎求‎{an}‎的公比q;‎ ‎(2)‎r若a‎1‎‎-a‎3‎=3‎,求Sn.‎ ‎18. 如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为‎75‎‎∘‎,‎30‎‎∘‎,于水面C处测得B点和D点的仰角均为‎60‎‎∘‎,AC=0.1 km.试探究图中B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到‎0.01 km,‎2‎‎≈1.414‎,‎6‎‎≈2.449‎)‎ 第13页 共14页 ◎ 第14页 共14页 ‎19. 如图,已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.‎ ‎(1)若平面ABCD⊥‎平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值;‎ ‎(2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.‎ ‎20. 某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在‎(29.94, 30.06)‎的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中个抽出‎500‎件,量其内径尺寸,的结果如下表:‎ 甲厂 分组 ‎[29.86, 29.90)‎ ‎[29.90, 29.94)‎ ‎[29.94‎‎,‎ ‎29.98)‎ ‎[29.98‎‎,‎ ‎30.02)‎ ‎[30.02‎‎,‎ ‎30.06)‎ ‎[30.06‎‎,‎ ‎30.10)‎ ‎[30.10‎‎,‎ ‎30.14)‎ 频数 ‎12‎ ‎63‎ ‎86‎ ‎182‎ ‎92‎ ‎61‎ ‎4‎ 乙厂 分组 ‎[29.86‎‎,‎ ‎29.90)‎ ‎[29.90‎‎,‎ ‎29.94)‎ ‎[29.94‎‎,‎ ‎29.98)‎ ‎[29.98‎‎,‎ ‎30.02)‎ ‎[30.02‎‎,‎ ‎30.06)‎ ‎[30.06‎‎,‎ ‎30.10)‎ ‎[30.10‎‎,‎ ‎30.14)‎ 频数 ‎29‎ ‎71‎ ‎85‎ ‎159‎ ‎76‎ ‎62‎ ‎18‎ ‎(1)‎试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率;‎ ‎(2)‎由于以上统计数据填下面‎2×2(3)‎列联表,并问是否有‎99%‎的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.‎ ‎ ‎ 甲厂 乙厂 合计 优质品 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 非优质品 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 合计 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 附:x‎2‎‎=n(n‎11‎n‎22‎-‎n‎12‎n‎21‎‎)‎‎2‎n‎1+‎n‎2+‎n‎+1‎n‎+2‎,‎p(x‎2‎≥k)‎k‎0.050.01‎‎3.8416.635‎.‎ 第13页 共14页 ◎ 第14页 共14页 ‎21. 设f(x)=ex(ax‎2‎+x+1)‎,且曲线y=f(x)‎在x=1‎处的切线与x轴平行.‎ ‎(1)‎求a的值,并讨论f(x)‎的单调性;‎ ‎(2)‎证明:当θ∈[0,π‎2‎]时,|f(cosθ)-f(sinθ)|<2‎.‎ ‎22. (西安中学四模)已知,椭圆C过点A(1,‎3‎‎2‎)‎,两个焦点为‎(-1, 0)‎,‎(1, 0)‎.‎ 求椭圆C的方程;‎ E‎,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.‎ 第13页 共14页 ◎ 第14页 共14页 参考答案与试题解析 ‎2009年辽宁省高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.A ‎2.D ‎3.B ‎4.B ‎5.C ‎6.A ‎7.B ‎8.D ‎9.B ‎10.C ‎11.D ‎12.A 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13.‎‎(0, -2)‎ ‎14.‎‎3‎‎2‎ ‎15.‎‎3‎ ‎16.‎‎4‎ 三、解答题(共6小题,满分70分)‎ ‎17.解:‎(1)‎依题意有a‎1‎‎+(a‎1‎+a‎1‎q)=2(a‎1‎+a‎1‎q+a‎1‎q‎2‎)‎,‎ 由于a‎1‎‎≠0‎,故‎2q‎2‎+q=0‎,‎ 又q≠0‎,从而q=-‎‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)‎由已知可得a‎1‎‎-a‎1‎(-‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎=3‎,‎ 故a‎1‎‎=4‎,‎ 从而Sn‎=‎4[1-(-‎1‎‎2‎‎)‎n]‎‎1-(-‎1‎‎2‎)‎=‎8‎‎3‎[1-(-‎1‎‎2‎‎)‎n]‎.‎ ‎18.‎‎0.33 km ‎19.解:(1)解法一:‎ 取CD的中点G,连接MG,NG.设正方形ABCD,DCEF的边长为‎2‎,‎ 则MG⊥CD,MG=2‎,NG=‎‎2‎.‎ ‎∵ 平面ABCD⊥‎平面DCED,‎ ‎∴ MG⊥‎平面DCEF,‎ ‎∴ ‎∠MNG是MN与平面DCEF所成的角.‎ ‎∵ MN=MG‎2‎+GN‎2‎=‎‎6‎,∴ sin∠MNG=‎‎6‎‎3‎为MN与平面DCEF所成角的正弦值 解法二:‎ 设正方形ABCD,DCEF的边长为‎2‎,以D为坐标原点,‎ 第13页 共14页 ◎ 第14页 共14页 分别以射线DC,DF,DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.‎ 则M(1, 0, 2)‎,N(0, 1, 0)‎,可得MN‎→‎‎=(-1, 1, -2)‎.‎ 又∵ DA‎→‎‎=(0, 0, 2)‎为平面DCEF的法向量,‎ ‎∴ cos(MN‎→‎, DA‎→‎)=‎||MN‎→‎||DA‎→‎|‎‎˙‎=-‎‎6‎‎3‎•‎ ‎∴ MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos(MN‎→‎,DA‎→‎)=‎‎6‎‎3‎•‎ ‎(2)假设直线ME与BN共面,‎ 则AB⊂‎平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知,两正方形不共面,∴ AB⊄‎平面DCEF.‎ 又∵ AB // CD,∴ AB // ‎平面DCEF.‎ ‎∵ 面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,∴ AB // EN.‎ 又∵ AB // CD // EF,‎ ‎∴ EN // EF,这与EN∩EF=E矛盾,故假设不成立.‎ ‎∴ ME与BN不共面,它们是异面直线.‎ ‎20.解:‎(I)‎甲厂抽查的产品中有‎360‎件优质品,‎ 从而甲厂生产的零件的优质品率估计为‎360‎‎500‎‎=72%‎;‎ 乙厂抽查的产品中有‎320‎件优质品,‎ 从而乙厂生产的零件的优质品率估计为‎320‎‎500‎‎=64%‎ ‎(II)‎ 甲厂 乙厂 合计 优质品 ‎360‎ ‎320‎ ‎680‎ 非优质品 ‎140‎ ‎180‎ ‎320‎ 合计 ‎500‎ ‎500‎ ‎1000‎ x‎2‎‎=‎‎1000×(360×180-320×140‎‎)‎‎2‎‎500×500×680×320‎ ‎≈7.35>6.635‎‎,‎ 所以有‎99%‎的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”‎ ‎21.解:‎(I)f‎'‎(x)=ex(ax‎2‎+x+1+2ax+1)‎.‎ 由条件知,f‎'‎‎(1)=0‎,故a+3+2a=0⇒a=-1‎.‎ 于是f‎'‎‎(x)=ex(-x‎2‎-x+2)=-ex(x+2)(x-1)‎.‎ 故当x∈(-∞, -2)‎或‎(1, +∞)‎时,f‎'‎‎(x)<0‎;‎ 当x∈(-2, 1)‎时,f‎'‎‎(x)>0‎.‎ 从而f(x)‎在‎(-∞, -2)‎,‎(1, +∞)‎单调减少,在‎(-2, 1)‎单调增加.‎ ‎(II)‎由‎(I)‎知f(x)‎在‎[0, 1]‎单调增加,‎ 故f(x)‎在‎[0, 1]‎的最大值为f(1)=e,‎ 最小值为f(0)=1‎.‎ 从而对任意x‎1‎,x‎2‎‎∈[0, 1]‎,有‎|f(x‎1‎)-f(x‎2‎)|≤e-1<2‎.‎ 而当θ∈[0,π‎2‎]‎时,cosθ,sinθ∈[0, 1]‎.‎ 从而‎|f(cosθ)-f(sinθ)|<2‎ ‎22.‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎ 证明:设直线AE的方程为:y=k(x-1)+‎‎3‎‎2‎,‎ 代入x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎得 ‎(3+4k‎2‎)x‎2‎+4k(3-2k)x+4‎3‎‎2‎‎-k‎2‎-12=0‎‎.‎ 设E(xE, yE)‎,F(xF, yF)‎,因为点A‎1,‎‎3‎‎2‎在椭圆上,‎ 所以xE‎=‎‎4‎3‎‎2‎‎-k‎2‎-12‎‎3+4‎k‎2‎,yE‎=kxE+‎3‎‎2‎-k.‎ 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,‎ 在上式中以‎-k代k,可得xF‎=‎‎4‎3‎‎2‎‎+k‎2‎-12‎‎3+4‎k‎2‎,yF‎=-kxF+‎3‎‎2‎+k.‎ 第13页 共14页 ◎ 第14页 共14页 所以直线EF的斜率kEF‎=yF‎-‎yExF‎-‎xE=‎-k(xF+xE)+2kxF‎-‎xE=‎‎1‎‎2‎,‎ 即直线EF的斜率为定值,其值为‎1‎‎2‎.‎ 第13页 共14页 ◎ 第14页 共14页
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