2012年浙江省高考数学试卷（文科）

2012年浙江省高考数学试卷（文科）

‎2012年浙江省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（∁UQ）=（　　）‎ A．{1，2，3，4，6} B．{1，2，3，4，5} C．{1，2，5} D．{1，2}‎ ‎2．（5分）已知i是虚数单位，则=（　　）‎ A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i ‎3．（5分）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（　　）‎ A．1cm3 B．2cm3 C．3cm3 D．6cm3‎ ‎4．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面（　　）‎ A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β ‎6．（5分）把函数y=cos2x+‎ ‎1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）设，是两个非零向量．则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．若|+|=||﹣||，则⊥‎ B．若⊥，则|+|=||﹣||‎ C．若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ D．若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||﹣||‎ ‎8．（5分）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（　　）‎ A．3 B．2 C． D．‎ ‎9．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（　　）‎ A． B． C．5 D．6‎ ‎10．（5分）设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数（　　）‎ A．若ea+2a=eb+3b，则a＞b B．若ea+2a=eb+3b，则a＜b C．若ea﹣2a=eb﹣3b，则a＞b D．若ea﹣2a=eb﹣3b，则a＜b ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．‎ ‎11．（4分）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为　　．‎ ‎12．（4分）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是　　．‎ ‎13．（4分）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是　　．‎ ‎14．（4分）设z=x+2y，其中实数x，y满足 则z的取值范围是　　．‎ ‎15．（4分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=　　．‎ ‎16．（4分）设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，则=　　．‎ ‎17．（4分）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．‎ ‎19．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N*，数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N*．‎ ‎（1）求an，bn；‎ ‎（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．‎ ‎20．（15分）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．‎ ‎（1）证明：‎ ‎（i）EF∥A1D1；‎ ‎（ii）BA1⊥平面B1C1EF；‎ ‎（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．‎ ‎21．（15分）已知a∈R，函数f（x）=4x3﹣2ax+a．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|2﹣a|＞0．‎ ‎22．（14分）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离为．点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．‎ ‎（1）求p，t的值．‎ ‎（2）求△ABP面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎2012年浙江省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）（2012•浙江）设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（∁UQ）=（　　）‎ A．{1，2，3，4，6} B．{1，2，3，4，5} C．{1，2，5} D．{1，2}‎ ‎【分析】由题意，可先由已知条件求出CUQ，然后由交集的定义求出P∩（CUQ）即可得到正确选项．‎ ‎【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}，‎ ‎∴∁UQ={1，2，6}，又P={1，2，3，4}，‎ ‎∴P∩（CUQ）={1，2}‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2012•浙江）已知i是虚数单位，则=（　　）‎ A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i ‎【分析】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+i，再由进行计算即可得到答案．‎ ‎【解答】解：‎ 故选D ‎　‎ ‎3．（5分）（2012•浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（　　）‎ A．1cm3 B．2cm3 C．3cm3 D．6cm3‎ ‎【分析】由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1和2的直角三角形，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是3，这是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1cm和2cm的直角三角形，面积是×1×2=1cm2，‎ 三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是3cm，这是三棱锥的高，‎ ‎∴三棱锥的体积是×1×3=1cm3，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2012•浙江）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】利用充分、必要条件进行推导，结合两直线直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0平行的充要条件是A1B2=A2B1≠A2C1可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）充分性：‎ 当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行；‎ ‎（2）必要性：‎ 当直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行时有：‎ a•2=2•1，即：a=1．‎ ‎∴“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行”充分必要条件．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2012•浙江）设l是直线，α，β是两个不同的平面（　　）‎ A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β ‎【分析】利用面面垂直的判定定理可证明B是正确的，对于其它选项，可利用举反例法证明其是错误命题 ‎【解答】解：A，若l∥α，l∥β，则满足题意的两平面可能相交，排除A；‎ B，若l∥α，l⊥β，则在平面α内存在一条直线垂直于平面β，从而两平面垂直，故B正确；‎ C，若α⊥β，l⊥α，则l可能在平面β内，排除C；‎ D，若α⊥β，l∥α，则l可能与β平行，相交，排除D 故选 B ‎　‎ ‎6．（5分）（2012•浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），然后将曲线y=cos（x+‎ ‎1）的图象和余弦曲线y=cosx进行对照，可得正确答案．‎ ‎【解答】解：将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），‎ 得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，‎ 再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，‎ 得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），‎ ‎∵曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得，‎ ‎∴曲线y=cos（x+1）经过点（，0）和（，0），且在区间（，）上函数值小于0‎ 由此可得，A选项符合题意．‎ 故选A ‎　‎ ‎7．（5分）（2012•浙江）设，是两个非零向量．则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．若|+|=||﹣||，则⊥‎ B．若⊥，则|+|=||﹣||‎ C．若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ D．若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||﹣||‎ ‎【分析】通过向量和向量的模相关性质进行判断即可．‎ ‎【解答】解：对于A，若|+|=||﹣||，则||2+||2+2•=||2+||2﹣2||||，得•=﹣||||≠0，与不垂直，所以A不正确；‎ 对于B，由A解析可知，|+|≠||﹣||，所以B不正确；‎ 对于C，若|+|=||﹣||，则||2+||2+2•=||2+||2﹣2||||，得•=﹣||||，则cosθ=﹣1，则与反向，因此存在实数λ，使得=λ，所以C正确．‎ 对于D，若存在实数λ，则•=λ||2，﹣||||=λ||2，由于λ不能等于0，因此•≠﹣||||，则|+|≠||﹣||，所以D不正确．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2012•浙江）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（　　）‎ A．3 B．2 C． D．‎ ‎【分析】根据M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分，可得椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，利用双曲线与椭圆有公共焦点，即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值．‎ ‎【解答】解：∵M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分 ‎∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍 ‎∵双曲线与椭圆有公共焦点，‎ ‎∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2012•浙江）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（　　）‎ A． B． C．5 D．6‎ ‎【分析】将x+3y=5xy转化成=1，然后根据3x+4y=（）（3x+4y），展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值．‎ ‎【解答】解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，‎ ‎∴=1‎ ‎∴3x+4y=（）（3x+4y）=+++≥+2=5‎ 当且仅当=时取等号 ‎∴3x+4y≥5‎ 即3x+4y的最小值是5‎ 故选：C ‎　‎ ‎10．（5分）（2012•浙江）设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数（　　）‎ A．若ea+2a=eb+3b，则a＞b B．若ea+2a=eb+3b，则a＜b C．若ea﹣2a=eb﹣3b，则a＞b D．若ea﹣2a=eb﹣3b，则a＜b ‎【分析】对于ea+2a=eb+3b，若a≤b成立，经分析可排除B；对于ea﹣2a=eb﹣3b，若a≥b成立，经分析可排除C，D，从而可得答案．‎ ‎【解答】解：对于ea+2a=eb+3b，若a≤b成立，则必有ea≤eb，故必有2a≥3b，即有a≥b这与a≤b矛盾，故a≤b成立不可能成立，故B不对；‎ 对于ea﹣2a=eb﹣3b，若a≥b成立，则必有ea≥eb，故必有2a≥3b，即有a≥b，故排除C，D．‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．‎ ‎11．（4分）（2012•浙江）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为　160　．‎ ‎【分析】先根据男生和女生的人数做出年纪大总人数，用要抽取得人数除以总人数得到每个个体被抽到的概率，用男生人数乘以概率，得到结果．‎ ‎【解答】解：∵有男生560人，女生420人，‎ ‎∴年级共有560+420=980‎ ‎∵用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，‎ ‎∴每个个体被抽到的概率是=，‎ ‎∴要从男生中抽取560×=160，‎ 故答案为：160‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2012•浙江）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是　　．‎ ‎【分析】先求出随机（等可能）取两点的总数，然后求出满足该两点间的距离为的种数，最后根据古典概型的概率公式求之即可．‎ ‎【解答】解：从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点共有=10种 其中两点间的距离为的必选中心，共有4种可能 故该两点间的距离为的概率是=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2012•浙江）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是　　．‎ ‎【分析】通过循环框图，计算循环变量的值，当i=6时结束循环，输出结果即可．‎ ‎【解答】解：循环前，T=1，i=2，不满足判断框的条件，第1次循环，T=，i=3，‎ 不满足判断框的条件，第2次循环，T=，i=4，‎ 不满足判断框的条件，第3次循环，T=，i=5，‎ 不满足判断框的条件，第4次循环，T=，i=6，‎ 满足判断框的条件，退出循环，输出结果．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2012•浙江）设z=x+2y，其中实数x，y满足 则z的取值范围是　[0，]　．‎ ‎【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，结合z在目标函数中的几何意义，求出目标函数的最大值、及最小值，进一步线出目标函数z的范围．‎ ‎【解答】解：约束条件 对应的平面区域如图示：‎ 由图易得目标函数z=2y+x在O（0，0）处取得最小值，此时z=0‎ 在B处取最大值，由可得B（），此时z=‎ 故Z=x+2y的取值范围为：[0，]‎ 故答案为：[0，]‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2012•浙江）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=　﹣16　．‎ ‎【分析】设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ，再由 =（ ﹣）•（ ﹣）以及两个向量的数量积的定义求出结果．‎ ‎【解答】解：设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ．又=﹣，=﹣，‎ ‎∴=（ ﹣）•（ ﹣）=•﹣•﹣•+，‎ ‎=﹣25﹣5×3cosθ﹣3×5cos（π﹣θ）+9=﹣16，‎ 故答案为﹣16．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2012•浙江）设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，则=　　．‎ ‎【分析】利用函数的周期性先把转化成f（），再利用函数f（x）是定义在R上的偶函数转化成f（），代入已知求解即可．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，‎ ‎∴=f（+2）=f（），‎ 又∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，‎ ‎∴f（）=f（），‎ 又∵当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，‎ ‎∴f（）=+1=，‎ 则=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）（2012•浙江）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=　　．‎ ‎【分析】先根据定义求出曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C1：y=x2+a的切线与直线y=x平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．‎ ‎【解答】解：圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，﹣4），半径为，‎ 圆心到直线y=x的距离为=2，‎ ‎∴曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2﹣=．‎ 则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于，‎ 令y′=2x=1解得x=，故切点为（，+a），‎ 切线方程为y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0，‎ 由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为，‎ 即解得a=或﹣．‎ 当a=﹣时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．（14分）（2012•浙江）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．‎ ‎【分析】（1）由bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，化简整理即可得出．‎ ‎（2）由sinC=2sinA，可得c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，代入计算即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，‎ ‎∵sinA≠0，∴sinB=cosB，‎ B∈（0，π），‎ 可知：cosB≠0，否则矛盾．‎ ‎∴tanB=，∴B=．‎ ‎（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，‎ 由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，‎ ‎∴9=a2+c2﹣ac，‎ 把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）（2012•浙江）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N*，数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N*．‎ ‎（1）求an，bn；‎ ‎（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由Sn=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=3，当n≥2时，由an=sn﹣sn﹣1可求通项，进而可求bn ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和 ‎【解答】解：（Ⅰ）由Sn=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3‎ 当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1‎ 而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，‎ 故an=4n﹣1，‎ 又∵an=4log2bn+3=4n﹣1‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎2Tn=3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n ‎∴‎ ‎=（4n﹣1）•2n ‎=（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]=（4n﹣5）•2n+5‎ ‎　‎ ‎20．（15分）（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．‎ ‎（1）证明：‎ ‎（i）EF∥A1D1；‎ ‎（ii）BA1⊥平面B1C1EF；‎ ‎（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．‎ ‎【分析】（1）‎ ‎（i）先由C1B1∥A1D1证明C1B1∥平面ADD1A1，再由线面平行的性质定理得出C1B1∥EF，证出EF∥A1D1．‎ ‎（ii）易通过证明B1C1⊥平面ABB1A1得出B1C1⊥BA1，再由tan∠A1B1F=tan∠AA1B=，即∠A1B1F=∠AA1B，得出BA1⊥B1F．所以BA1⊥平面B1C1EF；‎ ‎（2）设BA1与B1F交点为H，连接C1H，由（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．在RT△BHC1中求解即可．‎ ‎【解答】（1）证明（i）∵C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，∴C1B1∥平面ADD1A1，‎ 又C1B1⊂平面B1C1EF，平面B1C1EF∩平面ADD1A1=EF，‎ ‎∴C1B1∥EF，∴EF∥A1D1；‎ ‎（ii）∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥B1C1，‎ 又∵B1C1⊥B1A1，‎ ‎∴B1C1⊥平面ABB1A1，‎ ‎∴B1C1⊥BA1，‎ 在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F=tan∠AA1B=，即∠A1B1F=∠AA1B，故BA1⊥B1F．‎ 所以BA1⊥平面B1C1EF；‎ ‎（2）解：设BA1与B1F交点为H，‎ 连接C1H，由（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．‎ 在矩形AA1B1B中，AB=，AA1=2，得BH=，‎ 在RT△BHC1中，BC1=2，sin∠BC1H==，‎ 所以BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值是．‎ ‎　‎ ‎21．（15分）（2012•浙江）已知a∈R，函数f（x）=4x3﹣2ax+a．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|2﹣a|＞0．‎ ‎【分析】（1）求导函数，再分类讨论：a≤0时，f′（x）≥0恒成立；a＞0时，f′（x）=12x2﹣2a=12（x﹣）（x+），由此可确定f（x）的单调区间；‎ ‎（2）由于0≤x≤1，故当a≤2时，f（x）+|2﹣a|=4x3﹣2ax+2≥4x3﹣4x+2；当a＞2时，f（x）+|2﹣a|=4x3+2a（1﹣x）﹣2≥4x3+4（1﹣x）﹣2=4x3﹣4x+‎ ‎2，构造函数g（x）=2x3﹣2x+1，0≤x≤1，确定g（x）min=g（）=1﹣＞0，即可证得结论．‎ ‎【解答】（1）解：求导函数可得f′（x）=12x2﹣2a a≤0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）‎ a＞0时，f′（x）=12x2﹣2a=12（x﹣）（x+）‎ ‎∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）；单调递减区间为（﹣，）；‎ ‎（2）证明：由于0≤x≤1，故 当a≤2时，f（x）+|2﹣a|=4x3﹣2ax+2≥4x3﹣4x+2‎ 当a＞2时，f（x）+|2﹣a|=4x3+2a（1﹣x）﹣2≥4x3+4（1﹣x）﹣2=4x3﹣4x+2‎ 设g（x）=2x3﹣2x+1，0≤x≤1，∴g′（x）=6（x﹣）（x+）‎ ‎ x ‎ 0‎ ‎ （0，）‎ ‎ （，1）‎ ‎ g′（x）‎ ‎﹣‎ ‎+‎ ‎ g（x）‎ ‎ 极小值 ‎∴函数g（x）在（0，）上单调减，在（，1）上单调增 ‎∴g（x）min=g（）=1﹣＞0‎ ‎∴当0≤x≤1时，2x3﹣2x+1＞0‎ ‎∴当0≤x≤1时，f（x）+|2﹣a|＞0．‎ ‎　‎ ‎22．（14分）（2012•浙江）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离为．点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．‎ ‎（1）求p，t的值．‎ ‎（2）求△ABP面积的最大值．‎ ‎【分析】（1）通过点P（1，）到抛物线C：y2=2px（P＞0）的准线的距离为．列出方程，求出p，t的值即可．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为Q（m，m），设直线AB的斜率为k，（k≠0），利用推出AB的方程y﹣m=．利用弦长公式求出|AB|，设点P到直线AB的距离为d，利用点到直线的距离公式求出d，设△ABP的面积为S，求出S==|1﹣2（m﹣m2）|．利用函数的导数求出△ABP面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知得，．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为Q（m，m），‎ 由题意可知，设直线AB的斜率为k，（k≠0），‎ 由得，（y1﹣y2）（y1+y2）=x1﹣x2，‎ 故k•2m=1，‎ 所以直线AB方程为y﹣m=．‎ 即△=4m﹣4m2＞0，y1+y2=2m，y1y2=2m2﹣m．‎ 从而|AB|==，‎ 设点P到直线AB的距离为d，则 d=，‎ 设△ABP的面积为S，则 S==|1﹣2（m﹣m2）|．‎ 由△=＞0，得0＜m＜1，‎ 令u=，，则S=u（1﹣2u2），，‎ 则S′（u）=1﹣6u2，S′（u）=0，得u=，‎ 所以S最大值=S（）=．‎ 故△ABP面积的最大值为．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：xintrl；涨停；石玉台；xize；ywg2058；qiss；刘长柏；minqi5；wfy814；邢新丽；caoqz；沂蒙松；吕静；zwx097（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日