2012年陕西省高考数学试卷（理科）

2012年陕西省高考数学试卷（理科）

‎2012年陕西省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题 ‎1．（5分）集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=（　　）‎ A．（0，2] B．（0，2） C．（1，2] D．（1，2）‎ ‎2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　）‎ A．y=x+1 B．y=﹣x2 C．y= D．y=x|x|‎ ‎3．（5分）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（　　）‎ A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 ‎5．（5分）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则（　　）‎ A．，m甲＞m乙 B．，m甲＜m乙 C．，m甲＞m乙 D．，m甲＜m乙 ‎7．（5分）设函数f（x）=xex，则（　　）‎ A．x=1为f（x）的极大值点 B．x=1为f（x）的极小值点 C．x=﹣1为f（x）的极大值点 D．x=﹣1为f（x）的极小值点 ‎8．（5分）两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（　　）‎ A．10种 B．15种 C．20种 D．30种 ‎9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11．（5分）观察下列不等式：‎ ‎①1+＜；‎ ‎②1++＜；‎ ‎③1+++＜；‎ ‎…‎ 照此规律，第五个不等式为　　．‎ ‎12．（5分）（a+x）5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为　　．‎ ‎13．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为　　米．‎ ‎14．（5分）设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为　　．‎ ‎15．（5分）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）‎ A．（不等式选做题）若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是　　．‎ B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB=　　．‎ C．（坐标系与参数方程）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎16．（12分）函数（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）设，则，求α的值．‎ ‎17．（12分）设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的公比；‎ ‎（2）证明：对任意k∈N+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列．‎ ‎18．（12分）（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．‎ ‎（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）‎ ‎19．（12分）已知椭圆C1：+y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．‎ ‎（1）求椭圆C2的方程；‎ ‎（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，=2，求直线AB的方程．‎ ‎20．（13分）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 办理业务所需的时间（分）‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 从第一个顾客开始办理业务时计时．‎ ‎（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；‎ ‎（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．‎ ‎21．（14分）设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）‎ ‎（1）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：fn（x）在区间内存在唯一的零点；‎ ‎（2）设n=2，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，求b的取值范围；‎ ‎（3）在（1）的条件下，设xn是fn（x）在内的零点，判断数列x2，x3，…，xn的增减性．‎ ‎　‎ ‎2012年陕西省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．（5分）（2012•陕西）集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=（　　）‎ A．（0，2] B．（0，2） C．（1，2] D．（1，2）‎ ‎【分析】根据集合的基本运算，进行求解即可．‎ ‎【解答】解：M={x|lgx＞0}={x|x＞1}，N={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，‎ 则M∩N={x|1＜x≤2}，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2012•陕西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　）‎ A．y=x+1 B．y=﹣x2 C．y= D．y=x|x|‎ ‎【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．‎ ‎【解答】解：A．y=x+1为非奇非偶函数，不满足条件．‎ B．y=﹣x2是偶函数，不满足条件．‎ C．y=是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．‎ D．设f（x）=x|x|，则f（﹣x）=﹣x|x|=﹣f（x），则函数为奇函数，‎ 当x＞0时，y=x|x|=x2，此时为增函数，‎ 当x≤0时，y=x|x|=﹣x2，此时为增函数，综上在R上函数为增函数．‎ 故选：D ‎　‎ ‎3．（5分）（2012•陕西）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】利用“ab=0”与“复数为纯虚数”互为前提与结论，经过推导判断充要条件．‎ ‎【解答】解：因为“ab=0”得a=0或b=0，只有a=0，并且b≠0，复数为纯虚数，否则不成立；‎ 复数=a﹣bi为纯虚数，所以a=0并且b≠0，所以ab=0，‎ 因此a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2012•陕西）已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（　　）‎ A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 ‎【分析】将圆C的方程化为标准方程，找出圆心C坐标和半径r，利用两点间的距离公式求出P与圆心C间的长，记作d，判断得到d小于r，可得出P在圆C内，再由直线l过P点，可得出直线l与圆C相交．‎ ‎【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，‎ ‎∴圆心C（2，0），半径r=2，‎ 又P（3，0）与圆心的距离d==1＜2=r，‎ ‎∴点P在圆C内，又直线l过P点，‎ 则直线l与圆C相交．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2012•陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．‎ ‎【解答】解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，‎ ‎∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2‎ ‎∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）‎ ‎∴=（0，2，﹣1），=（﹣2，2，1）‎ 可得•=0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3，且=，=3，‎ 向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，‎ 设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ==‎ 故选A ‎　‎ ‎6．（5分）（2012•陕西）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则（　　）‎ A．，m甲＞m乙 B．，m甲＜m乙 C．，m甲＞m乙 D．，m甲＜m乙 ‎【分析】直接求出甲与乙的平均数，以及甲与乙的中位数，即可得到选项．‎ ‎【解答】解：甲的平均数甲==，‎ 乙的平均数乙==，‎ 所以甲＜乙．‎ 甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m甲＜m乙 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2012•陕西）设函数f（x）=xex，则（　　）‎ A．x=1为f（x）的极大值点 B．x=1为f（x）的极小值点 C．x=﹣1为f（x）的极大值点 D．x=﹣1为f（x）的极小值点 ‎【分析】由题意，可先求出f′（x）=（x+1）ex，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点 ‎【解答】解：由于f（x）=xex，可得f′（x）=（x+1）ex，‎ 令f′（x）=（x+1）ex=0可得x=﹣1‎ 令f′（x）=（x+1）ex＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数 令f′（x）=（x+1）ex＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数 所以x=﹣1为f（x）的极小值点 故选D ‎　‎ ‎8．（5分）（2012•陕西）两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（　　）‎ A．10种 B．15种 C．20种 D．30种 ‎【分析】根据分类计数原理，所有可能情形可分为三类，在每一类中可利用组合数公式计数，最后三类求和即可得结果 ‎【解答】解：第一类：三局为止，共有2种情形；‎ 第二类：四局为止，共有2×=6种情形；‎ 第三类：五局为止，共有2×=12种情形；‎ 故所有可能出现的情形共有2+6+12=20种情形 故选C ‎　‎ ‎9．（5分）（2012•陕西）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值．‎ ‎【解答】解：因为a2+b2=2c2，‎ 所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，‎ cosC==．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2012•陕西）如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．‎ ‎【解答】解：法一：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，‎ 圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，‎ 所以要求的概率，‎ 所以空白框内应填入的表达式是．‎ 故选D．‎ 法二：随机输入xi∈（0，1），yi∈（0，1）‎ 那么点P（xi，yi）构成的区域为以 O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1）为顶点的正方形．‎ 判断框内x2i+y2i≤1，‎ 若是，说说明点P（xi，yi）在单位圆内部（圆）内，并累计记录点的个数M 若否，则说明点P（xi，yi）在单位圆内部（圆）外，并累计记录点的个数N 第2个判断框 i＞1000，是进入计算 此时落在单位圆内的点的个数为M，一共判断了1000个点 那么圆的面积/正方形的面积=，‎ 即π12÷1=‎ ‎∴π=（π的估计值）‎ 即执行框内计算的是．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11．（5分）（2012•陕西）观察下列不等式：‎ ‎①1+＜；‎ ‎②1++＜；‎ ‎③1+++＜；‎ ‎…‎ 照此规律，第五个不等式为　1+++++＜　．‎ ‎【分析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五个不等式 ‎【解答】解：由已知中的不等式 ‎1+，1++，…‎ 得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方 右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，‎ 故可以归纳出第n个不等式是 1+…+＜，（n≥2），‎ 所以第五个不等式为1+++++＜‎ 故答案为：1+++++＜‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2012•陕西）（a+x）5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为　1　．‎ ‎【分析】直接利用二项式定理的展开式的通项公式，求出x2的系数是10，得到方程，求出a的值．‎ ‎【解答】解：（a+x）5展开式中x2的系数为，因为（a+x）5展开式中x2‎ 的系数为10，‎ 所以=10，解得a=1，‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2012•陕西）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为　2　米．‎ ‎【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．‎ ‎【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，‎ 将A（2，﹣2）代入x2=my，‎ 得m=﹣2‎ ‎∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，‎ 故水面宽为2m．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2012•陕西）设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为　2　．‎ ‎【分析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可．‎ ‎【解答】解：当x＞0时，f′（x）=，‎ 则f′（1）=1，所以曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线为y=x﹣1，‎ D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分．‎ z=x﹣2y可变形成y=x﹣，当直线y=x﹣过点A（0，﹣1）时，截距最小，此时z最大．最大值为2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2012•陕西）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）‎ A．（不等式选做题）若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是　﹣2≤a≤4　．‎ B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB=　5　．‎ C．（坐标系与参数方程）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为　　．‎ ‎【分析】A；利用表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，它的最大值等于3，作图可得实数a的取值范围．‎ B；利用相交弦定理AE•EB=CE•ED，AB⊥CD可得DE=；在Rt△EDB中，由射影定理得：DE2=DF•DB=5，即得答案；‎ C；将直线与圆的极坐标方程化为普通方程分别为：x=，（x﹣1）2+y2=1，从而可得相交弦长．‎ ‎【解答】解：A．∵存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，‎ 而|x﹣a|+|x﹣1|表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，‎ 又最大值等于3，由图可得：当表示a的点位于AB之间时满足|x﹣a|+|x﹣1|≤3，‎ ‎∴﹣2≤a≤4，‎ 故答案为：﹣2≤a≤4．‎ B；∵AB=6，AE=1，由题意可得△AEC∽△DEB，DE=CE，‎ ‎∴DE•CE=AE•EB=1×5=5，即DE=．‎ 在Rt△EDB中，由射影定理得：DE2=DF•DB=5．‎ 故答案为：5．‎ C；∵2ρcosθ=1，‎ ‎∴2x=1，即x=；‎ 又圆ρ=2cosθ的普通方程由ρ2=2ρcosθ得：x2+y2=2x，‎ ‎∴（x﹣1）2+y2=1，‎ ‎∴圆心（1，0）到直线x=的距离为，‎ ‎∴相交弦长的一半为=，‎ ‎∴相交弦长为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎16．（12分）（2012•陕西）函数（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）设，则，求α的值．‎ ‎【分析】（1）通过函数的最大值求出A，通过对称轴求出周期，求出ω，得到函数的解析式．‎ ‎（2）通过，求出，通过α的范围，求出α的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，‎ ‎∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，=，T=π，所以ω=2．‎ 故函数的解析式为y=2sin（2x﹣）+1．‎ ‎（2）∵，所以，‎ ‎∴，‎ ‎∵‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）（2012•陕西）设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的公比；‎ ‎（2）证明：对任意k∈N+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列．‎ ‎【分析】（1）设{an}的公比为q（q≠0，q≠1），利用a5，a3，a4成等差数列结合通项公式，可得，由此即可求得数列{an}的公比；‎ ‎（2）对任意k∈N+，Sk+2+Sk+1﹣2Sk=（Sk+2﹣Sk）+（Sk+1﹣Sk ‎）=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×（﹣2）=0，从而得证．‎ ‎【解答】（1）解：设{an}的公比为q（q≠0，q≠1）‎ ‎∵a5，a3，a4成等差数列，∴2a3=a5+a4，‎ ‎∴‎ ‎∵a1≠0，q≠0，‎ ‎∴q2+q﹣2=0，解得q=1或q=﹣2‎ ‎∵q≠1，‎ ‎∴q=﹣2‎ ‎（2）证明：对任意k∈N+，Sk+2+Sk+1﹣2Sk=（Sk+2﹣Sk）+（Sk+1﹣Sk）=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×（﹣2）=0‎ ‎∴对任意k∈N+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2012•陕西）（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．‎ ‎（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）‎ ‎【分析】（1）证法一：做出辅助线，在直线上构造对应的方向向量，要证两条直线垂直，只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0，根据向量的运算法则得到结果．‎ 证法二：做出辅助线，根据线面垂直的性质，得到线线垂直，根据线面垂直的判定定理，得到线面垂直，再根据性质得到结论．‎ ‎（2）把所给的命题的题设和结论交换位置，得到原命题的逆命题，判断出你命题的正确性．‎ ‎【解答】证明：（1）证法一：如图，过直线b上任一点作平面α的垂线n，设直线a，b，c，n对应的方向向量分别是，则共面，‎ 根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得，‎ 则=‎ 因为a⊥b，所以，‎ 又因为a⊂α，n⊥α，‎ 所以，‎ 故，从而a⊥c 证法二 如图，记c∩b=A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P做PO⊥π，垂足为O，则O∈c，‎ ‎∵PO⊥π，a⊂π，‎ ‎∴直线PO⊥a，‎ 又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b=P，‎ ‎∴a⊥平面PAO，‎ 又c⊂平面PAO，‎ ‎∴a⊥c ‎（2）逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b，‎ 逆命题为真命题 ‎　‎ ‎19．（12分）（2012•陕西）已知椭圆C1：+y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．‎ ‎（1）求椭圆C2的方程；‎ ‎（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，=2，求直线AB的方程．‎ ‎【分析】（1）求出椭圆的长轴长，离心率，根据椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率，即可确定椭圆C2的方程；‎ ‎（2）设A，B的坐标分别为（xA，yA），（xB，yB），根据，可设AB的方程为y=kx，分别与椭圆C1和C2联立，求出A，B的横坐标，利用，即可求得直线AB的方程．‎ ‎【解答】解：（1）椭圆的长轴长为4，离心率为 ‎∵椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率 ‎∴椭圆C2的焦点在y轴上，2b=4，为 ‎∴b=2，a=4‎ ‎∴椭圆C2的方程为；‎ ‎（2）设A，B的坐标分别为（xA，yA），（xB，yB），‎ ‎∵‎ ‎∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上 ‎∴设AB的方程为y=kx 将y=kx代入，消元可得（1+4k2）x2=4，∴‎ 将y=kx代入，消元可得（4+k2）x2=16，∴‎ ‎∵，∴=4，‎ ‎∴，解得k=±1，‎ ‎∴AB的方程为y=±x ‎　‎ ‎20．（13分）（2012•陕西）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：‎ 办理业务所需的时间（分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 从第一个顾客开始办理业务时计时．‎ ‎（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；‎ ‎（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．‎ ‎【分析】（1）设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，可得Y的分布列，A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟，由此可求概率；‎ ‎（2）确定X所有可能的取值，求出相应的概率，即可得到X的分布列及数学期望．‎ ‎【解答】解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：‎ Y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：‎ ‎①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；‎ ‎②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；‎ ‎③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．‎ 所以 P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22‎ ‎（2）X所有可能的取值为：0，1，2．‎ X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；‎ X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；‎ X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.5‎ ‎0.49‎ ‎0.01‎ EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2012•陕西）设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）‎ ‎（1）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：fn（x）在区间内存在唯一的零点；‎ ‎（2）设n=2，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，求b的取值范围；‎ ‎（3）在（1）的条件下，设xn是fn（x）在内的零点，判断数列x2，x3，…，xn的增减性．‎ ‎【分析】（1）根据 fn（）fn（1）=（﹣）×1＜0，以及fn（x）在区间内单调递增，可得fn（x）在区间内存在唯一的零点．‎ ‎（2）当n=2，由题意可得函数f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差M≤4，分当＞1时、当﹣1≤﹣＜0时、当0≤﹣≤1 时三种情况，分别求得b的取值范围，再取并集，即得所求．‎ ‎（3）证法一：先求出fn（xn）和fn+1（xn+1）的解析式，再由当xn+1∈时，fn（xn）=0=fn+1（xn+1）=+xn+1﹣1＜+xn+1﹣1=fn（xn+1），且 fn（x）在区间内单调递增，故有xn＜xn+1，从而得出结论．‎ 证法二：设xn是fn（x）=xn+x﹣1在内的唯一零点，由fn+1（xn） fn+1（1）＜0可得 fn+1（x）的零点在（xn，1）内，从而有 xn＜xn+1 （n≥2），由此得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）由于n≥2，b=1，c=﹣1，fn（x）=xn+bx+c=xn+x﹣1，∴fn（）fn（1）=（﹣）×1＜0，‎ ‎∴fn（x）在区间内存在零点．再由fn（x）在区间内单调递增，可得fn（x）在区间内存在唯一的零点．‎ ‎（2）当n=2，函数f2（x）=x2+bx+c，对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，‎ 故函数f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差M≤4．‎ 当＞1时，即b＞2或 b＜﹣2时，M=|f2（﹣1）﹣f2（1）|=2|b|＞4，这与题设相矛盾．‎ 当﹣1≤﹣＜0时，即0＜b≤2时，M=f2（1）﹣=≤4 恒成立．‎ 当0≤﹣≤1 时，即﹣2≤b≤0时，M=f2（﹣1）﹣=≤4 恒成立．‎ 综上可得，﹣2≤b≤2．‎ ‎（3）证法一：在（1）的条件下，xn是fn（x）=xn+x﹣1在内的唯一零点，则有fn（xn）=+xn﹣1=0，‎ fn+1（xn+1）=+xn+1﹣1=0．‎ 当xn+1∈时，fn（xn）=0=fn+1（xn+1）=+xn+1﹣1＜+xn+1﹣1=fn（xn+1）．‎ 由（1）知，fn（x）在区间内单调递增，故有xn＜xn+1，故数列x2，x3，…，xn单调递增数列．‎ 证法二：设xn是fn（x）=xn+x﹣1在内的唯一零点，‎ fn+1（xn） fn+1（1）=（+xn﹣1）×1=+xn﹣1＜+xn﹣1=0，‎ 故fn+1（x）的零点在（xn，1）内，∴xn＜xn+1 （n≥2），故数列x2，x3，…，xn单调递增数列．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：maths；qiss；sllwyn；ywg2058；xintrl；xize；wsj1012；minqi5；wfy814；刘长柏；涨停；caoqz（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日