高三数学总复习学案49
学案49 圆的方程
导学目标： 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
自主梳理
1．圆的定义
在平面内，到________的距离等于________的点的________叫圆．
2．确定一个圆最基本的要素是________和________．
3．圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，其中________为圆心，____为半径．
4．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是__________________，其中圆心为___________________，半径r＝____________________________.
5．确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：
(1)________________________________________________________________________；
(2)________________________________________________________________________；
(3)________________________________________________________________________．
6．点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种．
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，
(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2；
(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2；
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2.
自我检测
1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的条件是( )
A.
1
C．m< D．m<或m>1
2．(2011·南平调研)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
3．点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
4．已知点(0,0)在圆：x2＋y2＋ax＋ay＋2a2＋a－1＝0外，则a的取值范围是________________．
5．(2011·安庆月考)过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的切线，切点为A、B，则△APB的外接圆方程为________．
探究点一 求圆的方程
例1 求经过点A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)
的圆的方程．
变式迁移1 根据下列条件，求圆的方程．
(1)与圆O：x2＋y2＝4相外切于点P(－1，)，且半径为4的圆的方程；
(2)圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．
探究点二 圆的几何性质的应用
例2 (2011·滁州模拟)已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ (O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．
变式迁移2
如图，已知圆心坐标为(，1)的圆M与x轴及直线y＝x分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切且与x轴及直线y＝x分别相切于C、D两点．
(1)求圆M和圆N的方程；
(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．
探究点三 与圆有关的最值问题
例3 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求y－x的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2的最大值和最小值．
变式迁移3 如果实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求的最大值与最小值．
1．求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径，借助弦心距、弦、半径之间的关系计算可大大简化计算的过程与难度．
2．点与圆的位置关系有三种情形：点在圆内、点在圆上、点在圆外，其判断方法是看点到圆心的距离d与圆半径r的关系．dr时，点在圆外．
3．本节主要的数学思想方法有：数形结合思想、方程思想．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·重庆)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
2．(2011·合肥期末)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是( )
A．a<－2或a> B．－0
5．(1)根据题意，选择标准方程或一般方程 (2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组 (3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程 6.(1)＝ (2)> (3)<
自我检测
1．D 2.A 3.A
4．(，－1)∪(，)
5．(x－2)2＋(y－1)2＝5
课堂活动区
例1 解题导引 (1)一可以利用圆的一般式方程，通过转化三个独立条件，得到有关三个待定字母的关系式求解；二可以利用圆的方程的标准形式，由条件确定圆心和半径．
(2)一般地，求圆的方程时，当条件中给出的是圆上若干点的坐标，较适合用一般式，通过解三元方程组求待定系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式．
解 方法一 设圆心为C，
所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心C.∴kCB＝.
由kCB·kl＝－1，
∴·＝－1.①
又有(－2)2＋(－4)2－2D－4E＋F＝0，②
又82＋62＋8D＋6E＋F＝0.③
解①②③，可得D＝－11，E＝3，F＝－30.
∴所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.
方法二 设圆的圆心为C，则CB⊥l，从而可得CB所在直线的方程为y－6＝3(x－8)，即3x－y－18＝0.①
由A(－2，－4)，B(8,6)，得AB的中点坐标为(3,1)．
又kAB＝＝1，
∴AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－3)，
即x＋y－4＝0.②
由①②联立后，解得即圆心坐标为.
∴所求圆的半径r＝＝.
∴所求圆的方程为2＋2＝.
变式迁移1 解 (1)设所求圆的圆心Q的坐标为(a，b)，圆Q的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝42，又∵OQ＝6，
∴联立方程，
解得a＝－3，b＝3，
所以所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝16.
(2)
如图，因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°，而圆心(0,0)到直线3x＋4y＋15＝0的距离d＝＝3，在△AOB中，可求得OA＝6.
所以所求圆的方程为x2＋y2＝36.
例2 解题导引 (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．
(2)本题利用方程思想求m值，即“列出m的方程”求m值．
解 方法一 将x＝3－2y，
代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，
得5y2－20y＋12＋m＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1、y2满足条件：
y1＋y2＝4，y1y2＝.
∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0.
而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2.
∴x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2.
∴9－6(y1＋y2)＋5y1y2＝0，
∴9－6×4＋5×＝0，
∴m＝3，此时1＋36－3×4>0，圆心坐标为，半径r＝.
方法二
如图所示，
设弦PQ中点为M，
∵O1M⊥PQ，
∴kO1M＝2.
又圆心坐标为，
∴O1M的方程为y－3＝2，即y＝2x＋4.
由方程组解得M的坐标为(－1,2)．
则以PQ为直径的圆可设为(x＋1)2＋(y－2)2＝r2.
∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上．
∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r2，即r2＝5，MQ2＝r2.
在Rt△O1MQ中，O1M2＋MQ2＝O1Q2.
∴2＋(3－2)2＋5＝.
∴m＝3.∴半径为，圆心为.
变式迁移2 解 (1)∵M的坐标为(，1)，∴M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，
则圆M的方程为(x－)2＋(y－1)2＝1.
设圆N的半径为r，
连接MA，NC，OM，
则MA⊥x轴，NC⊥x轴，
由题意知：M，N点都在∠COD的平分线上，
∴O，M，N三点共线．
由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，
|OM|∶|ON|＝|MA|∶|NC|，即＝⇒r＝3，
则OC＝3，则圆N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝9.
(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A点与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度，
此弦的方程是y＝(x－)，即x－y－＝0，
圆心N到该直线的距离d＝，
则弦长为2＝.
例3 解题导引 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
解 (1)
y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(2)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，
x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
变式迁移3 解 设P(x，y)，
则P点的轨迹就是已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝6.
而的几何意义就是直线OP的斜率，
设＝k，则直线OP的方程为y＝kx.
当直线OP与圆相切时，斜率取最值．
因为点C到直线y＝kx的距离d＝，
所以当＝，
即k＝3±2时，直线OP与圆相切．
即的最大值为3＋2，最小值为3－2.
课后练习区
1．B [圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，由圆的性质可知最长弦|AC|＝2，最短弦BD恰以E(0,1)为中心，设点F为其圆心，坐标为(1,3)．
故EF＝，∴BD＝2＝2，
∴S四边形ABCD＝AC·BD＝10.]
2．D 3.A 4.B 5.A
6．(x＋1)2＋y2＝2 7.(x－2)2＋(y－1)2＝2 8.0
9．解 (1)∵AB的中垂线方程为3x＋2y－15＝0，
由解得(3分)
∴圆心为C(7，－3)．又|CB|＝，
故所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.(6分)
(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P、Q点的坐标分别代入得
(8分)
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，③
由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36.④
由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.(12分)
10．解 (1)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t的纵截距，所以x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．
由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，解得t＝－1或t＝－－1，
所以x＋y的最大值为－1，
最小值为－－1.(4分)
(2)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点时斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线方程为y＝kx，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，
解得k＝－2＋或k＝－2－，
所以的最大值为－2＋，
最小值为－2－.(8分)
(3)，
即，其最值可视为点(x，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．
又因为圆心到定点(－1,2)的距离为，所以的最大值为＋1，最小值为－1.(12分)
11．解 建立如图所示的坐标系，设该圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由于圆心在y轴上，所以D＝0，那么方程即为x2＋y2＋Ey＋F＝0.(3分)
下面用待定系数法来确定E、F的值．
因为P、B都在圆上，所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是这个圆的方程的解，
于是有方程组(7分)
解得F＝－100，E＝21.
∴这个圆的方程是x2＋y2＋21y－100＝0.(10分)
把点P2的横坐标x＝－2代入这个圆的方程，
得(－2)2＋y2＋21y－100＝0，y2＋21y－96＝0.
∵P2的纵坐标y>0，故应取正值，
∴y＝≈3.86(米)．
所以支柱A2P2的高度约为3.86米．(14分)
