高中数学 必修4平面向量2.3 向量数乘运算及其几何意义

高中数学 必修4平面向量2.3 向量数乘运算及其几何意义

1 2．2.3 向量数乘运算及其几何意义 学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的 运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方 法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题． 知识点一 向量数乘的定义 思考 1 实数与向量相乘结果是实数还是向量？ 答案 向量． 思考 2 向量 3a，－3a 与 a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？ 答案 3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，它的方向与向量 a 的方向相同． －3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，它的方向与向量 a 的方向相反． 思考 3 λa 的几何意义是什么？ 答案 λa 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩． 当|λ|＞1 时，表示 a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍． 梳理 向量数乘运算 实数λ与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定 如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向 当λ>0 时，与 a 方向相同； 当λ<0 时，与 a 方向相反. 特别地，当λ＝0 或 a＝0 时，0a＝0 或λ0＝0. 知识点二 向量数乘的运算律 思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？ 答案 结合律，分配律． 梳理 向量数乘运算律 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 2 知识点三 向量共线定理 思考 1 若 b＝2a，b 与 a 共线吗？ 答案 根据共线向量及向量数乘的意义可知，b 与 a 共线． 如果有一个实数λ，使 b＝λa(a≠0)，那么 b 与 a 是共线向量；反之，如果 b 与 a(a≠0)是 共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得 b＝λa. 思考 2 若 b 与非零向量 a 共线，是否存在λ满足 b＝λa？若 b 与向量 a 共线呢？ 答案 若 b 与非零向量 a 共线，存在λ满足 b＝λa；若 b 与向量 a 共线，当 a＝0，b≠0 时， 不存在λ满足 b＝λa. 梳理 (1)向量共线定理 向量 a (a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b＝λa. (2)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a，b，以及任意实数λ， μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 1．若向量 b 与 a 共线，则存在唯一的实数λ使 b＝λa.( × ) 提示 当 b＝0，a＝0 时，实数λ不唯一． 2．若 b＝λa，则 a 与 b 共线．( √ ) 提示 由向量共线定理可知其正确． 3．若λa＝0，则 a＝0.( × ) 提示 若λa＝0，则 a＝0 或λ＝0. 类型一 向量的线性运算 例 1 (1)3(6a＋b)－9 a＋1 3 b ＝________. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 9a 解析 3(6a＋b)－9 a＋1 3 b ＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (2)若 3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则 x＝______. 3 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 4b－3a 解析 由已知得 3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0， 所以 x＋3a－4b＝0，所以 x＝4b－3a. 反思与感悟 向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、 合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、 “公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解， 同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 跟踪训练 1 计算：(a＋b)－3(a－b)－8a. 考点 向量的线性运算及其应用 题点 向量的线性运算 解 (a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a ＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b. 类型二 向量共线的判定及应用 命题角度 1 判定向量共线或三点共线 例 2 已知非零向量 e1，e2 不共线． (1)若 a＝1 2 e1－1 3 e2，b＝3e1－2e2，判断向量 a，b 是否共线． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 解 ∵b＝6a，∴a 与 b 共线． (2)若AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1＋8e2，CD→＝3(e1－e2)，求证：A，B，D 三点共线． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线 证明 ∵AB→＝e1＋e2，BD→＝BC→＋CD→＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB→， ∴AB→，BD→共线，且有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线． 反思与感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表 示，从而判断共线． (2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向 4 量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用 b＝λa(a≠0)，还要说明向量 a，b 有公共点． 跟踪训练 2 已知非零向量 e1，e2 不共线，如果AB→＝e1＋2e2，BC→＝－5e1＋6e2，CD→＝7e1－2e2， 则共线的三个点是________． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线 答案 A，B，D 解析 ∵AB→＝e1＋2e2，BD→＝BC→＋CD→ ＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2AB→， ∴AB→，BD→共线，且有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线． 命题角度 2 利用向量共线求参数值 例 3 已知非零向量 e1，e2 不共线，欲使 ke1＋e2 和 e1＋ke2 共线，试确定 k 的值． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 解 ∵ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线， ∴存在实数λ，使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2， 由于 e1 与 e2 不共线，只能有 k－λ＝0， λk－1＝0， ∴k＝±1. 反思与感悟 利用向量共线定理，即 b 与 a(a≠0)共线⇔b＝λa，既可以证明点共线或线共 线问题，也可以根据共线求参数的值． 跟踪训练 3 设两个不共线的向量 e1，e2，若 a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，问是 否存在实数λ，μ，使 d＝λa＋μb 与 c 共线？ 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 解 d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2) ＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2， 要使 d 与 c 共线，则存在实数 k，使得 d＝kc， 即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2. 因为 e1 与 e2 不共线， 5 所以 2λ＋2μ＝2k， －3λ＋3μ＝－9k， 得λ＝－2μ. 故存在实数λ和μ，使得 d 与 c 共线，此时λ＝－2μ. 类型三 用已知向量表示其他向量 例 4 在△ABC 中，若点 D 满足BD→＝2DC→，则AD→等于( ) A.1 3 AC→＋2 3 AB→ B.5 3 AB→－2 3 AC→ C.2 3 AC→－1 3 AB→ D.2 3 AC→＋1 3 AB→ 考点 向量的线性运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D 解析 示意图如图所示， 由题意可得AD→＝AB→＋BD→ ＝AB→＋2 3 BC→ ＝AB→＋2 3 (AC→－AB→)＝1 3 AB→＋2 3 AC→. 跟踪训练 4 如图所示，四边形 OADB 是以向量OA→＝a，OB→＝b 为邻边的平行四边形．又 BM＝1 3 BC， CN＝1 3 CD，试用 a，b 表示OM→，ON→，MN→. 考点 向量的线性运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 因为BM→＝1 3 BC→＝1 6 BA→＝1 6 (OA→－OB→) ＝1 6 (a－b)， 所以OM→＝OB→＋BM→＝b＋1 6 a－1 6 b＝1 6 a＋5 6 b. 6 因为CN→＝1 3 CD→＝1 6 OD→， 所以ON→＝OC→＋CN→＝1 2 OD→＋1 6 OD→ ＝2 3 OD→＝2 3 (OA→＋OB→)＝2 3 (a＋b)． MN→＝ON→－OM→＝2 3 (a＋b)－1 6 a－5 6 b＝1 2 a－1 6 b. 1．下列各式计算正确的有( ) (1)(－7)6a＝－42a； (2)7(a＋b)－8b＝7a＋15b； (3)a－2b＋a＋2b＝2a； (4)4(2a＋b)＝8a＋4b. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 C 解析 (1)(3)(4)正确，(2)错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b. 2．在△ABC 中，M 是 BC 的中点，则AB→＋AC→等于( ) A.1 2 AM→B.AM→C．2AM→D.MA→ 考点 向量的线性运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 C 解析 如图，作出平行四边形 ABEC，因为 M 是 BC 的中点，所以 M 也是 AE 的中点，由题意知， AB→＋AC→＝AE→＝2AM→，故选 C. 3．设 e1，e2 是两个不共线的向量，若向量 m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量 n＝e2－2e1 共线，则( ) A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝1 2 7 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 D 解析 当 k＝1 2 时，m＝－e1＋1 2 e2，n＝－2e1＋e2. ∴n＝2m，此时，m，n 共线． 4．已知 P，A，B，C 是平面内四点，且PA→＋PB→＋PC→＝AC→，则下列向量一定共线的是( ) A.PC→与PB→ B.PA→与PB→ C.PA→与PC→ D.PC→与AB→ 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 答案 B 解析 因为PA→＋PB→＋PC→＝AC→， 所以PA→＋PB→＋PC→＋CA→＝0， 即－2PA→＝PB→，所以PA→与PB→共线． 5.如图所示，已知AP→＝4 3 AB→，用OA→，OB→表示OP→. 考点 向量的线性运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋4 3 AB→ ＝OA→＋4 3 (OB→－OA→)＝－1 3 OA→＋4 3 OB→. 1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量 a |a| 表示与向量 a 同向的单位向量． 3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题． 4．已知 O，A，B 是不共线的三点，且OP→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，则 A，P，B 三点共线⇔m＋n 8 ＝1. 一、选择题 1．下列说法中正确的是( ) A．λa 与 a 的方向不是相同就是相反 B．若 a，b 共线，则 b＝λa C．若|b|＝2|a|，则 b＝±2a D．若 b＝±2a，则|b|＝2|a| 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量数乘的定义及几何意义 答案 D 解析 显然当 b＝±2a 时，必有|b|＝2|a|. 2．3(2a－4b)等于( ) A．5a＋7b B．5a－7b C．6a＋12b D．6a－12b 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 D 解析 利用向量数乘的运算律，可得 3(2a－4b)＝6a－12b，故选 D. 3．(2017·安徽太和中学高一期中)已知 a，b 是不共线的向量，AB→＝λa＋2b，AC→＝a＋(λ －1)b，且 A，B，C 三点共线，则实数λ的值为( ) A．－1 B．2 C．－2 或 1 D．－1 或 2 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 D 解析 因为 A，B，C 三点共线， 所以存在实数 k 使AB→＝kAC→. 因为AB→＝λa＋2b，AC→＝a＋(λ－1)b， 所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]． 9 因为 a 与 b 不共线，所以 λ＝k， 2＝k λ－1 ， 解得λ＝2 或λ＝－1. 4．(2017·江西赣州高三二模)如图，△ABC 中，AB→＝a，AC→＝b，DC→＝3BD→，AE→＝2EC→，则DE→等 于( ) A．－1 3 a＋3 4 b B. 5 12 a－3 4 b C.3 4 a＋1 3 b D．－3 4 a＋ 5 12 b 考点 向量的线性运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D 解析 DE→＝DC→＋CE→＝3 4 BC→＋ －1 3 AC→ ＝3 4 (AC→－AB→)－1 3 AC→＝－3 4 AB→＋ 5 12 AC→ ＝－3 4 a＋ 5 12 b， 故选 D. 5.如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点，AB→＝a，AC→＝b，则AD→等 于( ) A．a－1 2 b B.1 2 a－b C．a＋1 2 b D.1 2 a＋b 10 考点 向量的线性运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D 解析 连接 CD，OD，如图所示． ∵点 C，D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点， ∴AC＝CD，∠CAD＝∠DAB＝1 2 ×60°＝30°. ∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°. 由此可得∠CAD＝∠ADO＝30°，∴AC∥DO. 由 AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°， ∴∠CDA＝∠DAO，∴CD∥AO， ∴四边形 ACDO 为平行四边形， ∴AD→＝AO→＋AC→＝1 2 AB→＋AC→＝1 2 a＋b. 6．已知 m，n 是实数，a，b 是向量，则下列说法中正确的是( ) ①m(a－b)＝ma－mb； ②(m－n)a＝ma－na； ③若 ma＝mb，则 a＝b； ④若 ma＝na，则 m＝n. A．②④B．①②C．①③D．③④ 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量的数乘运算及运算律 答案 B 解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若 m＝0，则不能推出 a＝b， 错误；④中，若 a＝0，则 m，n 没有关系，错误． 7．在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F.若AC→＝a，BD→＝b，则AF→等于( ) A.1 4 a＋1 2 b B.1 3 a＋2 3 b C.1 2 a＋1 4 b D.2 3 a＋1 3 b 考点 向量的线性运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 11 答案 D 解析 ∵△DEF∽△BEA， ∴DF AB ＝DE EB ＝1 3 ，∴DF＝1 3 AB， ∴AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋1 3 AB→. ∵AC→＝AB→＋AD→＝a，BD→＝AD→－AB→＝b， 联立得AB→＝1 2 (a－b)，AD→＝1 2 (a＋b)， ∴AF→＝1 2 (a＋b)＋1 6 (a－b)＝2 3 a＋1 3 b. 二、填空题 8．(a＋9b－2c)＋(b＋2c)＝________. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 a＋10b 9．设向量 a，b 不平行，向量λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数λ＝____________. 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 1 2 解析 ∵向量 a，b 不平行，∴a＋2b≠0， 又∵向量λa＋b 与 a＋2b 平行，则存在唯一的实数μ， 使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb， 则 λ＝μ， 1＝2μ， 解得λ＝μ＝1 2 . 10．已知在△ABC 中，点 M 满足MA→＋MB→＋MC→＝0，若存在实数 m 使得AB→＋AC→＝m AM→成立，则 m ＝________. 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 3 解析 ∵MA→＋MB→＋MC→＝0， ∴点 M 是△ABC 的重心． ∴AB→＋AC→＝3AM→， 12 ∴m＝3. 11．若向量 a 与 b 的夹角为 45°，则 2a 与－3b 的夹角是________． 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量数乘的定义及几何意义 答案 135° 解析 如图所示，可知 2a 与－3b 的夹角是 135°. 三、解答题 12．计算： (1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)； (2)1 2 3a＋2b －2 3 a－b －7 6 1 2 a＋3 7 b＋7 6 a ； (3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)． 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 解 (1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b. (2)原式＝1 2 3a－2 3 a＋2b－b －7 6 1 2 a＋1 2 a＋3 7 b ＝1 2 7 3 a＋b －7 6 a＋3 7 b ＝7 6 a＋1 2 b－7 6 a－1 2 b＝0. (3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c ＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c) ＝6a＋2b. 13．在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别是 DC，BC 的中点，已知AM→＝c，AN→＝d，试用 c，d 表 示AB→和AD→. 考点 向量共线定理及应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 如图，设AB→＝a，AD→＝b. ∵M，N 分别是 DC，BC 的中点， 13 ∴BN→＝1 2 b，DM→＝1 2 a. ∵在△ADM 和△ABN 中， AD→＋DM→＝AM→， AB→＋BN→＝AN→， 即 b＋1 2 a＝c， ① a＋1 2 b＝d.② ①×2－②，得 b＝2 3 (2c－d)， ②×2－①，得 a＝2 3 (2d－c)． ∴AB→＝4 3 d－2 3 c，AD→＝4 3 c－2 3 d. 四、探究与拓展 14．如图，在△ABC 中，延长 CB 到 D，使 BD＝BC，当点 E 在线段 AD 上移动时，若AE→＝λAB→＋ μAC→，则 t＝λ－μ的最大值是________． 考点 向量共线定理及其应用 题点 向量共线定理在平面几何中的应用 答案 3 解析 设AE→＝kAD→，0≤k≤1，则AE→＝k(AC→＋2CB→)＝k[AC→＋2(AB→－AC→)]＝2kAB→－kAC→， ∵AE→＝λAB→＋μAC→，且AB→与AC→不共线， ∴ λ＝2k， μ＝－k， ∴t＝λ－μ＝3k. 又 0≤k≤1，∴当 k＝1 时，t 取最大值 3. 故 t＝λ－μ的最大值为 3. 15．已知在四边形 ABCD 中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，求证：四边形 ABCD 14 为梯形． 考点 向量共线定理及其应用 题点 向量共线定理在平面几何中的应用 证明 如图所示． ∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→ ＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b) ＝－8a－2b ＝2(－4a－b)， ∴AD→＝2BC→. ∴AD→与BC→共线，且|AD→|＝2|BC→|. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD∥BC，且 AD＝2BC. ∴四边形 ABCD 是以 AD，BC 为两条底边的梯形．