上海市第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

上海市第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

上海第二中学高二期中数学卷 一.填空题 ‎1.过点，且一个法向量为的直线的点法向式方程是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线的方向向量与其法向量垂直列式可得.‎ ‎【详解】在所求直线上任取一点,则所求直线的方向向量为,‎ 再根据直线的方向向量与法向量垂直可得,‎ ‎,‎ 即.‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查了直线的方向向量与法向量以及直线的点法向式方程,属于基础题.‎ ‎2.三角形的重心为，，则顶点的坐标为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角形的重心坐标，可求得顶点的坐标.‎ ‎【详解】设顶点的坐标为，由三角形的重心坐标得：‎ 解得：故填：.‎ ‎【点睛】本题所用的公式实际上是从共线向量定理抽象得到的，如果懂得利用这个结论能使运算的速度更快.‎ ‎3.已知矩阵A=，矩阵B=，计算：AB= ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：AB==。‎ 考点：矩阵的乘法运算。‎ 点评：直接考查矩阵的乘法运算：当A矩阵列数与B矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的。‎ ‎4.点到直线的距离为，则________.‎ ‎【答案】或11‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离,再根据已知距离列等式可解得.‎ ‎【详解】由点到直线的距离公式可得点到直线的距离为,‎ ‎ ,‎ 依题意可得,化简得,,‎ 所以或,‎ 解得或.‎ 故答案为或11.‎ ‎【点睛】本题考查了点到直线的距离公式,属于基础题.‎ ‎5.设满足约束条件，则最大值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域后,将目标函数化为斜截式,比较两条直线的斜率可找到最优解,再将最优解的坐标代入目标函数可得.‎ ‎【详解】作出可行域如图阴影部分:‎ 将目标函数化为斜截式可得,,‎ 即求直线的纵截距最大值,‎ 比较直线与直线的斜率可知,,‎ 由图可知,最优解为点,‎ 将最优解的坐标带入目标函数可得的最大值为2.‎ 故答案为:2.‎ ‎【点睛】本题考查了利用线性规划求线性目标函数的最大值,解题关键是比较斜率找到最优解.属于中档题.‎ ‎6.已知点，，则与向量方向相同的单位向量的坐标为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵点，，‎ ‎∴，可得，‎ 因此，与向量同方向的单位向量为：‎ 故答案为：‎ ‎7.已知，则“”是“直线与直线平行”的________.条件 ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时,两直线的斜率相等,纵截距不相等,说明是充分条件,而两直线平行时,也能推出,所以不是必要条件,由此可得.‎ ‎【详解】因为时,直线,直线,‎ 即,斜率,纵截距;‎ ‎,斜率 ,纵截距,‎ 因为,,所以,‎ 即“”能够推出“直线与直线平行,‎ 因为时, ,,此时也有,‎ 所以由可能推出,不一定推出,‎ 所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.‎ 故答案为:充分不必要条件.‎ ‎【点睛】本题考查了两条直线平行条件以及充分不必要条件,易错警示容易漏掉这种情况,属于基础题.‎ ‎8.三阶行列式中，元素的代数余子式的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 元素代数余子式的定义计算可得.‎ ‎【详解】根据代数余子式的定义可得元素的代数余子式的值为:.‎ 故答案为:29.‎ ‎【点睛】本题考查了根据行列式中元素的代数余子式的定义求值.属于基础题.‎ ‎9.已知向量，，则向量在向量上的投影为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量在向量上的投影的定义,结合向量数量积和模长公式计算可得.‎ ‎【详解】由定义可得向量在向量上的投影为 ‎ ‎ ‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了向量在向量上的投影,平面向量数量积和模长公式,属于基础题.,‎ ‎10.中，，，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据,得到,然后将平方开方,利用向量的数量积计算可得.‎ ‎【详解】在三角形中,因为,所以,‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了向量夹角,向量数量积,向量的模的计算,属于基础题.本题易错警示是容易将三角形内角当成向量的夹角.‎ ‎11.已知点，若直线过点，且与线段相交，则该直线的斜率的取值范围是___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线的斜率公式分别计算出直线的斜率，观察图象，根据斜率的单调性即可求斜率的取值范围．‎ ‎【详解】解：作出直线和点对应的图象如图：‎ ‎ 要使直线与线段相交，则直线的斜率满足或，‎ ‎，‎ 或，‎ 则直线斜率的取值范围是．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查直线斜率的求法，利用数形结合确定直线斜率的取值范围，要求熟练掌握直线斜率的坐标公式，比较基础．‎ ‎12.已知、、是直线上的不同的三个点，点不在直线上，则关于的方程的解集为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三点共线得向量共线,再根据共线向量定理得,然后根据三角形减法法则以及平面向量基本定理可解得,最后验证可知不符合题意,故解集为空集.‎ ‎【详解】因为、、是直线上的不同的三个点,‎ 所以与共线,‎ 根据共线向量定理可得,存在实数,使得,‎ 因为,所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ 又由已知得,‎ 根据平面向量基本定理可得,且,‎ 消去得且,‎ 解得,,‎ 当时,,此时与两点重合,不符合题意,故舍去,‎ 故于的方程的解集为,‎ 故答案: .‎ ‎【点睛】本题考查了共线向量定理以及平面向量基本定理,三角形减法法则的逆运算,属于中档题.‎ 二.选择题 ‎13.设，，则方程的解集为（ ）‎ A. B. C. D. 以上答案都不对 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照行列式的计算法则计算行列式的值,然后解方程可得.‎ ‎【详解】因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎,‎ 由,得,即,所以或.‎ 所以方程的解集为.‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查了行列式的计算法则,属于基础题.‎ ‎14.如果命题“曲线上的点的坐标都是方程的解”是正确的，则下列命题中正确的是（ ）‎ A. 曲线是方程的曲线 B. 方程的每一组解对应的点都在曲线上 C. 不满足方程的点不在曲线上 D. 方程是曲线的方程 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】由曲线与方程的对应关系,可知:由于不能判断以方程的解为坐标的点是否都在曲线C上, 故方程的曲线不一定是C,所以曲线C是方程的曲线不正确; 方程的每一组解对应的点都在曲线C上也不正确; 不能推出曲线C是方程的轨迹, 从而得到A,B,D均不正确, 不满足方程的点不在曲线C上是正确的. 故选 C.‎ ‎15.已知直线：，：，和两点（0,1），（-1,0），给出如下结论：‎ ‎①不论为何值时，与都互相垂直；‎ ‎②当变化时，与分别经过定点A（0,1）和B（-1,0）；‎ ‎③不论为何值时，与都关于直线对称；‎ ‎④如果与交于点，则的最大值是1；‎ 其中，所有正确的结论的个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 对于①，当时，两条直线分别化为:，此时两条直线互相垂直，当时，两条直线斜率分别为:,满足,此时两条直线互相垂直，因此不论为何值时，与都互相垂直，故①正确； 对于②，当变化时，代入验证可得:与分别经过定点和，故②正确； 对于③，由①可知:两条直线交点在以为直径的圆上，不一定在直线上，因此与关于直线不一定对称，故③不正确； 对于④，如果与交于点，由③可知:，则，所以的最大值是1，故④正确. 所有正确结论的个数是3.‎ 故选C ‎16.已知两个不相等的非零向量与，两组向量，，，，和，，，，均有2个和3个按照某种顺序排成一列所构成，记，且表示所有可能取值中的最小值，有以下结论：①有5个不同的值；②若，则与无关；③ 若∥，则与无关；④ 若，则；⑤若，且，则与的夹角为；正确的结论的序号是（ ）‎ A. ①②④ B. ②④ C. ②③ D. ①⑤‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照中的对数分3种情况,求出的值:共3个值,故①不正确;作差比较可得最小,再逐个分析②③④⑤可得.‎ ‎【详解】当有零对时,;‎ 当有2对时,;‎ 当有4对时,;‎ 所以有3个不同的值,所以①不正确;‎ 因为,‎ ‎,‎ 因为,所以,‎ 所以,所以,‎ 对于②,因为,所以,则与无关,只与有关,所以②正确;‎ 对于③,当时,设,则与有关,所以③不正确;‎ 对于④,设与的夹角为,因为,所以 ,所以,故④正确;‎ 对于⑤,因为,所以,因为,所以,所以, 因为,所以,所以与的夹角为,故⑤不正确.‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查了分类讨论思想,平面向量数量积和夹角,向量共线和垂直,属于难题.‎ 三.解答题 ‎17.已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组.‎ ‎【答案】当时, 方程组有无数组解;‎ 当时,方程组无解;‎ 当时, 方程组有唯一组解,,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先交换第一行与第二行,然后第一行乘以加到第二行,再对分类讨论即可得到.‎ ‎【详解】对于增广矩阵 ‎ ‎ ,‎ 当时,矩阵化为,方程组有无数组解;‎ 当时,矩阵化为 ,方程组无解;‎ 当时,矩阵第二行有.,得,‎ 将代入到,得,,进一步得.‎ 综上,当时, 方程组有无数组解;‎ 当时,方程组无解;‎ 当时, 方程组有唯一组解,,.‎ ‎【点睛】本题考查了利用矩阵变换解线性方程组,属于基础题.‎ ‎18.已知、都是单位向量，与满足，其中.‎ ‎(1)用k表示；‎ ‎(2)求的最小值，并求此时、的夹角的大小.‎ ‎【答案】(1)；(2)，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对两边平方，化简即可求解;‎ ‎(2)利用基本不等式求出的最小值，再结合数量积公式求出此时、的夹角.‎ ‎【详解】(1)‎ ‎ ‎ 即 ‎(2)由(1)可知 ‎ 当且仅当时，取最小值 此时、的夹角的余弦值为，‎ 所以的最小值为，此时、的夹角为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及夹角的求法，属于中档题.‎ ‎19.边长为1的正三角形，、分别是边、上的点，若，，其中，设的中点为，中点为.‎ ‎（1）若、、三点共线，求证：；‎ ‎（2）若，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用共线向量基本定理得,根据三角形的中线对应的向量等于相邻两边对应的向量的和的一半,将已知条件代入得到要证的结论;‎ ‎(2)利用向量的运算法则:三角形减法法则的逆运算将用三角形的边对应的向量表示,利用向量模的平方等于向量的平方,将表示为的二次函数,求出二次函数的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由三点共线,得共线,‎ 根据共线向量定理可得,存在使得,‎ 即,‎ 所以,‎ 根据平面向量基本定理可得,‎ 所以.‎ ‎(2)因为,‎ 又,所以,‎ 因为三角形是边长为1的正三角形,所以,,‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎,‎ 所以时,取得最小值.‎ ‎【点睛】本题考查了共线向量定理,平面向量基本定理,平面向量的数量积,平面向量三角形的减法法则的逆运算,二次函数求最小值,属于中档题.‎ ‎20.已知倾斜角为的直线过点和点，点在第一象限，.‎ ‎（1）求的坐标；‎ ‎（2）若直线与两平行直线，相交于、两点，且，求实数的值；‎ ‎（3）记集合直线经过点且与坐标轴围成的面积为，，针对的不同取值，讨论集合中的元素个数.‎ ‎【答案】（1）；（2）或23；（3）答案不唯一，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求出直线的方程,再根据方程设出的坐标,利用以及在第一象限,可解得;‎ ‎(2)解方程组得的坐标,根据两点间的距离可解得;‎ ‎(3)设出直线的截距式方程,代入的坐标并根据面积公式可得,再分2种情况去绝对值,利用判别式讨论一元二次方程的根的个数可得.‎ ‎【详解】(1)因为倾斜角为的直线过点,‎ 所以由点斜式得,即,‎ 因为直线过点,所以设,‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以,化简得,解得或,‎ 因为点在第一象限,所以,‎ 所以,,‎ 所以.‎ ‎(2)联立, 解得 ,所以,‎ 联立,解得,所以,‎ 因为,所以,‎ 化简得,‎ 解得或.‎ ‎(3)因为,所以可设直线的截距式方程为,‎ 因为直线经过点,所以,‎ 所以,‎ 因为直线与坐标轴围成的面积为,‎ 所以即,‎ 所以或,‎ 当时,,整理得,‎ 因为恒成立,所以一元二次方程恒有两个非零实根,‎ 当时,,整理得,‎ 当,即时, 无解,‎ 当,即时, 有且只有一个非零实根,‎ 当,即时, 有两个不相等的非零实根,‎ 所以,当 时,直线有两条,集合有两个元素,‎ 当时,直线有三条, 集合有三个元素,‎ 当时,直线有四条, 集合有四个元素.‎ ‎【点睛】本题考查了两点间的距离公式,求两直线交点坐标,讨论一元二次方程实根个数,属于中档题.‎ ‎21.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，设此点为.‎ ‎（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；‎ ‎（2）若折痕所在直线的斜率为，（为常数），试用表示点的坐标，并求折痕所在的直线的方程；‎ ‎（3）当时，求折痕长的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；(3).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）若折痕的斜率为时，由于点落在线段上，可得折痕必过点，即可得出；（2）当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程，当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，可知与关于折痕所在的直线对称，有，故点坐标为，从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为，即可得出；（3）当时，折痕为2，当时，折痕所在直线交于点，交轴于，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．‎ 试题解析：（1）∵折痕的斜率为时，点落在线段上 ‎∴折痕必过点 ‎∴直线方程为 ‎（2）①当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程.‎ ‎②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，‎ 则与关于折痕所在的直线对称，有，即．‎ ‎∴点坐标为 从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为，折痕所在的直线方程，即．‎ 综上所述，由①②得折痕所在的直线方程为：．‎ ‎（3）当时，折痕长为2．‎ 当时，折痕所在直线交于点，交轴于．‎ ‎∵ ，‎ ‎∴折痕长的最大值为.‎ ‎∴综上所述，折痕长度的最大值为 点睛：本题考查了关于折叠问题转化为轴对称问题，考查了直线的方程、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题 ‎ ‎