江西省临川二中临川二中实验学校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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临川二中 临川二中实验学校 ‎ 2019－2020学年度上学期期中考试 高一年级数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．全集，集合，，则集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．若集合，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．在下列四组函数中，与表示同一函数的是（ ）‎ A．， B． ，‎ C．， D.，‎ ‎5．函数的零点所在的区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若函数的定义域是，则函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数 A． B． C． D．或 ‎8．函数的定义域为，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数满足对于任意非零实数，都有，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．函数的图象大致为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．记函数在区间上的最大值和最小值分别为、，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，若函数的零点个数恰为2个，则（ ）‎ A．或 B． ‎ C．或 D．‎ 第Ⅱ卷 二．填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置．‎ ‎13．已知，则的解析式为_____________．‎ ‎14．若，，则_____________．‎ ‎15．函数的单调递增区间是_____________．‎ ‎16．某同学在研究函数时，给出下面几个结论：‎ ‎①等式对恒成立；②函数的值域为；‎ ‎③若，则一定；④对任意的，若函数 恒成立，则当时，或．‎ 其中正确的结论是____________（写出所有正确结论的序号）．‎ 三．解答题：本大题共有6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 计算：（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知集合，．‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 设函数是定义在上的奇函数，且．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）用单调性的定义证明在上是增函数；‎ ‎（3）解不等式．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）求函数在区间上的最小值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 某企业加工生产一批珠宝，要求每件珠宝都按统一规格加工，每件珠宝的原材料成本为万元，每件珠宝售价（万元）与加工时间（单位：天）之间的关系满足图1，珠宝的预计销量（件）与加工时间（天）之间的关系满足图2．原则上，单件珠宝的加工时间不能超过天，企业支付的工人报酬为这批珠宝销售毛利润的三分之一，其他成本忽略不计算．‎ ‎（1）如果每件珠宝加工天数分别为6，12，预计销量分别会有多少件？‎ ‎（2）设工厂生产这批珠宝产生的纯利润为（万元），请写出纯利润（万元）关于加工时间（天）之间的函数关系式，并求纯利润（万元）最大时的预计销量．‎ 注：毛利润＝总销售额 — 原材料成本，纯利润＝毛利润 — 工人报酬．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 如果函数在定义域内存在区间，使得该函数在区间上的值域为 ‎，则称函数是该定义域上的“和谐函数”.‎ ‎（1）判断函数是不是“和谐函数”，并说明理由；‎ ‎（2）若函数是“和谐函数”，求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎13、‎ ‎14、‎ ‎15、‎ ‎16、①②③‎ ‎17、（1）；（2）‎ ‎18、（1）；（2）‎ ‎19、（1）；（3）‎ ‎20、（1）；（2）‎ ‎21、解：（1）预计订单函数f（t）（t∈N）为f（t）＝；‎ f（6）＝24+5＝29；f（12）＝﹣12+55＝43；‎ ‎∴每件珠宝加工天数分别为6，12，预计订单数分别为29件，43件．‎ ‎（2）售价函数为g（t）＝1.5t+5；‎ ‎∴利润函数为s（t）＝，‎ ‎＝＝；‎ 当0≤t≤10时，s（t）＝4t2+9t+5的最大值为s（10）＝495；‎ 当10＜t≤55时，s（t）＝﹣（t2﹣54t﹣55）的最大值为s（27）＝784；‎ 故利润最大时，t＝27，此时预计的订单数为28件 ‎22、解：（1）函数f（x）＝log2（x+1）的定义域为（﹣1，+∞），且在（﹣1，+∞）上单调递增；‎ 考察函数F（x）＝f（x）﹣x2＝log2 （x+1）﹣x2，x∈（﹣1，+∞）；‎ 因为F（0）＝log2 1﹣0＝0，取a＝0，则F（a）＝0，即f（a）＝a2；‎ F（1）＝log2 2﹣1＝0，取b＝1，则F（b）＝0，即f（b）＝b2；‎ 因为f（x）在[a，b]上单调递增；‎ 所以f（x）在区间[a，b]上的值域为[f（a），f（b）]，即为[a2，b2]；‎ 所以函数f（x）＝log2 （x+1）是（﹣1，+∞）上的“和谐函数”；‎ ‎（2）因为g（x）在[1，+∞）单调递增；‎ 因为函数g（x）＝是“和谐函数”；‎ 所以存在[a，b]⊆[1，+∞），使得函数在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]；‎ 即g（a）＝a2，g（b）＝b2．‎ 因此g（x）＝x2，即在[1，+∞）上至少有两个不相等的实数根；‎ 令，u≥0，方程可化为u2+1＝u+t；‎ 即u2﹣u+1﹣t＝0在[0，+∞）上至少有两个不相等的实数根；‎ 记h（u）＝u2﹣u+1﹣t，h（u）的对称轴为直线 u＝；‎ 所以；‎ 解得＜t≤1，即t的取值范围为 （，1]．‎ ‎ ‎ ‎13、‎ ‎14、‎ ‎15、‎ ‎16、①②③‎ ‎17、（1）；（2）‎ ‎18、（1）；（2）‎ ‎19、（1）；（3）‎ ‎20、（1）；（2）‎ ‎21、解：（1）预计订单函数f（t）（t∈N）为f（t）＝；‎ f（6）＝24+5＝29；f（12）＝﹣12+55＝43；‎ ‎∴每件珠宝加工天数分别为6，12，预计订单数分别为29件，43件．‎ ‎（2）售价函数为g（t）＝1.5t+5；‎ ‎∴利润函数为s（t）＝，‎ ‎＝＝；‎ 当0≤t≤10时，s（t）＝4t2+9t+5的最大值为s（10）＝495；‎ 当10＜t≤55时，s（t）＝﹣（t2﹣54t﹣55）的最大值为s（27）＝784；‎ 故利润最大时，t＝27，此时预计的订单数为28件 ‎22、解：（1）函数f（x）＝log2（x+1）的定义域为（﹣1，+∞），且在（﹣1， +∞）上单调递增；‎ 考察函数F（x）＝f（x）﹣x2＝log2 （x+1）﹣x2，x∈（﹣1，+∞）；‎ 因为F（0）＝log2 1﹣0＝0，取a＝0，则F（a）＝0，即f（a）＝a2；‎ F（1）＝log2 2﹣1＝0，取b＝1，则F（b）＝0，即f（b）＝b2；‎ 因为f（x）在[a，b]上单调递增；‎ 所以f（x）在区间[a，b]上的值域为[f（a），f（b）]，即为[a2，b2]；‎ 所以函数f（x）＝log2 （x+1）是（﹣1，+∞）上的“和谐函数”；‎ ‎（2）因为g（x）在[1，+∞）单调递增；‎ 因为函数g（x）＝是“和谐函数”；‎ 所以存在[a，b]⊆[1，+∞），使得函数在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]；‎ 即g（a）＝a2，g（b）＝b2．‎ 因此g（x）＝x2，即在[1，+∞）上至少有两个不相等的实数根；‎ 令，u≥0，方程可化为u2+1＝u+t；‎ 即u2﹣u+1﹣t＝0在[0，+∞）上至少有两个不相等的实数根；‎ 记h（u）＝u2﹣u+1﹣t，h（u）的对称轴为直线 u＝；‎ 所以；‎ 解得＜t≤1，即t的取值范围为 （，1]．‎