河南省郑州市中牟县第一高级中学2019-2020高二下学期第五次月考考试数学（文）试卷

河南省郑州市中牟县第一高级中学2019-2020高二下学期第五次月考考试数学（文）试卷

河南省郑州市中牟县第一高级中学2019-2020高二下学期 第五次月考考试数学（文）试卷 一．选择题 ‎1．将曲线y＝sin 2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为(　　)‎ A．y′＝3sin x′ B．y′＝3sin 2x′‎ C．y′＝3sinx′ D．y′＝sin 2x′‎ ‎2．设a＝(m2＋1)(n2＋4)，b＝(mn＋2)2，则(　　)‎ A．a＞b B．a＜b C．a≤b D．a≥b ‎3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表，则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性（ ）‎ 甲 乙 丙 丁 r ‎0.82‎ ‎0.78‎ ‎0.69‎ ‎0.85‎ m ‎106‎ ‎115‎ ‎124‎ ‎103‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎4．已知a，b∈R，则使＜成立的一个充分不必要条件是(　　)‎ A．ab＞0 B．ab(a－b)＞0 C．b＜a＜0 D． a＞b ‎5．二维空间中圆的一维测度(周长)，二维测度(面积)；三维空间中球的二维测度(表面积)，三维测度(体积).若四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．如果用反证法证明“数列 的各项均小于 ”，那么应假设（ ）‎ A．数列 的各项均大于 ‎ B．数列 的各项均大于或等于 ‎ C．数列 中存在一项 ， ‎ D．数列 中存在一项 ，‎ ‎7．极坐标方程ρ2－ρ(2＋sin θ)＋2sin θ＝0表示的图形为(　　)‎ A．一个圆与一条直线 B．一个圆 C．两个圆 D．两条直线 ‎8．在极坐标系中，直线θ＝(ρ∈R)截圆ρ＝2cos所得弦长是(　　) ‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎9（2019·全国高二单元测试）以下关于线性回归的判断，正确的个数是( )‎ ‎ ‎ ‎①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；‎ ‎②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A，B，C点；‎ ‎③已知直线方程为＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69；‎ ‎④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎10在复平面内复数、对应的点分别为、，若复数对应的点 ‎ 为线段的中点， 为复数的共轭复数，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若x，y，a∈R+，且＋≤a 恒成立，则a的最小值是(　　)‎ A． B． C．1 D． ‎12． （2019·江西高二期末）对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和如下所示：‎ ‎…，‎ 根据上述规律，的分解式中，等号右边的所有数的个位数之和为（ ）‎ A．71 B．75 C．83 D．88‎ 二．填空题 ‎13．x和y的散点图如图所示，则下列说法中①x，y是负相关关系；②在该相关关系中，若用拟合时的相关指数为，用拟合时的相关指数为则；③x，y之间不能建立线性回归方程；所有正确命题的序号为___________.‎ ‎14若复数在复平面内对应的点位于第四象限,则实数的取值范围是____.‎ ‎15若正数x、y满足，则的最小值等________‎ ‎16若，使成立，则实数a的取值范围是______‎ 三．解答题 ‎17．已知复数，(，为虚数单位). ‎ ‎(1)若是纯虚数，求实数的值.‎ ‎(2)若复数在复平面上对应的点在第二象限，且，求实数的取值范围.‎ ‎18．某中学高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人．为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，统计了他们期中考试的数学分数，然后按照性别分为男、女两组，再将两组的分数分成5组：分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（I）从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰为一男一女的概率；‎ ‎（II）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”?‎ ‎19．已知，，均为正实数．‎ ‎（Ⅰ）用分析法证明：≤；‎ ‎（Ⅱ）用综合法证明：若＝1，则≥8．‎ ‎20.已知函数f(x)=|2x-a|+a.‎ ‎(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;‎ ‎(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.‎ ‎21在极坐标系中，点的极坐标是，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为-1的直线经过点．‎ ‎（Ⅰ）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线和曲线相交于两点，求的值．‎ ‎22（2019·湖北高二期末（文））柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据：‎ x ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎(1)请画出上表数据的散点图；‎ ‎(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为的雾霾天数．‎ 高二文科数学答案 ‎1【答案】　A ‎【解析】　由伸缩变换，得x＝，y＝.‎ 代入y＝sin 2x，有＝sin x′，即y′＝3sin x′.‎ ‎2答案：D 解析：因为a－b＝(m2＋1)(n2＋4)－(mn＋2)2＝4m2＋n2－4mn＝(2m－n)2≥0，所以a≥b.‎ ‎3【答案】D ‎【分析】相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强；残差平方和越小，相关性越强，即可得出选项.‎ ‎【详解】在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大；‎ 残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，‎ 综上可知丁的试验结果体现了A，B两变量有更强的线性相关性.‎ ‎4答案：C 解析：＜⇔＜⇔a＞b＞0或b＜a＜0或a＜0＜b，‎ 所以使＜成立的一个充分不必要条件是b＜a＜0.‎ ‎5【答案】A ‎【分析】由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度.‎ ‎【详解】结合所给的测度定义可得：在同维空间中，维测度关于求导可得维测度，‎ 结合“超球”的三维测度，可得其四维测度.‎ ‎6【答案】D ‎【详解】各项均小于2，的否定是存在一项大于或等于2，‎ 所以选D.‎ ‎7：选C. 将所给方程进行分解，可得(ρ－2)·(ρ－sin θ)＝0，即ρ＝2或ρ＝sin θ，化成 ‎8【答案】　B ‎【解析】　化圆的极坐标方程ρ＝2cos为直角坐标方程得＋＝1，圆心坐标为，半径长为1，化直线θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为x－y＝0，由于－×＝0，即直线x－y＝0过圆＋＝1的圆心，故直线θ＝(ρ∈R)截圆ρ＝2cos所得弦长为2.‎ ‎9【答案】D ‎【解析】能使所有数据点都在一条直线附近的直线不止一条，而回归方程的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a，b得到的直线=ax+b才是回归方程，∴①不对；‎ ‎②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不会影响线性回归，是正确，故②正确；‎ ‎③将x=25代入=0.50x﹣0.81，解得=11.69，∴③正确；‎ ‎④散点图中所有点都在回归直线的附近，因此回归直线方程反映了样本整体的变化趋势，故④正确；‎ 综上所述，正确的有3个．故选：D．‎ ‎10【答案】C ‎【解析】由题意知点、的坐标为、，则点的坐标为，‎ 则，从而,‎ ‎11选B. 解析：因为 ≥，即≥(x＋y)，‎ 所以≥(＋)，而＋≤a，即≥(＋)恒成立，‎ 得≤，即a≥.‎ ‎12【答案】C ‎【解析】观察可知，等式右边的数为正奇数，故在之前，总共使用了个正奇数，所以的分解式中第一个数为，最后一个是，因此，所有数的个位数之和为83，故选C。‎ ‎13，【答案】①②‎ ‎【分析】根据散点图可以判定变量负相关，指数型函数模型比直线型更恰当，相关指数更大，变量间可以建立线性回归方程，拟合效果不大好.‎ ‎【详解】在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，‎ 因此x，y是负相关关系，故①正确；‎ 由散点图知用拟合比用拟合效果要好，‎ 则R>R，故②正确；‎ x，y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故③错误.‎ ‎. ‎ ‎14【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，‎ 在复平面内对应的点位于第四象限,‎ ‎，解得，实数的取值范围是，故答案为.‎ ‎15答案：9‎ ‎16答案：【-3，5】 ‎ ‎17【答案】（1）；（2）。‎ ‎【解析】‎ 解：（1）依据 ‎ ‎ 根据题意是纯虚数，故， 且 ， 故； ‎ ‎ （2）依， ‎ 根据题意在复平面上对应的点在第二象限，可得 ‎ ‎ ‎ 综上，实数的取值范围为 ‎ ‎18【解析】（Ⅰ）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，‎ 分数小于等于110分的学生中，男生人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3；‎ 女生有40×0.05=2（人），记为B1，B2； ‎ 从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：‎ ‎（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），‎ ‎（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；‎ 其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：‎ ‎（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），‎ ‎（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）； ‎ 故所求的概率为P=． ‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可知，‎ 在抽取的100名学生中，男生 60×0.25=15（人），‎ 女生40×0.375=15（人）； ‎ 据此可得2×2列联表如下：‎ 数学尖子生 非数学尖子生 合计 男生 ‎15‎ ‎45‎ ‎60‎ 女生 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 所以得 ； ‎ 因为1.79＜2.706，‎ 所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关” ‎ ‎19．【解析】（Ⅰ）证明：因为＞0，＞0，所以＞0．‎ 要证明 ≤，即证 ≤，‎ 即证 ≤， ≥0， ≥0．‎ 因为不等式≥0显然成立，从而原不等式成立． ‎ ‎（Ⅱ）因为，，均为正实数，则由基本不等式，得 ‎≥，≥，≥，‎ 所以 ≥，‎ 因为，所以≥8．‎ ‎20.解(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.‎ 因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.‎ ‎(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,‎ 当x=时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3. ① (分类讨论)‎ 当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.‎ 当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.‎ 所以a的取值范围是[2,+∞).‎ ‎21【解析】（Ⅰ）由曲线的极坐标方程，‎ 可得，化为直角坐标方程为，‎ 点的直角坐标为， 直线的倾斜角为， ‎ 所以直线的参数方程为（为参数）；‎ ‎（Ⅱ）将代入，得，‎ 设对应参数分别为，则，，‎ 根据直线参数方程的几何意义，得：‎ ‎.‎ ‎22详解：‎ ‎　(1)散点图如图所示.为正相关.‎ xiyi＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106.＝＝6,＝＝4,‎ x＝42＋52＋72＋82＝154,‎ 则＝＝＝1,＝－＝4－6＝－2,‎ 故线性回归方程为＝x＋＝x－2.‎ ‎(3)由线性回归方程可以预测,燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7. ‎