高中数学人教a版必修三 第二章 统计 学业分层测评13 word版含答案

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学业分层测评(十三) 用样本的数字特征估计总体的数字特征 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．(2015·合肥检测)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两 人成绩的条形统计图如图 2224 所示，则( ) 图 2224 A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 【解析】 由题意可知，甲的成绩为 4，5，6，7，8，乙的成绩为 5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为 6，A 错；甲、乙的成 绩的中位数分别为 6，5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为1 5 ×[(4－6)2 ＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，1 5 ×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－ 6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝12 5 ，C 对；甲、乙的成绩的极差均为 4，D 错． 【答案】 C 2．十八届三中全会指出要改革分配制度，要逐步改变收入不平衡 的现象．已知数据 x1，x2，x3，…，xn 是上海普通职工 n(n≥3，n∈N*) 个人的年收入，设这 n 个数据的中位数为 x，平均数为 y，方差为 z， 如果再加上世界首富的年收入 xn＋1，则这 n＋1 个数据中，下列说法正 确的是( ) A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变 【解析】 插入大的极端值，平均数增加，中位数可能不变，方 差也因为数据更加分散而变大． 【答案】 B 3．如图 2225 是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎 叶图，甲、乙两人这几场比赛得分的平均数分别为 x－ 甲， x－ 乙；标准差 分别是 s 甲，s 乙，则有( ) 图 2225 A． x－ 甲＞ x－ 乙，s 甲＞s 乙 B． x－ 甲＞ x－ 乙，s 甲＜s 乙 C． x－ 甲＜ x－ 乙，s 甲＞s 乙 D． x－ 甲＜ x－ 乙，s 甲＜s 乙 【解析】 观察茎叶图可大致比较出平均数与标准差的大小关系， 或者通过公式计算比较． 【答案】 C 4．已知一组数据 x1，x2，x3，x4，x5 的平均数是 x－＝2，方差是1 3 ， 那么另一组数据 3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2 的平均数和 方差分别为( ) A．2，1 3 B．2，1 C．4，1 3 D．4，3 【解析】 平均数为 x－′＝3 x－－2＝3×2－2＝4，方差为 s′2＝9s2 ＝9×1 3 ＝3. 【答案】 D 5．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校 100 名高 三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图 2226 所示．由于不 慎将部分数据丢失，但知道前 4 组的频数成等比数列，后 6 组的频数 成等差数列，设最大频率为 a，视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b， 则 a，b 的值分别为( ) 图 2226 A．0.27，78 B．0.27，83 C．2.7，78 D．2.7，83 【解析】 由题意，4.5 到 4.6 之间的频率为 0.09，4.6 到 4.7 之间 的频率为 0.27，后 6 组的频数成等差数列，设公差为 d，则 6×0.27＋ 15d＝1－0.01－0.03－0.09， ∴d＝－0.05. ∴b＝(0.27×4＋6d)×100＝78，a＝0.27. 【答案】 A 二、填空题 6．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13，14，19，x，23， 27，28，31，中位数为 22，则 x＝________． 【解析】 由题意知x＋23 2 ＝22，则 x＝21. 【答案】 21 7．甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如图 2227 所示，则平均分数较高的是________，成绩较为稳定的是 ________． 图 2227 【解析】 x－ 甲＝70， x－ 乙＝68，s2甲＝1 5 ×(22＋12＋12＋22)＝2，s2乙＝ 1 5 ×(52＋12＋12＋32)＝7.2. 【答案】 甲 甲 8．已知样本 9，10，11，x，y 的平均数是 10，标准差为 2，则 xy＝________. 【导学号：28750040】 【解析】 由平均数得 9＋10＋11＋x＋y＝50，∴x＋y＝20. 又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x－10)2＋(y－10)2＝( 2)2 ×5＝10，得 x2＋y2－20(x＋y)＝－192， (x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192，∴xy＝96. 【答案】 96 三、解答题 9．从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图 2228 的频率分布直方图． 图 2228 由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求： (1)这 50 名学生成绩的众数与中位数； (2)这 50 名学生的平均成绩． 【解】 (1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直 方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数 应为 75. 由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现 的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形 的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为 二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求． ∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3， ∴前三个小矩形面积的和为 0.3.而第四个小矩形面积为 0.03×10 ＝0.3，0.3＋0.3＞0.5， ∴中位数应约位于第四个小矩形内． 设其底边为 x，高为 0.03，∴令 0.03x＝0.2 得 x≈6.7， 故中位数应约为 70＋6.7＝76.7. (2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平 均值，取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和 即可． ∴平均成绩为 45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10) ＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)＝73.65. 10．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了 6 次测试，测 得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下： 甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 (1)画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？ (2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、 极差、方差，并判断选谁参加比赛比较合适？ 【解】 (1)画茎叶图如下：中间数为数据的十位数． 从茎叶图上看，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好 一些．乙发挥比较稳定，总体情况比甲好． (2) x－ 甲＝27＋38＋30＋37＋35＋31 6 ＝33. x－ 乙＝33＋29＋38＋34＋28＋36 6 ＝33. s2甲＝1 6[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋ (31－33)2]≈15.67. s2乙＝1 6[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋ (36－33)2]≈12.67. 甲的极差为 11，乙的极差为 10. 综合比较以上数据可知，选乙参加比赛较合适． [能力提升] 1．有一笔统计资料，共有 11 个数据如下(不完全以大小排列)：2， 4，4，5，5，6，7，8，9，11，x，已知这组数据的平均数为 6，则这 组数据的方差为( ) A．6 B． 6 C．66 D．6.5 【解析】 ∵ x－＝ 1 11(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝ 1 11(61 ＋x)＝6，∴x＝5. 方差为： s2＝42＋22＋22＋12＋12＋02＋12＋22＋32＋52＋12 11 ＝66 11 ＝6. 【答案】 A 2．将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，7 个 剩余分数的平均分为 91，现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数据 模糊，无法辨认，在图 2229 中以 x 表示： 8 9|7 7 4 0 1 0 x 9 1 图 2229 则 7 个剩余分数的方差为( ) A.116 9 B．36 7 C．36 D．6 7 7 【解析】 根据茎叶图，去掉 1 个最低分 87，1 个最高分 99， 则1 7[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x)＋91]＝91， ∴x＝4. ∴s2＝1 7[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2 ＋(94－91)2＋(91－91)2]＝36 7 . 【答案】 B 3．若 40 个数据的平方和是 56，平均数是 2 2 ，则这组数据的方差 是________，标准差是________． 【解析】 设这 40 个数据为 xi(i＝1，2，…，40)，平均数为 x. 则 s2＝ 1 40 ×[(x1－ x－)2＋(x2－ x－)2＋…＋(x40－ x－)2] ＝ 1 40[x21＋x22＋…＋x240＋40x2－2x(x1＋x2＋…＋x40)] ＝ 1 40 56＋40× 2 2 2－2× 2 2 ×40× 2 2 ＝ 1 40 × 56－40×1 2 ＝0.9. ∴s＝ 0.9＝ 9 10 ＝3 10 10 . 【答案】 0.9 3 10 10 4．某地区 100 位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频 数如下： [0，0.5)，4；[0.5，1)，8；[1，1.5)，15；[1.5，2)，22；[2，2.5)， 25；[2.5，3)，14；[3，3.5)，6；[3.5，4)，4；[4，4.5)，2. (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、 中位数、众数； (3)当地政府制定了人均月用水量为 3t 的标准，若超出标准加倍收 费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为 什么？ 【解】 (1)频率分布表 分组 频数 频率 [0，0.5) 4 0.04 [0.5，1) 8 0.08 [1，1.5) 15 0.15 [1.5，2) 22 0.22 [2，2.5) 25 0.25 [2.5，3) 14 0.14 [3，3.5) 6 0.06 [3.5，4) 4 0.04 [4，4.5) 2 0.02 合计 100 1 (2)频率分布直方图如图： 众数：2.25，中位数：2.02，平均数：2.02. (3)人均月用水量在 3t 以上的居民所占的比例为 6%＋4%＋2%＝ 12%，即大约有 12%的居民月用水量在 3t 以上，88%的居民月用水量 在 3t 以下，因此政府的解释是正确的．