2017年广东省广州市高考一模数学理

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2017 年广东省广州市高考一模数学理 一、选择题：本小题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1. 复数 2 21 1i i 的共轭复数是( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 解析：       2 2121 2 2 1 11 1 1 ii i i i ii i i            的共轭复数是 1-i. 答案：B. 2.若集合 M={x||x|≤1}，N={y|y=x2，|x|≤1}，则( ) A.M=N B. MN C. NM D. MN 解析：由题意，N={y|y=x2，|x|≤1}={y|0≤y≤1}， ∴ ， 答案：C. 3.已知等比数列{an}的各项都为正数，且 a3， 5 1 2 a ，a4 成等差数列，则 35 46 aa aa   的值是( ) A. 51 2  B. 51 2  C. 35 2  D. 35 2  解析：设等比数列{an}的公比为 q，且 q＞0， ∵a3， ，a4 成等差数列， ∴2× 5 1 2 a ＝a3+a4，则 a3q2＝a3+a3q， 化简得，q2-q-1=0，解得 15 2q  ， 则 51 2q  ， ∴ 3 5 3 5 4 6 3 5 1 2 5 1 251 a a a a a a a q a q q       ， 答案：A. 4.阅读如图的程序框图.若输入 n=5，则输出 k 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析：第一次执行循环体，n=16，不满足退出循环的条件，k=1； 第二次执行循环体，n=49，不满足退出循环的条件，k=2； 第三次执行循环体，n=148，不满足退出循环的条件，k=3； 第四次执行循环体，n=445，满足退出循环的条件， 故输出 k 值为 3， 答案：B 5.已知双曲线 C： 22 2 14 xy a  ＝ 的一条渐近线方程为 2x+3y=0，F1，F2 分别是双曲线 C 的左， 右焦点，点 P 在双曲线 C 上，且|PF1|=7，则|PF2|等于( ) A.1 B.13 C.4 或 10 D.1 或 13 解析：由双曲线的方程、渐近线的方程可得 22 3a  ，∴a=3. 由双曲线的定义可得||PF2|-7|=6，∴|PF2|=1 或 13. 答案：D. 6.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形) 和侧视图，且该几何体的体积为 8 3 ，则该几何体的俯视图可以是( ) A. B. C. D. 解析：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥 P-ABCD，如图所示， 该几何体的俯视图为 D. 答案：D. 7.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上，则这个人站起来； 若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么，没有相邻 的两个人站起来的概率为( ) A. 1 2 B. 15 32 C. 11 32 D. 5 16 解析：五个人的编号为 1，2，3，4，5. 由题意，所有事件，共有 25=32 种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有(1)，(2)，(3)， (4)，(5)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，(2，5)，(3，5)，再加上没有人站起来的可能有 1 种，共 11 种情况， ∴没有相邻的两个人站起来的概率为 ， 答案：C. 8.已知 F1，F2 分别是椭圆 C： 22 221xy ab ＝ (a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆 C 上存在点 P 使∠ F1PF2 为钝角，则椭圆 C 的离心率的取值范围是( ) A.( 2 2 ，1) B.( 1 2 ，1) C.(0， 2 2 ) D.(0， 1 2 ) 解析：设 P(x0，y0)，则|x0|＜a， 又 F1(-c，0)，F2(c，0)， 又∠F1PF2 为钝角，当且仅当 120PF PF ＜ 有解， 即       2 0 0 0 0 0 0 0 0c x y c x y c x c x y          ， ， ＜ ， 即有 c2＞x02+y02 有解，即 c2＞(x02+y02)min. 又 2 2 2 2 002 by b xa ， ∴ 2 2 2 2 2 2 2 0 0 02 [cx y b x b aa    ， )， 即(x02+y02)min=b2. 故 c2＞b2，c2＞a2-c2， ∴ 2 2 1 2 c a ＞ ，即 2 2e＞ ， 又 0＜e＜1， ∴ 2 2 ＜e＜1. 答案：A. 9. 已知 p： x＞0，ex-ax＜1 成立，q：函数 f(x)=-(a-1)x 是减函数，则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：p： x＞0，ex-ax＜1 成立，则 1xea x ＞ ，令   1xefx x  ，则   2 1xxe x efx x  . 令 g(x)=exx-ex+1， 则 g(0)=0，g′(x)=xex＞0，∴g(x)＞0，∴f′(x)＞0，∴a＞0. q：函数 f(x)=-(a-1)x 是减函数，则 a-1＞1，解得 a＞2. 则 p 是 q 的必要不充分条件. 答案：B. 10.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个 面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥 P-ABC 为鳖臑，PA⊥平面 ABC，PA=AB=2， AC=4，三棱锥 P-ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为( ) A.8π B.12π C.20π D.24π 解析：由题意，PC 为球 O 的直径， 4 16 2 5PC    ， ∴球 O 的半径为 5 ， ∴球 O 的表面积为 4π·5=20π， 答案：C. 11.若直线 y=1 与函数 f(x)=2sin2x 的图象相交于点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且 12 2 3xx  ， 则线段 PQ 与函数 f(x)的图象所围成的图形面积是( ) A. 2 33   B. 33   C. 2 323   D. 323   解析：函数 f(x)=2sin2x， 周期 T=π， 令 2sin2x=1，解得： 12xk 或 5 6k   ， 直线 y=1 与函数 f(x)=2sin2x 的图象相交于点从左向右依次是 12  ， 5 12  ，13 12  …， ∵ 12 2 3xx  令 x1= ，x2= ， 可得：线段 PQ 与函数 f(x)的图象所围成的图形面积 3 24 5 12 2 221 2 2sin 2 2 2sin 2 333S xdx xdx           . 答案：A 12.已知函数   323 3 1 2 4 8f x x x x    ，则 2016 1 2017k kf   ＝ 的值为( ) A.0 B.504 C.1008 D.2016 解析：   3 2 3 23 3 1 3 3 1 1 1 132 4 8 2 4 8 4 2 4f x x x x x x x x            . ∵ 1 2017 1 02017 2 2017 2 kk    ，k=1，2，…2016. ∴ 331 2017 1 02017 2 2017 2 kk             ，k=1，2，…2016. ∴ 2016 1 1 2016 5042017 4k kf     ＝ . 答案：B. 二、填空题：本小题共 4 题，每小题 5 分. 13.已知 1a  ， 2b  ，且  a a b，则向量 a 与向量b 的夹角是____. 解析：设向量 与向量 的夹角是θ，则由题意可得   2 1 1 2 cos 0a a b a a b          ， 求得 2cos 2  ，可得 4   ， 答案： 4  . 14.(3-x)n 的展开式中各项系数和为 64，则 x3 的系数为____(用数字填写答案) 解析：令 x=1，则 2n=64，解得 n=6. (3-x)6 的通项公式为：    66 1 6 63 1 3rr r r r r rT C x rC x         ， 令 r=3，则 x3 的系数为 33 6 3C=-540. 答案：-540. 15.已知函数   1 2 20 1 log 0 x xfx xx     ， ， ＞ ，若|f(a)|≥2，则实数 a 的取值范围是____. 解析：由题意知， ， ①当 a≤0 时，不等式|f(a)|≥2 为|21-a|≥2， 则 21-a≥2，即 1-a≥1，解得 a≤0； ②当 a＞0 时，不等式|f(a)|≥2 为|1-log2a|≥2， 则 1-log2a≥2 或 1-log2a≤-2， 即 log2a≤-1 或 log2a≥3，解得 0＜a≤ 1 2 或 a≥8； 综上可得，实数 a 的取值范围是(-∞， 1 2 ]∪[8，+∞)， 答案：(-∞， 1 2 ]∪[8，+∞). 16.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 a1=2，对任意 p、q∈N*，都有 ap+q=ap+aq，则   60 1 nSfn n   (n∈N*)的最小值为____. 解析：∵对任意 p、q∈N*，都有 ap+q=ap+aq，令 p=n，q=1，可得 an+1=an+a1，则 an+1-an=2， ∴数列{an}是等差数列，公差为 2. ∴   21222n nnS n n n     . 则   260 60 60111 1 1 nS nnf n nn n n          ， 令 g(x)=x+ 60 x (x≥1)，则   2 22 60 601 xgx xx     ，可得 x∈[1， 60 )时，函数 g(x)单调递 减；x∈[ 60 ，+∞)时，函数 g(x)单调递增. 又 f(7)=14+ 1 2 ，f(8)=14+ 2 3 . ∴f(7)＜f(8). ∴   60 1 nSfn n   (n∈N*)的最小值为 29 2 . 答案： 29 2 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.如图，在△ABC 中，点 P 在 BC 边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4. (Ⅰ)求∠ACP； (Ⅱ)若△APB 的面积是 33 2 ，求 sin∠BAP. 解析：(Ⅰ)在△APC 中，由余弦定理得 AP2-4AP+4=0，解得 AP=2，可得△APC 是等边三角形， 即可得解. (Ⅱ)法 1：由已知可求∠APB=120°.利用三角形面积公式可求 PB=3.进而利用余弦定理可求 AB，在△APB 中，由正弦定理可求 3sin120sin 19 BAP  的值. 法 2：作 AD⊥BC，垂足为 D，可求：PD＝1，AD＝ 3 ，∠PAD＝30°，利用三角形面积公 式可求 PB，进而可求 BD，AB，利用三角函数的定义可求 4sin 19 BDBAD AB ＝ ＝ ， 3cos 19 ADBAD AB ＝ ＝ .利用两角差的正弦函数公式可求 sin∠BAP=sin(∠BAD-30°)的值. 答案：(Ⅰ)在△APC 中，因为∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4， 由余弦定理得 PC2=AP2+AC2-2·AP·AC·cos∠PAC， 所以 22=AP2+(4-AP)2-2·AP·(4-AP)·cos60°， 整理得 AP2-4AP+4=0， 解得 AP=2. 所以 AC=2. 所以△APC 是等边三角形. 所以∠ACP=60°. (Ⅱ)法 1：由于∠APB 是△APC 的外角，所以∠APB=120°. 因为△APB 的面积是 33 2 ，所以 1 3 3sin22AP PB APB    ＝ . 所以 PB=3. 在△APB 中，AB2=AP2+PB2-2·AP·PB·cos∠APB=22+32-2×2×3×cos120°=19， 所以 AB＝ 19 . 在△APB 中，由正弦定理得 sin sin AB PB APB BAP ＝ ， 所以 3sin120 3 57sin 3819 BAP    . 法 2：作 AD⊥BC，垂足为 D， 因为△APC 是边长为 2 的等边三角形， 所以 PD＝1，AD＝ 3 ，∠PAD＝30°. 因为△APB 的面积是 33 2 ，所以 1 3 3 22AD PB   . 所以 PB=3. 所以 BD=4. 在 Rt△ADB 中， 2219AB BD AD＝ ＝ ， 所以 4sin 19 BDBAD AB ＝ ＝ ， 3cos 19 ADBAD AB ＝ ＝ .. 所以 sin∠BAP=sin(∠BAD-30°)=sin∠BADcos30°-cos∠BADsin30° = 4 3 3 1 3 57 2 2 3819 19     . 18.近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016 年“ 618”期间，某网购平台的销售业绩高达 516 亿 元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统.从该 评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为 0.6，对 服务的满意率为 0.75，其中对商品和服务都满意的交易为 80 次. (Ⅰ)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表，并回答能否有 99%的把握认为“网购者对商品 满意与对服务满意之间有关系”？ 对服务满意 对服务不满意 合计 对商品满意 80 对商品不满意 合计 200 (Ⅱ)若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务都满 意的次数为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望 EX. 附：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      (其中 n=a+b+c+d 为样本容量) P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 解析：(Ⅰ)利用数据直接填写联列表即可，求出 X2，即可回答是否有 95%的把握认为性别和 对手机的“认可”有关； (Ⅱ)由题意可得 X 的可能值，分别可求其概率，可得分布列，进而可得数学期望. 答案：(Ⅰ)2×2 列联表： 对服务满意 对服务不满意 合计 对商品满意 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200 2 2 200 80 10 40 70 11.111150 50 120 ( 8 ) 0K        ＝ ， 因为 11.111＞6.635， 所以能有 99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”. (Ⅱ)每次购物时，对商品和服务都满意的概率为 2 5 ，且 X 的取值可以是 0，1，2，3.   33 270 5 125PX   ＝ ＝ ＝ ；   2 1 3 2 3 541 5 5 125P X C            ＝ ＝ ＝ ；   21 2 3 2 3 362 5 5 125P X C            ＝ ＝ ＝ ；   30 3 3 2 3 83 5 5 125P X C            ＝ ＝ ＝ . X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 所以 27 54 36 8 60 1 2 3125 125 125 125 5EX       ＝ ＝ . 19.如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点 E 是 BC 边的中点，将△ ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD⊥平面 BCD，连接 AE，AC，DE，得到如图 2 所示的几何体. (Ⅰ)求证：AB⊥平面 ADC； (Ⅱ)若 AD=1，二面角 C-AB-D 的平面角的正切值为 6 ，求二面角 B-AD-E 的余弦值. 解析：(Ⅰ)证明 DC⊥AB.AD⊥AB 即可得 AB⊥平面 ADC. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 AB⊥平面 ADC，即二面角 C-AB-D 的平面角为∠CAD 二面角 C-AB-D 的平面角的 正切值为 ，解得 AB，如图所示，建立空间直角坐标系 D-xyz，求出平面 BAD 的法向量 n ＝(0，1，0)，平面 ADE 的法向量，即可得二面角 B-AD-E 的余弦值 答案：(Ⅰ)因为平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD=BD， 又 BD⊥DC，所以 DC⊥平面 ABD. 因为 AB 平面 ABD，所以 DC⊥AB. 又因为折叠前后均有 AD⊥AB，DC∩AD=D， 所以 AB⊥平面 ADC. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 AB⊥平面 ADC，所以二面角 C-AB-D 的平面角为∠CAD. 又 DC⊥平面 ABD，AD平面 ABD，所以 DC⊥AD. 依题意 tan 6CDCAD AD ＝ ＝ . 因为 AD=1，所以 6CD＝ . 设 AB=x(x＞0)，则 2 1BD x ＝ . 依题意△ABD～△BDC，所以 AB CD AD BD ＝ ，即 2 6 1 1 x x  ＝ . 解得 x＝ 2 ，故 AB＝ 2 ，BD＝ 3 ， 223BC BD CD＝ ＝ . 如图所示，建立空间直角坐标系 D-xyz，则 D(0，0，0)，B( ，0，0)，C(0， ，0)， 36022E   ， ， ， 36033A  ，， ， 所以 36022DE   ＝ ， ， ， 36033DA   ＝ ，， . 由(Ⅰ)知平面 BAD 的法向量 n ＝(0，1，0). 设平面 ADE 的法向量 m ＝(x，y，z) 由 0m DE ＝ ， 0m DA ＝ 得 36022 36033 xy xz     ＝ ＝ . 令 x＝ 6 ，得 y＝- 3 ，z＝- 3 ， 所以  6 3 3m ＝ ， ， . 所以 1cos 2n m n m n m  ＜ ，＞＝ ＝ . 由图可知二面角 B-AD-E 的平面角为锐角， 所以二面角 B-AD-E 的余弦值为 1 2 . 20.过点 P(a，-2)作抛物线 C：x2=4y 的两条切线，切点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2). (Ⅰ)证明：x1x2+y1y2 为定值； (Ⅱ)记△PAB 的外接圆的圆心为点 M，点 F 是抛物线 C 的焦点，对任意实数 a，试判断以 PM 为直径的圆是否恒过点 F？并说明理由. 解析：(Ⅰ)求导，求得直线 PA 的方程，将 P 代入直线方程，求得 2 112 8 0x ax＝ ，同理可 知 2 2 2 2 8 0x ax＝ .则 x1，x2 是方程 x2-2ax-8=0 的两个根，则由韦达定理求得 x1x2，y1y2 的 值，即可求证 x1x2+y1y2 为定值；设切线方程，代入抛物线方程，由△=0，则 k1k2=-2，分别求 得切线方程，代入即可求证 x1x2+y1y2 为定值； (Ⅱ)直线 PA 的垂直平分线方程为 11 1 2 2 22 y x ayxx      ＝ ，同理求得直线 PB 的垂直 平分线方程，求得 M 坐标，抛物线 C 的焦点为 F(0，1)，则 2233022 aaMF PF＝ ＝ ， 则 MF PF .则以 PM 为直径的圆恒过点 F. 答案：(Ⅰ)证明：法 1：由 x2=4y，得 21 4yx＝ ，所以 1 2yx＝ .所以直线 PA 的斜率为 1 1 2 x . 因为点 A(x1，y1)和 B(x2，y2)在抛物线 C 上，所以 2 11 1 4yx＝ ， 2 22 1 4yx＝ . 所以直线 PA 的方程为  2 1 1 1 11 42y x x xx- . 因为点 P(a，-2)在直线 PA 上， 所以  2 1 1 1 112 42 xaxx  ＝ ，即 2 112 8 0x ax＝ . 同理， 22 2 2 8 0x ax＝ . 所以 x1，x2 是方程 x2-2ax-8=0 的两个根. 所以 x1x2=-8. 又  222 1 2 1 2 1 2 1 1 1 44 4 16y y x x x x＝ ＝ ＝ ， 所以 x1x2+y1y2=-4 为定值. 法 2：设过点 P(a，-2)且与抛物线 C 相切的切线方程为 y+2=k(x-a)，   2 2 4 y k x a xy   ＝ ＝ ，消去 y 得 x2-4kx+4ka+8=0， 由△=16k2-4(4ak+8)=0，化简得 k2-ak-2=0. 所以 k1k2=-2. 由 x2=4y，得 21 4yx= ，所以 . 所以直线 PA 的斜率为 11 1 2kx ，直线 PB 的斜率为 22 1 2kx . 所以 12 1 24 xx ＝ ，即 x1x2=-8. 又  222 1 2 1 2 1 2 1 1 1 44 4 16y y x x x x＝ ＝ ＝ ， 所以 x1x2+y1y2=-4 为定值. (Ⅱ)法 1：直线 PA 的垂直平分线方程为 11 1 2 2 22 y x ayxx      ＝ ， 由于 2 11 1 4yx＝ ， 2 1182x ax ＝ ， 所以直线 PA 的垂直平分线方程为 11 1 2 42 ax x ayxx     ＝ .① 同理直线 PB 的垂直平分线方程为 22 2 2 42 ax x ayxx     ＝ .② 由①②解得 3 2xa＝ ， 2 1 2 ay ＝ ， 所以点 23 122 aMa ， . 抛物线 C 的焦点为 F(0，1)，则 23 22 aMF a ＝ ， ， PF ＝(-a，3). 由于 2233022 aaMF PF  ＝ ， 所以 MF PF . 所以以 PM 为直径的圆恒过点 F. 另法：以 PM 为直径的圆的方程为    23 2 1 022 ax a x a y y        ＝ . 把点 F(0，1)代入上方程，知点 F 的坐标是方程的解. 所以以 PM 为直径的圆恒过点 F. 法 2：设点 M 的坐标为(m，n)， 则△PAB 的外接圆方程为(x-m)2+(y-n)2=(m-a)2+(n+2)2， 由于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在该圆上， 则(x1-m)2+(y1-n)2＝(m-a)2+(n+2)2，(x2-m)2+(y2-n)2＝(m-a)2+(n+2)2. 两式相减得(x1-x2)(x1+x2-2m)+(y1-y2)(y1+y2-2n)=0，① 由(Ⅰ)知 x1+x2＝2a，x1x2＝-8， 2 11 1 4yx＝ ， 2 22 1 4yx＝ ，代入上式得(x1-x2)(4a-4m+a3+4a-2an) ＝0， 当 x1≠x2 时，得 8a-4m+a3-2an=0，② 假设以 PM 为直径的圆恒过点 F，则 ，即(-m，n-1)·(-a，-3)=0， 得 ma-3(n-1)=0，③ 由②③解得 m＝ 3 2 a，n＝ 211 2 a ， 所以点 . 当 x1=x2 时，则 a=0，点 M(0，1). 所以以 PM 为直径的圆恒过点 F. 21.已知函数   af x lnx x(a＞0). (Ⅰ)若函数 f(x)有零点，求实数 a 的取值范围； (Ⅱ)证明：当 2a e ，b＞1 时，   1f lnb b ＞ . 解析：(Ⅰ)法一：求出函数 f(x)的导数，得到函数的单调区间，求出 f(x)的最小值，从而求出 a 的范围即可； 法二：求出 a=-xlnx，令 g(x)=-xlnx，根据函数的单调性求出 g(x)的最大值，从而求出 a 的范围 即可； (Ⅱ)令 h(x)=xlnx+a，通过讨论 a 的范围，根据函数的单调性证明即可. 答案：(Ⅰ)法 1：函数   af x lnx x的定义域为(0，+∞). 由 ，得   22 1 a x afx x x x ＝ ＝ . 因为 a＞0，则 x∈(0，a)时，f'(x)＜0；x∈(a，+∞)时，f'(x)＞0. 所以函数 f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增. 当 x=a 时，[f(x)]min=lna+1. 当 lna+1≤0，即 10 a e＜ 时，又 f(1)=ln1+a=a＞0，则函数 f(x)有零点. 所以实数 a 的取值范围为(0， 1 e ]. 法 2：函数 的定义域为(0，+∞). 由 ＝0，得 a=-xlnx. 令 g(x)=-xlnx，则 g'(x)=-(lnx+1). 当 x∈(0， )时，g'(x)＞0； 当 x∈( ，+∞)时，g'(x)＜0. 所以函数 g(x)在(0， )上单调递增，在( ，+∞)上单调递减. 故 x＝ 时，函数 g(x)取得最大值 1 1 1 1g lne e e e  ＝ ＝ . 因而函数 有零点，则 0＜a≤ . 所以实数 a 的取值范围为(0， ]. (Ⅱ)证明：令 h(x)=xlnx+a，则 h'(x)=lnx+1. 当 0＜x＜ 时，h'(x)＜0；当 x＞ 时，h'(x)＞0. 所以函数 h(x)在(0， )上单调递减，在( ，+∞)上单调递增. 当 x＝ 时，[h(x)]min＝- +a. 于是，当 a≥ 2 e 时，   11h x aee    .① 令φ(x)=xe-x，则φ'(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x). 当 0＜x＜1 时，f'(x)＞0；当 x＞1 时，f'(x)＜0. 所以函数φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减. 当 x=1 时，[φ(x)]max＝ 1 e . 于是，当 x＞0 时，φ(x)≤ .② 显然，不等式①、②中的等号不能同时成立. 故当 x＞0，a≥ 2 e 时，xlnx+a＞xe-x. 因为 b＞1，所以 lnb＞0. 所以 lnb·ln(lnb)+a＞lnb·e-lnb. 所以   1aln lnb lnb b ＞ ，即   1f lnb b ＞ . 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 3 1 xt yt     ＝ ＝ (t 为参数).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C： 22 4cos  . (Ⅰ)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； (Ⅱ)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值. 解析：(Ⅰ) 将直线 l 的参数方程 3 1 xt yt     ＝ ＝ 消去 t 参数，可得直线 l 的普通方程，将ρcosθ =x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入 2 2 cos 4  可得曲线 C 的直角坐标方程. (Ⅱ)法一：设曲线 C 上的点为  1 2 cos 1 2 sinP ， ，点到直线的距离公式建立关系， 利用三角函数的有界限可得最大值. 法二：设与直线 l 平行的直线为 l'：x+y+b=0，当直线 l'与圆 C 相切时，得 11 2 2 b ＝ ，点到直线的距离公式可得最大值. 答案：(Ⅰ) 由直线 l 的参数方程 消去 t 参数，得 x+y-4=0， ∴直线 l 的普通方程为 x+y-4=0. 由 2 2 cos & 2 2 cos cos sin sin 2cos 2sin4 4 4                      ＝ . 得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ. 将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y 代入上式， 得：曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2x+2y，即(x-1)2+(y-1)2=2. (Ⅱ) 法 1：设曲线 C 上的点为  1 2 cos 1 2 sinP ， ， 则点 P 到直线 l 的距离为 2sin 21 2 cos 1 2 sin 4 2 sin cos 2 4 2 2 2 ()() d           ＝ 当sin 14  ＝ ， 22maxd ＝ ∴曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 22； 法 2：设与直线 l 平行的直线为 l'：x+y+b=0. 当直线 l'与圆 C 相切时，得 11 2 2 b ＝ ，解得 b=0 或 b=-4(舍去). ∴直线 l'的方程为 x+y=0. 那么：直线 l 与直线 l'的距离为 04 22 2 d ＝ ＝ 故得曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 22. 选修 4-5：不等式选讲 23.已知函数 f(x)=|x+a-1|+|x-2a|. (Ⅰ)若 f(1)＜3，求实数 a 的取值范围； (Ⅱ)若 a≥1，x∈R，求证：f(x)≥2. 解析：(Ⅰ)通过讨论 a 的范围得到关于 a 的不等式，解出取并集即可；(Ⅱ)基本基本不等式 的性质证明即可. 答案：(Ⅰ)因为 f(1)＜3，所以|a|+|1-2a|＜3. ①当 a≤0 时，得-a+(1-2a)＜3， 解得 2 3a ＞ ，所以 2 3 ＜a≤0； ②当 0＜a＜ 1 2 时，得 a+(1-2a)＜3， 解得 a＞-2，所以 0＜a＜ 1 2 ； ③当 a≥ 1 2 时，得 a-(1-2a)＜3， 解得 4 3a＜ ，所以 14 23a ＜ ； 综上所述，实数 a 的取值范围是 24 33     ， . (Ⅱ)因为 a≥1，x∈R， 所以 f(x)=|x+a-1|+|x-2a|≥|(x+a-1)-(x-2a)|=|3a-1|=3a-1≥2.