2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期12月月考数学文试题

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文档介绍

2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期12月月考数学文试题

‎2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期12月月考 数学(文科)‎ 命题人:彭源 审题人:吕建设 考生注意:本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共22个小题,考试时间120分钟,‎ 试卷满分100分.‎ 一. 选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,把各题答案的代号填写涂在答题卷上.‎ ‎1. 准线方程为x=1的抛物线的标准方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. “x>5”是“x2-4x-5>0”是( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ ‎3. 设命题p:函数y=sin2x的最小正周期为;命题q:函数y=cosx的图象关于直线x=对称.则下列判断正确的是(  )‎ A.p为真 B.q为假 C.p∧q为假 D.p∨q为真 ‎4. 某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是(  )‎ A.这种抽样方法是一种分层抽样 B.这种抽样方法是一种系统抽样 C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 ‎5. 下列结论正确的是( )‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 ‎6. 若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 曲线在处的切线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 若椭圆与双曲线有相同的焦点,点P是椭圆与双曲线的一 个交点,则的面积是( )‎ A.4 B.‎2 ‎ C.1 D.‎ ‎9. 等轴双曲线C的中心在原点,焦点在轴上,C与抛物线的准线交于A,B两点,,则双曲线C的实轴长为( )‎ A. B. C.4 D.8‎ ‎10. 若函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 已知函数,若存在唯一的零点,且,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12. 设A、B是椭圆C:长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,‎ 则m的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题3分,共12分,把答案填写在答题卷相应的横线上.‎ ‎13. 在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出 的分数的茎叶统计图如图,去掉一个最高分和一个最低分后,‎ 所剩数据的方差为 . ‎ ‎14. 直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为 .‎ ‎15.做一个无盖的圆柱水桶,若要使水桶的体积为,且用料最省,则水桶的底面半径为 .‎ ‎16. 设函数在区间的导函数为,在区间的导函数为,若在区间上恒成立,则称函数在区间上为“凸函数”,已知,若函数在区间上为“凸函数”,则 实数的取值范围是 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共52分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分8分) ‎ 为了了解学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),图中从左到右各小长方形面积之比2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组频数为12.‎ ‎(1)学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内?‎ ‎(2)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?‎ ‎(3)若次数在110以上(含110次)为良好,试估计该学校全体学生的良好率是多少?‎ ‎18.(本小题满分8分)‎ 已知函数在和处都取得极值.‎ ‎(1)求,的值;‎ ‎(2)求在区间上的最大值与最小值.‎ ‎19. (本小题满分8分)‎ 已知双曲线E:的两个焦点为.‎ ‎(1)若点M在双曲线E上,且,求点M到x轴的距离;‎ ‎(2)设椭圆C与双曲线E有相同焦点,且过点,求椭圆C的方程.‎ ‎20. (本小题满分9分) ‎ 设A,B为曲线C:上两点,A与B的横坐标之和为4.‎ ‎(1)求直线AB的斜率;‎ ‎(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且,求直线AB的方程.‎ ‎21. (本小题满分9分) ‎ 已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上, 椭圆上、下顶点与焦点所组成的四边形为正方形, 四个顶点围成的图形面积为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)直线过点且与椭圆相交于、两点, 当面积取得最大值时, 求直线的方程.‎ ‎22. (本小题满分10分) ‎ 已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)当a﹤0时,证明.‎ ‎2017年衡阳市八中高二12月份月考试题参考答案 数学(文科)‎ 命题人:彭源 审题人:吕建设 考生注意:本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共22个小题,考试时间120分钟,‎ 试卷满分100分.‎ 一. 选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,把各题答案的代号填涂在答题卷中相应的方格内.‎ ‎1. 准线方程为x=1的抛物线的标准方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. “x>5”是“x2-4x-5>0”是( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ ‎3. 设命题p:函数y=sin2x的最小正周期为;命题q:函数y=cosx的图象关于直线x=对称.则下列判断正确的是(  )‎ A.p为真 B.q为假 C.p∧q为假 D.p∨q为真 ‎4. 某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是(  )‎ A.这种抽样方法是一种分层抽样 B.这种抽样方法是一种系统抽样 C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 ‎5. 下列结论正确的是( )‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 ‎6. 若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 曲线在处的切线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 若椭圆与双曲线有相同的焦点,点P是椭圆与双曲线的一 个交点,则的面积是( )‎ A.4 B.‎2 ‎ C.1 D.‎ ‎9. 等轴双曲线C的中心在原点,焦点在轴上,C与抛物线的准线交于A,B两点,,则双曲线C的实轴长为( )‎ A. B. C.4 D.8‎ ‎10. 若函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 已知函数,若存在唯一的零点,且,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12. 设A、B是椭圆C:长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,‎ 则m的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A C C D B B C C D B A 二、填空题:本大题共4小题,每小题3分,共12分,把答案填写在答题卷相应的横线上.‎ ‎13. 在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出 的分数的茎叶统计图如图,去掉一个最高分和一个最低分后,‎ 所剩数据的方差为 . ‎ ‎14. 直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为 .‎ ‎15.做一个无盖的圆柱水桶,若要使水桶的体积为,且用料最省,则水桶的底面半径 为 3 .‎ ‎16. 设函数在区间的导函数为,在区间的导函数为,若在区间上恒成立,则称函数在区间上为“凸函数”,已知,若函数在区间上为“凸函数”,则实数的取值范围是 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共52分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分8分) ‎ 为了了解学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),图中从左到右各小长方形面积之比2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组频数为12.‎ ‎(1)学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内?‎ ‎(2)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?‎ ‎(3)若次数在110以上(含110次)为良好,试估计该学校全体学生的良好率是多少?‎ 解 (1)∵前三组的频率和为=<,‎ 前四组的频率之和为=>,‎ ‎∴中位数落在第四小组内.‎ ‎(2)频率为:=0.08,‎ 又∵频率=,∴样本容量===150.‎ ‎(3)由图可估计所求良好率约为:×100%=88%.‎ ‎18.(本小题满分8分)‎ 已知函数在和处都取得极值.‎ ‎(1)求,的值;‎ ‎(2)求在区间上的最大值与最小值.‎ 解:(1)‎ ‎(2)‎ ‎19. (本小题满分8分)‎ 已知双曲线E:的两个焦点为.‎ ‎(1)若点M在双曲线E上,且,求点M到x轴的距离;‎ ‎(2)设椭圆C与双曲线E有相同焦点,且过点,求椭圆C的方程.‎ 解:(1)‎ ‎(2)‎ ‎20. (本小题满分9分) ‎ 设A,B为曲线C:上两点,A与B的横坐标之和为4.‎ ‎(1)求直线AB的斜率;‎ ‎(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且,求直线AB的方程.‎ 解:(1)【解法1】设 ,AB 直线的斜率为k,又因为A,B都在曲线C上,所以  ‚ ‚-得由已知条件 所以,即直线AB的斜率k=1.‎ ‎【解法2】设 ,AB 直线的方程为y=kx+b,所以 整理得:且所以k=1‎ ‎ (2):设 所以 又 所以 所以M(2,1),,,且,‎ 即‚,设AB 直线的方程为,‎ 化简得,所以 由‚得所以b=7或者b=-1(舍去) 所以AB 直线的方程为y=x+7‎ ‎21. (本小题满分9分) ‎ 已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上, 椭圆上、下顶点与焦点所组成的四边形为正方形, 四个顶点围成的图形面积为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)直线过点且与椭圆相交于、两点, 当面积取得最大值时, 求直线的方程.‎ 解::(1)依题意有,且,结合,,‎ 解得,所以椭圆方程为;‎ ‎(2)直线的方程为,‎ 联立直线的方程和椭圆的方程,得,‎ 利用弦长公式计算,‎ 利用点到直线距离公式计算,‎ 所以,‎ 利用换元法可求得当时,面积取得最大值为,‎ 所求直线方程为.‎ ‎22. (本小题满分10分) ‎ 已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)当a﹤0时,证明.‎ 解:(1)f(x)的定义域为(0,+),.‎ 若a≥0,则当x∈(0,+)时,,故f(x)在(0,+)单调递增.‎ 若a<0,则当x∈时,;当x∈时,.故f(x)在单调递增,在单调递减.‎ ‎(2)由(1)知,当a<0时,f(x)在取得最大值,最大值为 ‎.‎ 所以等价于,即 设g(x)=lnx-x+1,则 当x∈(0,1)时,;当x∈(1,+)时,.所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+)单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.所以当x>0时,g(x)≤0,.从而当a<0时,,即.‎ ‎2017年衡阳市八中高二12月份月考加试试题参考答案 数学(文科)‎ 命题人:彭源 审题人:吕建设 考生注意:本试卷共2个解答题, 每题10分,共20分.‎ ‎23. (本小题满分10分) ‎ ‎(1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为=n2+n,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:‎ 三角形数 N(n,3)=n2+n,‎ 正方形数 N(n,4)=n2,‎ 五边形数 N(n,5)=n2-n,‎ 六边形数 N(n,6)=2n2-n ‎……‎ 可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=____________.‎ 解:三角形数 N(n,3)=n2+n=,‎ 正方形数 N(n,4)=n2=,‎ 五边形数 N(n,5)=n2-n=,‎ 六边形数 N(n,6)=2n2-n=,‎ k边形数 N(n,k)=,‎ 所以N(10,24)===1 000.‎ ‎(2)若P0(x0,y0)在椭圆+=1(a>b>0)外,过P0作椭圆的两条切线的切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在的直线方程是+=1,那么对于双曲线则有如下命题:若P0(x0,y0)在双曲线-=1(a>0,b>0)外,过P0作双曲线的两条切线,切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程是________.‎ 解: 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P1,P2的切线方程分别是-=1,-=1.‎ 因为P0(x0,y0)在这两条切线上,故有-=1,-=1,‎ 这说明P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线-=1上,‎ 故切点弦P1P2所在的直线方程是-=1.‎ ‎24. (本小题满分10分) ‎ 微信是现代生活进行信息交流的重要工具,据统计,某公司200名员工中90%的人使用微信,其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人,其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上,若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段,那么使用微信的人中75%是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信,那么经常使用微信的员工中是青年人.‎ ‎(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系,列出2×2列联表;‎ 青年人 中年人 总计 经常使用微信 不经常使用微信 总计 ‎(2)由列联表中所得数据判断,是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”?‎ 附:K2= P(K2≥k0)‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 解:(1)由已知可得,该公司员工中使用微信的有200×90%=180(人).‎ 经常使用微信的有180-60=120(人),‎ 其中青年人有120×=80(人),‎ 使用微信的人中青年人有180×75%=135(人),‎ 所以2×2列联表:‎ 青年人 中年人 总计 经常使用微信 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 不经常使用微信 ‎55‎ ‎5‎ ‎60‎ 总计 ‎135‎ ‎45‎ ‎180‎ ‎(2)将列联表中数据代入公式可得:‎ K2=≈13.333,‎ 由于13.333>10.828,所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”.‎
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