2021届老杨培优高考复读班月考试卷（原卷版）

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老杨培优 10.4 月考 数学 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．设集合 M =  xx = 4n + 1,n ∈ Z ,N =  xx = 2n + 1,n ∈ Z ，则 ( ) A． M ⊊ N B． N ⊊ M C． M ∈ N D． N ∈ M 2．函数 y = lnx 的图象在点 x = e (e 为自然对数的底数)处的切线方程为 ( ) A． x + ey - 1 + e = 0 B． x - ey + 1 - e = 0 C． x + ey = 0 D． x - ey = 0 3．已知 x ∈ R，当复数 z =   2x +  x - 3 i 的模长最小时，z 的虚部为 ( ) A．   2 B． 2 C． -2 D． -2i 4．已知 m,n 为两条不同的直线，α,β,γ 为三个不同的平面，则下列命题正确的是 ( ) A．若 m//α,n//α，则 m//n B．若 α ⊥ β,γ ⊥ β 且 α ∩ γ = m，则 m ⊥ β C．若 m ⊂ α,n ⊂ α,m//β,n//β，则 α//β D．若 m ⊥ α,n//β,α ⊥ β，则 m ⊥ n 5．已知随机变量 ξ 服从正态分布 N 0,1 ，如果 P ξ ≤ 1 = 0.8413，则 P -1 < ξ ≤ 0 = ( ) A．0.3413 B．0.6826 C．0.1587 D．0.0794 6．分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中．把部分与整体以某种方式相似的形体称 为分形．分形是一种具有自相似特性的现象．图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭 代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一 些而已．谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在 1915 年提出的，其构造方 法如下：取一个实心的等边三角形(如图 1)，沿三边的中点连线，将它分成四个小三角形，挖去中间的那 一个小三角形(如图 2)，对其余三个小三角形重复上述过程(如图 3)．若图 1(阴影部分)的面积为 1， 则图 4(阴影部分)的面积为 ( ) A． 9 16 B． 4 19 C． 27 64 D． 8 27 7．已知抛物线 C : y2 = 4x 与圆 E :  x - 1 2 + y2 = 9 相交于 A,B 两点，点 M 为劣弧  AB 上不同 A,B 的 一个动点，平行于 x 轴的直线 MN 交抛物线于点 N，则 △MNE 的周长的取值范围为 ( ) A． (3，5) B． (5，7) C． (6，8) D． (6，8] 8．已知 O 是三角形 ABC 内部一点，满足  OA + 2  OB + m  OC = 0,S△AOB S△ABC = 4 7 ，则实数 m = ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 自由-探索-独立-思考·1· 选对的得 5 分．部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9． 2020 年 3 月 12 日，国务院新闻办公室发布会重点介绍了改革开放 40 年，特别是党的十八大以来我国 脱贫攻坚、精准扶贫取得的显著成绩，这些成绩为全面脱贫初步建成小康社会奠定了坚实的基础．如图是 统计局公布的 2010 年~2019 年年底的贫困人口和贫困发生率统计表．则下面结论正确的是 ( ) 【年底贫困人口的线性回归方程为 y = -1609.9x + 15768( 其中 x = 年份 -2009)，贫困发生率的线性回归方 程为 y = -1.6729x + 16.348( 其中 x = 年份 -2009)】 A．2010 年~2019 年十年间脱贫人口逐年减少，贫困发生率逐年下降 B．2012 年~2019 年连续八年每年减贫超过 1000 万，且 2019 年贫困发生率最低 C．2010 年~2019 年十年间超过 1.65 亿人脱贫，其中 2015 年贫困发生率低于 6% D．根据图中趋势线可以预测，到 2020 年底我国将实现全面脱贫 10．已知曲线 C1 : y = 3sinx,C2 : y = 3sin 2x + π 4 ，则下面结论正确的是 ( ) A．把 C1 上各点的横坐标变为原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 8 个单位长度，得到 曲线 C2 B．把 C1 上各点的横坐标变为原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 4 个单位长度，得到 曲线 C2 C．把 C1 向左平移 π 4 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的 1 2 倍．纵坐标不变，得到 曲线 C2 D．把 C1 向左平移 π 8 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的 1 2 倍，纵坐标不变，得到 曲线 C2 11．已知曲线 C : x2 + y2 = 2 x + 2 y ，则曲线 C ( ) A．关于 x 轴对称 B．关于 y 轴对称 C．关于原点对称 D．所围成图形的面积为 8 + 4π 12．已知函数 f x = ex + e-x +  x ．则下面结论正确的是 ( ) A． f x 是奇函数 B． f x 在  0, + ∞ 上为增函数 C．若 x ≠ 0，则 f x + 1 x > e2 + 2 D．若 f x - 1 < f -1 ，则 0 < x < 2 自由-探索-独立-思考 ·2· 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．  x2 + 2  x - 1 x 10 的展开式中，x6 的系数为 ． 14．已知 α,β,γ ∈  0,π 2 ,sinα + sinγ = sinβ,cosβ + cosγ = cosα，则 cos α - β = ，α - β = ． 15．已知 P,A,B,C 是球 O 的球面上的四个点，PA ⊥ 平面 ABC，PA = 2BC = 6,AB ⊥ AC，则球 O 的表面积为 ． 16．已知函数 f x = x2 - 2x + 1 x - 2 ,h x = ax - 4 a > 1 ．若 ∀ x1 ∈  3, + ∞ , ∃ x2 ∈  3, + ∞ ，使得 f x1 = h x2 ，则实数 a 的最大值为 ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，半圆 O 的直径 AB = 2，点 C 在 AB 的延长线上，BC = 1， 点 P 为半圆上异于 A,B 两点的一个动点，以点 P 为直角顶点作等腰 直角 △PCD，且点 D 与圆心 O 分布在 PC 的两侧，设 ∠PAC = θ． (1)把线段 PC 的长表示为 θ 的函数； (2)求四边形 ACDP 面积的最大值． 18．在下面的数表中，各行中的致从左到右依次成公差为正数的等差数列，各列中的数从上到下依次成公比 为正数的等比数列，且公比都相等，a n,m 表示第 n 行，第 m 列的数．已知 a 1,1 = 1,a 2.2 = 4,a 3,3 = 12． 第一列 第二列 第三列 第四列 … 第一行 a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 … 第二行 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 … 第三行 a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 … 第四行 a 4,1 a 4,2 a 4,3 a 4,4 … … … … … … (1)求数列    a n,2 的通项公式； (2)设 bn = log2a n,2 ,cn = a n,2 + 1 bnbn + 1 ，求数列  cn 的前 n 项和 Sn． 自由-探索-独立-思考·3· 19．在如图所示的圆柱 O1O2 中，AB 为圆 O1 的直径，C,D 是  AB 的两个三等分点， EA,FC,GB 都是圆柱 O1O2 的母线． (1)求证：FO1// 平面 ADE； (2)设 BC = 1，已知直线 AF 与平面 ACB 所成的角为 30°，求二面角 A - FB - C 的余弦 值． 21．近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车(含电动汽车)销量已跃居全球首位．某电动汽车厂 新开发了一款电动汽车．并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电量 y 与行驶时间 x (单位： 小时)的测试数据如表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 2.77 2 1.92 1.36 1.12 1.09 0.74 0.68 0.53 0.45 根据电池放电的特点，剩余电量 y 与行驶时间 x 之间满足经验关系式：y = aebx，通过散点图可以发现 y 与 x 之间具有相关性，设 ω = lny． (1)利用表格中的前 8 组数据求相关系数 r，并判断是否有 99%的把握认为 x 与 ω 之间具有线性相关关系；(当 相关系数 r 满足  r > 0.789 时，则认为有 99% 的把握认为两个变量具有线性相关关系) (2)利用 x 与 ω 的相关性及表格中前 8 组数据求出 y 与 x 之间的回归方程；(结果保留两位小数) (3)如果剩余电量不足 0.8，电池就需要充电．从表格中的 10 组数据中随机选出 8 组，设 X 表示需要充电的数 据组数，求 X 的分布列及数学期望． 附： 相关数据：  42 ≈ 6.48,  6 ≈ 2.45,  1.70 ≈ 1.30,e1.17 ≈ 3.22． 表格中前 8 组数据的一些相关量： 8 i = 1 xi = 36, 8 i = 1 yi = 11.68, 8 i = 1 ωi = 2.18, 8 i = 1  xi - x 2 = 42，  8 i = 1  yi - y 2 = 3.61, 8 i = 1  ωi - ω 2 = 1.70, 8 i = 1  xi - x  yi - y = -11.83, 8 i = 1  xi - x  ωi - ω = -8.35. 相关公式：对于样本  υi,μi  i = 1,2,...,n ，其回归直线 μ = bυ + a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别 为：b =   n i = 1  υi - υ  μi - μ  n i = 1  υi - υ 2 ,a = μ - b υ，相关系数 r =   n i = 1  υi - υ  μi - μ   n i = 1  υi - υ 2   n i = 1  μi - μ 2 . 自由-探索-独立-思考 ·4· 21．在平面直角坐标系 xOy 中， ①已知点 Q   3,0 ，直线 l : x = 2  3 ，动点 P 满足到点 Q 的距离与到直线 l 的距离之比为   2 2 ． ②已知点 H -  3,0 ，G 是圆 E : x2 + y2 - 2  3x - 21 = 0 上的动点，线段 HG 的中垂线交 GE 于 P． ③点 S,T 分别在 x 轴，y 轴上运动，且 ST = 3，动点 P 满足  OP =   6 3  OS +   3 3  OT． (1)在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)设圆 O : x2 + y2 = 2 上任意一点 A 处的切线交轨迹 C 于 M,N 两点，试判断以 MN 为直径的圆是否过 定点？若过定点，求出该定点坐标．若不过定点，请说明理由． 22．已知函数 f x = ex x + a ，其中 e 是自然对数的底数，a ∈ R． (1)求函数 f x 的单调区间； (2)设 g x = f x - a - x2，讨论函数 g x 零点的个数，并说明理由． 自由-探索-独立-思考·5·