安徽省皖西南联盟2020届高三上学期期末考试数学（理）试题 Word版含解析

安徽省皖西南联盟2020届高三上学期期末考试数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2019~2020年上学期高三期末考试 数学试题（理科）‎ 一、选择题 ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别将集合和集合求出来，再求，最后求即可.‎ ‎【详解】，，，‎ 故.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数定义域的求法，考查集合的运算，属于基础题.‎ ‎2.若，则z在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 因为，故，然后根据复数的几何意义判断即可.‎ ‎【详解】因为，所以z在复平面内对应的点位于第三象限.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查复数的代数运算，考查复数的几何意义，属于基础题.‎ ‎3.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 22 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别根据指对幂函数的单调性分析函数值的范围即可.‎ ‎【详解】,即.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了指对幂函数的大小比较,属于基础题.‎ ‎4.某公司的老年人、中年人、青年人的比例为，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中青年人数为100，则（ ）‎ A. 400 B. 200 C. 150 D. 300‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用分层抽样的定义计算即可.‎ ‎【详解】用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本进行调查，‎ 其中青年人数为，则，‎ 解得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样的应用，属于基础题.‎ ‎5.函数在的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.‎ ‎【详解】是奇函数，排除C，D；，排除A.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的判断，属于常考题.‎ ‎6.在等比数列中，，，则（ ）‎ A. B. C. D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，解之即得的值.‎ ‎【详解】由题得，解之得.‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查等比数列通项的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎7.设满足约束条件则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. 0 C. -1 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出不等式组对应的可行域，再利用线性规划求的最小值.‎ ‎【详解】作出不等式组对应的可行域，如图所示，‎ - 22 -‎ 联立得.‎ 由得，它表示斜率为-1，纵截距为z的直线系，‎ 当直线经过点B时，直线的纵截距最小，z最小.‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎8.鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一.《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（ ）‎ - 22 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知为鸡的数量，为兔的数量，为足的数量，根据题意可得出判断条件.‎ ‎【详解】由题意可知为鸡的数量，为兔的数量，为足的数量，根据题意知，在程序框图中，当计算足的数量为时，算法结束，因此，判断条件应填入“”.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查算法程序框图中判断条件的填写，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ - 22 -‎ ‎9.已知函数的图象的相邻对称轴间的距离为，把的图象向左平移个单位长度，得到的图象，关于函数，下列说法正确的是（ ）‎ A. 函数是奇函数 B. 其图象关于直线对称 C. 在上的值域为 D. 在上是增函数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角恒等变换化简，由题意求得，利用函数图象平移求得，再由型函数的性质逐一核对四个选项得出正确答案.‎ ‎【详解】，‎ 因为的图象的相邻对称轴间的距离为，‎ 故的最小正周期为，‎ 所以，‎ 于是，‎ 所以，‎ 故为偶函数，并在上为减函数，所以A，D错误；‎ ‎，所以B错误；‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以C正确.‎ - 22 -‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换，考查三角函数图象平移变换，考查型函数的性质，考查计算能力，属于常考题.‎ ‎10.鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.‎ ‎【详解】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为 ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.‎ ‎11.已知分别是双曲线的左、右焦点，直线l过，且l与一条渐近线平行，若到l的距离大于a，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）‎ - 22 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线l：，由到l的距离大于a，得出的范围，再由计算即可.‎ ‎【详解】设过与渐近线平行的直线l为，‎ 由题知到直线l的距离，‎ 即，可得，‎ 所以离心率.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查计算双曲线离心率的范围，熟知公式可使计算变得简便，属于常考题.‎ ‎12.若存在，使得函数与的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设曲线与的在公共点处的切线相同，先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用两直线重合列出等式即可求得的值，然后利用导数来研究的最大值，研究此函数的最值问题，先求出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值与最小值即得．‎ - 22 -‎ ‎【详解】设曲线与的公共点为，‎ 因为，‎ 所以，则，‎ 解得或3a，‎ 又，且，则.‎ 因为，‎ 所以，.‎ 设，所以，‎ 令，得.‎ 所以当时，；‎ 当时，.‎ 所以b的最大值为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查导数的几何意义，考查逻辑思维能力，属于常考题.‎ 二、填空题 ‎13.的展开式中项的系数为_________.（用数字作答）‎ ‎【答案】-56.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据展开式的通项求解即可.‎ ‎【详解】的展开式的通项,‎ - 22 -‎ 令.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了二项展开式求指定项的系数问题,属于基础题.‎ ‎14.已知向量的夹角为，且，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量模的运算化简已知条件，由此求得.‎ ‎【详解】依题意已知向量的夹角为，且，，‎ 所以，‎ 即，‎ 即，‎ ‎，‎ 解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.‎ ‎15.抛物线的焦点为是抛物线上的点，为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则_______.‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的性质与抛物线的定义列式求解即可.‎ ‎【详解】∵的外接圆与抛物线的准线相切,‎ ‎∴的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.‎ ‎∵圆的面积为,∴圆的半径为3,‎ - 22 -‎ 又∵圆心在垂直平分线上,,∴.‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的定义的运用,属于基础题.‎ ‎16.已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心．若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图，设该三棱锥的外接球圆心为,半径为r,设圆柱外接球的半径为R,先求出，OA=，再在直角三角形利用勾股定理得解.‎ ‎【详解】‎ 如图，设该三棱锥的外接球圆心为,半径为r,设圆柱外接球的半径为R,‎ 由题得,‎ 所以.‎ - 22 -‎ 所以OA=.‎ 由题得，‎ 在直角三角形中，,‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，考查几何体的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 三、解答题 ‎17.的内角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，点为边的中点，且，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.‎ ‎(2) 为为的中线,所以再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入可解得,再代入面积公式求解即可.‎ ‎【详解】（1）由,‎ 可得,‎ 由余弦定理可得,‎ 故.‎ ‎（2）因为为的中线,所以,‎ 两边同时平方可得,‎ 故.‎ - 22 -‎ 因为,所以.‎ 所以的面积.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题,同时也考查了向量在解三角形中的运用,属于中档题.‎ ‎18.已知数列满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，证明：．‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），①当时，，②两式相减即得数列的通项公式；（2）先求出，再利用裂项相消法求和证明.‎ ‎【详解】（1）解：，①‎ 当时，．‎ 当时，，②‎ 由①-②，得，‎ 因为符合上式，所以．‎ ‎（2）证明：‎ - 22 -‎ 因为，所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎19.如图，在三棱锥中，是边长为的正三角形，，，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）点在棱上，且，求二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取AC的中点O，连接PO，OB，先证，再证，所以平面，又平面，所以平面平面.‎ ‎（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，用向量法计算.‎ ‎【详解】（1）取AC的中点O，连接PO，OB，‎ - 22 -‎ 因为是正三角形，‎ 所以，‎ 因为，所以.‎ 在中，，，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 可知，，，，，‎ 所以，，‎ 设平面ABM的法向量为，‎ 所以，‎ - 22 -‎ 令，得.‎ 取平面ABC的一个法向量为，‎ 记二面角的平面角为，，‎ 易知为锐角，所以二面角为.‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查用向量法求二面角，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题.‎ ‎20.某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为五个小组（所调查的芯片得分均在内），得到如图所示的频率分布直方图，其中．‎ ‎（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）．‎ ‎（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）预算经费不够测试完这100颗芯片，理由见解析 ‎【解析】‎ - 22 -‎ 分析】‎ ‎（1）先求出，再利用频率分布直方图的平均数公式求这100颗芯片评测分数的平均数；（2）先求出每颗芯片的测试费用的数学期望，再比较得解.‎ ‎【详解】（1）依题意，，故．‎ 又因为．所以，‎ 所求平均数为 ‎（万分）‎ ‎（2）由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率．‎ 设每颗芯片测试费用为X元，则X的可能取值为600，900，1200，1500，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故每颗芯片的测试费用的数学期望为 ‎（元），‎ 因为，‎ 所以显然预算经费不够测试完这100颗芯片．‎ ‎【点睛】本题主要考查频率分布直方图的平均数的计算，考查离散型随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎21.设椭圆的离心率是，直线被椭圆C截得的弦长为.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知点，斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，当的面积最大时，求直线l的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）直线l的方程为.‎ ‎【解析】‎ - 22 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知可得，椭圆经过点，列出方程组，求得和的值即可；‎ ‎（2）设直线l的方程为，与椭圆联立得：，进而得到，又点M到AB的距离，故，当时，面积最大，求出直线方程即可.‎ ‎【详解】（1）由已知可得，椭圆经过点，‎ 由，解得，‎ 故椭圆C的方程为.‎ ‎（2）设直线l的方程为，A，B的坐标，，‎ 由，‎ 得，‎ 则，‎ 所以.‎ 由，‎ - 22 -‎ 得.‎ 又点M到AB的距离，所以 ‎，‎ 当且仅当，即时取等号，此时直线l的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的极值点的个数；‎ ‎（2）若有两个极值点，证明：.‎ ‎【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点；‎ ‎（2）由（1）可知，当且仅当时，有两个极值点，且为方程的两根，，求出，根据函数的单调性证明即可.‎ ‎【详解】（1）.‎ - 22 -‎ ‎①当时，.‎ 当时，，所以在上单调递增；‎ 当时，，所以在上单调递减.‎ 即函数只有一个极大值点，无极小值点.‎ ‎②当时，，‎ 令，得.‎ 当时，，‎ 所以在上单调递增；‎ 当时，，‎ 所以在上单调递减.‎ 即函数有一个极大值点，有一个极小值点.‎ ‎③当时，，此时恒成立，‎ 即在上单调递增，无极值点.‎ 综上所述，当时，有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点；‎ 当时，有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点；‎ 当时，没有极值点.‎ ‎（2）由（1）可知，当且仅当时，‎ 有两个极值点，且为方程的两根，‎ 即，‎ - 22 -‎ 所以 ‎.‎ 令，‎ 则恒成立，‎ 所以在上单调递增，‎ 所以，‎ 即.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用函数的单调性证明不等式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.‎ ‎ ‎ - 22 -‎ - 22 -‎