2020届二轮复习等差数列及其前n项和教案(全国通用)

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文档介绍

2020届二轮复习等差数列及其前n项和教案(全国通用)

‎§6.2 等差数列及其前n项和 最新考纲 1.通过实例,理解等差数列的概念.2.探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题.4.体会等差数列与一次函数的关系.‎ ‎1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.‎ ‎2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d.‎ ‎3.等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.‎ ‎4.等差数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).‎ ‎(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.‎ ‎(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.‎ ‎(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.‎ ‎(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.‎ ‎(6)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…构成等差数列.‎ ‎(7)若{an}是等差数列,则也是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差为d.‎ ‎5.等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn=或Sn=na1+d.‎ ‎6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn=n2+n.‎ 数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).‎ ‎7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.‎ 概念方法微思考 ‎1.“a,A,b是等差数列”是“A=”的什么条件?‎ 提示 充要条件.‎ ‎2.等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗?‎ 提示 不一定.当公差d=0时,Sn=na1,不是关于n的二次函数.‎ ‎3.如何推导等差数列的前n项和公式?‎ 提示 利用倒序相加法.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.‎ ‎( × )‎ ‎(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ )‎ ‎(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × )‎ ‎(4)已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为-2.( √ )‎ ‎(5)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.( √ )‎ ‎(6)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.‎ ‎( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于(  )‎ A.31B.32C.33D.34‎ 答案 B 解析 由已知可得 解得 ∴S8=8a1+d=32.‎ ‎3.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=.‎ 答案 180‎ 解析 由等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,∴a5=90,∴a2+a8=2a5=180.‎ 题组三 易错自纠 ‎4.一个等差数列的首项为,从第10项起开始比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是(  )‎ A.d> B.d< C.0,a7+a10<0,则当n=时,{an}的前n项和最大.‎ 答案 8‎ 解析 因为数列{an}是等差数列,且a7+a8+a9=3a8>0,所以a8>0.又a7+a10=a8+a9<0,所以a9<0.‎ 故当n=8时,其前n项和最大.‎ ‎6.一物体从1960m的高空降落,如果第1秒降落4.90m,以后每秒比前一秒多降落9.80m,那么经过秒落到地面.‎ 答案 20‎ 解析 设物体经过t秒降落到地面.‎ 物体在降落过程中,每一秒降落的距离构成首项为4.90,公差为9.80的等差数列.‎ 所以4.90t+t(t-1)×9.80=1960,‎ 即4.90t2=1960,解得t=20.‎ 题型一 等差数列基本量的运算 ‎1.(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5等于(  )‎ A.-12 B.-10‎ C.10 D.12‎ 答案 B 解析 设等差数列{an}的公差为d,由3S3=S2+S4,‎ 得3=2a1+×d+4a1+×d,将a1=2代入上式,解得d=-3,‎ 故a5=a1+(5-1)d=2+4×(-3)=-10.‎ 故选B.‎ ‎2.(2018·烟台模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a7=5,S9=27,则a20等于(  )‎ A.17B.18C.19D.20‎ 答案 B 解析 由等差数列的前n项和公式可知S9==9a5=27,解得a5=3,又由d===1,所以由等差数列的通项公式可得a20=a5+15d=3+15×1=18,故选B.‎ 思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,an,Sn,知道其中三个就能求出另外两个.‎ ‎(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.‎ 题型二 等差数列的判定与证明 例1在数列{an}中,a1=2,an是1与anan+1的等差中项.‎ ‎(1)求证:数列是等差数列,并求的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前n项和Sn.‎ 解 (1)∵an是1与anan+1的等差中项,‎ ‎∴2an=1+anan+1,∴an+1=,‎ ‎∴an+1-1=-1=,‎ ‎∴==1+,‎ ‎∵=1,‎ ‎∴数列是首项为1,公差为1的等差数列,‎ ‎∴=1+(n-1)=n,∴an=.‎ ‎(2)由(1)得==-,‎ ‎∴Sn=+++…+=1-=.‎ 思维升华等差数列的四个判定方法 ‎(1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.‎ ‎(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2.‎ ‎(3)通项公式法:得出an=pn+q后,再根据定义判定数列{an}为等差数列.‎ ‎(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,再使用定义法证明数列{an}为等差数列.‎ 跟踪训练1数列{an}满足an+1=,a1=1.‎ ‎(1)证明:数列是等差数列;‎ ‎(2)求数列的前n项和Sn,并证明:++…+>.‎ ‎(1)证明 ∵an+1=,‎ ‎∴=,化简得=2+,‎ 即-=2,‎ 故数列是以1为首项,2为公差的等差数列.‎ ‎(2)解 由(1)知=2n-1,‎ 所以Sn==n2,=>=-.‎ 证明:++…+=++…+>++…+ ‎=++…+ ‎=1- ‎=.‎ 题型三 等差数列性质的应用 命题点1 等差数列项的性质 例2(2018·上饶模拟)已知{an}为等差数列,a2+a8=18,则{an}的前9项和S9等于(  )‎ A.9 B.17‎ C.72 D.81‎ 答案 D 解析 由等差数列的性质可得,a1+a9=a2+a8=18,则{an}的前9项和S9==9×‎ eq f(18,2)=81.故选D.‎ 命题点2 等差数列前n项和的性质 例3(1)(2019·漳州质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5=7,S10=21,则S15等于(  )‎ A.35B.42C.49D.63‎ 答案 B 解析 在等差数列{an}中,‎ S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,‎ 即7,14,S15-21成等差数列,‎ 所以7+(S15-21)=2×14,‎ 解得S15=42.‎ ‎(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2018,-=6,则S2020=.‎ 答案 2020‎ 解析 由等差数列的性质可得也为等差数列.‎ 设其公差为d,则-=6d=6,∴d=1.‎ 故=+2019d=-2018+2019=1,‎ ‎∴S2020=1×2020=2020.‎ 思维升华等差数列的性质 ‎(1)项的性质:在等差数列{an}中,m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.‎ ‎(2)和的性质:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则 ‎①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);‎ ‎②S2n-1=(2n-1)an.‎ 跟踪训练2(1)已知等差数列{an},a2=2,a3+a5+a7=15,则数列{an}的公差d等于(  )‎ A.0B.1C.-1D.2‎ 答案 B 解析 ∵a3+a5+a7=3a5=15,‎ ‎∴a5=5,∴a5-a2=3=3d,‎ 可得d=1,故选B.‎ ‎(2)(2019·莆田质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S13>0,S14<0,则Sn取最大值时n的值为(  )‎ A.6B.7C.8D.13‎ 答案 B 解析 根据S13>0,S14<0,可以确定a1+a13=2a7>0,a1+a14=a7+a8<0,所以可以得到a7>0,a8<0,所以Sn取最大值时n的值为7,故选B.‎ ‎1.若{an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于(  )‎ A.-2B.-C.D.2‎ 答案 B 解析 由于a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-a1=-1,‎ 则a1=1.又由a3=a1+2d=1+2d=0,解得d=-.故选B.‎ ‎2.在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3+a4=24,则a4+a5+a6等于(  )‎ A.38B.39C.41D.42‎ 答案 D 解析 由a1=2,a2+a3+a4=24,‎ 可得,3a1+6d=24,解得d=3,‎ ‎∴a4+a5+a6=3a1+12d=42.故选D.‎ ‎3.(2018·新乡模拟)已知等差数列{an}中,a1012=3,S2017=2017,则S2020等于(  )‎ A.2020 B.-2020‎ C.-4040 D.4040‎ 答案 D 解析 由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得,‎ S2017=×2017=×2017=2017a1009=2017,‎ 则a1009=1,据此可得,‎ S2020=×2020=1010=1010×4=4040.‎ ‎4.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次弟,孝和休惹外人传.”意为:996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明,使孝顺子女的美德外传,则第八个孩子分得斤数为(  )‎ A.65B.176C.183D.184‎ 答案 D 解析 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an},其中d=17,n=8,S8=996.‎ 由等差数列前n项和公式可得8a1+×17=996,‎ 解得a1=65.‎ 由等差数列通项公式得a8=65+(8-1)×17=184.‎ ‎5.已知数列{an}是等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,给出下列结论:‎ ‎①a10=0;②S10最小;③S7=S12;④S20=0.‎ 其中一定正确的结论是(  )‎ A.①②B.①③④C.①③D.①②④‎ 答案 C 解析 a1+5(a1+2d)=8a1+28d,‎ 所以a1=-9d,‎ a10=a1+9d=0,正确;‎ 由于d的符号未知,所以S10不一定最大,错误;‎ S7=7a1+21d=-42d,S12=12a1+66d=-42d,‎ 所以S7=S12,正确;‎ S20=20a1+190d=10d,错误.‎ 所以正确的是①③,故选C.‎ ‎6.在等差数列{an}中,若<-1,且它的前n项和Sn有最小值,则当Sn>0时,n的最小值为(  )‎ A.14B.15C.16D.17‎ 答案 C 解析 ∵数列{an}是等差数列,它的前n项和Sn有最小值,‎ ‎∴公差d>0,首项a1<0,{an}为递增数列.‎ ‎∵<-1,‎ ‎∴a8·a9<0,a8+a9>0,‎ 由等差数列的性质知,‎ ‎2a8=a1+a15<0,a8+a9=a1+a16>0.‎ ‎∵Sn=,‎ ‎∴当Sn>0时,n的最小值为16.‎ ‎7.(2018·北京)设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为.‎ 答案 an=6n-3(n∈N*)‎ 解析 方法一 设公差为d.‎ ‎∵a2+a5=36,∴(a1+d)+(a1+4d)=36,‎ ‎∴2a1+5d=36.∵a1=3,∴d=6,‎ ‎∴通项公式an=a1+(n-1)d=6n-3(n∈N*).‎ 方法二 设公差为d,‎ ‎∵a2+a5=a1+a6=36,a1=3,‎ ‎∴a6=33,∴d==6.‎ ‎∵a1=3,∴通项公式an=6n-3(n∈N*).‎ ‎8.(2019·三明质检)在等差数列{an}中,若a7=,则sin2a1+cosa1+sin2a13+cosa13=.‎ 答案 0‎ 解析 根据题意可得a1+a13=2a7=π,‎ ‎2a1+2a13=4a7=2π,‎ 所以有sin2a1+cosa1+sin2a13+cosa13‎ ‎=sin2a1+sin(2π-2a1)+cosa1+cos(π-a1)=0.‎ ‎9.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,则=.‎ 答案  解析 在等差数列中,S19=19a10,T19=19b10,‎ 因此===.‎ ‎10.(2018·湘潭模拟)已知数列{-}是公差为2的等差数列,且a1=1,a3=9,则an=.‎ 答案 (n2-3n+3)2‎ 解析 数列{-}是公差为2的等差数列,‎ 且a1=1,a3=9,‎ ‎∴-=(-1)+2(n-1),‎ -=(-1)+2,‎ ‎∴3-=(-1)+2,∴a2=1.‎ ‎∴-=2n-2,‎ ‎∴=2(n-1)-2+2(n-2)-2+…+2-2+1‎ ‎=2×-2(n-1)+1=n2-3n+3.‎ ‎∴an=(n2-3n+3)2,n=1时也成立.‎ ‎∴an=(n2-3n+3)2.‎ ‎11.已知数列{an}满足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1),a1=2,令bn=.‎ ‎(1)证明:数列{bn}是等差数列;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)证明 ∵- ‎==,‎ ‎∴bn+1-bn=,‎ ‎∴{bn}是等差数列.‎ ‎(2)解 由(1)及b1===1.‎ 知bn=n+,‎ ‎∴an-1=,∴an=.‎ ‎12.(2018·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求Sn,并求Sn的最小值.‎ 解 (1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.‎ 由a1=-7得d=2.‎ 所以{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n-9(n∈N*).‎ ‎(2)由(1)得Sn=·n=n2-8n=(n-4)2-16.‎ 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.‎ ‎13.(2018·佛山质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,bn=且b1+b3=17,b2+b4=68,则S10等于(  )‎ A.90 B.100‎ C.110 D.120‎ 答案 A 解析 设{an}公差为d,‎ ===2d==4,‎ ‎∴d=2,b1+b3=+=+=17,‎ ‎=1,a1=0,‎ ‎∴S10=10a1+d=×2=90,故选A.‎ ‎14.(2018·菏泽模拟)已知等差数列{an}前n项和为Sn,且S6=-9,S8=4,若满足不等式n·Sn≤λ的正整数n有且仅有3个,则实数λ的取值范围为____________.‎ 答案  解析 不妨设Sn=An2+Bn,由S6=-9,S8=4,‎ 得则 所以nSn=n3-n2,令f(x)=x3-x2,‎ 则f′(x)=3x2-15x=3x(x-5),易得数列{nSn}在1≤n≤5,n∈N*时单调递减;‎ 在n>5,n∈N*时单调递增.令nSn=bn,有b3=-,b4=-56,b5=-,b6=-54,b7=-.若满足题意的正整数n只有3个,则n只能为4,5,6,故实数λ的取值范围为.‎ ‎15.已知数列{an}与均为等差数列(n∈N*),且a1=2,则a20=.‎ 答案 40‎ 解析 设an=2+(n-1)d,‎ 所以= ‎=,‎ 由于为等差数列,‎ 所以其通项是一个关于n的一次函数,‎ 所以(d-2)2=0,∴d=2.‎ 所以a20=2+(20-1)×2=40.‎ ‎16.记m=,若是等差数列,则称m为数列{an}的“dn等差均值”;若是等比数列,则称m为数列{an}的“dn等比均值”.已知数列{an}的“2n ‎-1等差均值”为2,数列{bn}的“3n-1等比均值”为3.记cn=+klog3bn,数列的前n项和为Sn,若对任意的正整数n都有Sn≤S6,求实数k的取值范围.‎ 解 由题意得2=,‎ 所以a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,‎ 所以a1+3a2+…+(2n-3)an-1‎ ‎=2n-2(n≥2,n∈N*),‎ 两式相减得an=(n≥2,n∈N*).‎ 当n=1时,a1=2,符合上式,‎ 所以an=(n∈N*).‎ 又由题意得3=,‎ 所以b1+3b2+…+3n-1bn=3n,‎ 所以b1+3b2+…+3n-2bn-1=3n-3(n≥2,n∈N*),‎ 两式相减得bn=32-n(n≥2,n∈N*).‎ 当n=1时,b1=3,符合上式,‎ 所以bn=32-n(n∈N*).‎ 所以cn=(2-k)n+2k-1.‎ 因为对任意的正整数n都有Sn≤S6,‎ 所以解得≤k≤.‎
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